新人教版初中数学八年级数学上册第二单元《全等三角形》检测题(答案解析)(2)

一、选择题
1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ，点D 在BC 边上，BD=12
DC ，∠BED=∠CFD=∠BAC ，若S △ABC =30，则阴影部分的面积为（ ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
2．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3．如图，BD 是四边形ABCD 的对角线， AD//BC ，AB AD <，分别过点A ，C 作AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为点E ，F ，若BE DF =，则图中全等的三角形有
( )
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对
4．下列四个命题中，真命题是（ ）
A ．如果 ab ＝0，那么a ＝0
B ．面积相等的三角形是全等三角形
C ．直角三角形的两个锐角互余
D ．不是对顶角的两个角不相等
5．如图，AB AC =，AD AE =，55A ︒∠=，35C ︒∠=，则DOE ∠的度数是（ ）
A ．105︒
B ．115︒
C ．125︒
D ．130︒
6．下列说法不正确的是（ ）
A ．三边分别相等的两个三角形全等
B ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C ．有两角及一边对应相等的两个三角形全等
D ．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
7．如图，AB 与CD 相交于点E ，AD=CB ，要使△ADE ≌△CBE ，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（ ）
A ．AE=CE ；SAS
B ．DE=BE ；SAS
C ．∠D=∠B ；AAS
D ．∠A=∠C ；ASA 8．下列说法正确的是（ ）
A ．两个长方形是全等图形
B ．形状相同的两个三角形全等
C ．两个全等图形面积一定相等
D ．所有的等边三角形都是全等三角形 9．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，CAB ∠的平分线交BC 于点D ，且D
E 所在直线是AB 的垂直平分线，垂足为E ．若3DE =，则BC 的长为（ ）．
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
10．如图，点D 在线段BC 上，若1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒，且BC DE =，AC DC =，AB EC =，则下列角中，大小为x ︒的角是( )
A ．EFC ∠
B ．AB
C ∠ C ．FDC ∠
D ．DFC ∠ 11．如图，在△ABC 中，点
E 和
F 分别是AC ，BC 上一点，EF ∥AB ，∠BCA 的平分线交AB 于点D ，∠MAC 是△ABC 的外角，若∠MAC ＝α，∠EFC ＝β，∠ADC ＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（ ）
A ．β＝α+γ
B ．β＝2γ﹣α
C ．β＝α+2γ
D ．β＝2α﹣2γ 12．在尺规作图作一个角的平分线时的两个三角形全等的依据是（ ）
A ．SAS
B ．AAS
C ．SSS
D ．HL 二、填空题
13．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ， AB ＝5，CD ＝2，则ABD △的面积是______
14．如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于点P ，已知AD ＝AE ．若△ABE ≌△ACD ，则可添加的条件为_____．
15．如图，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥，垂足分别为,D E ，若9,6AD DE ==，则BE 的长为________________________．
16．如图，9cm AB =，3cm AC =，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点B 向点A 运动，同时点Q 在射线BD 上以x cm/s 的速度由点B 沿射线BD 的方向运动，它们运动的时间为t （s ）
（1）如图①，若AC AB ⊥，BD AB ⊥，当ACP BPQ △≌△，x =________；CPQ ∠=________．
（2）如图②，CAB DBA ∠=∠，当ACP △与BPQ 全等，x =________； 17．如图，在直角坐标系中，AD 是Rt △OAB 的角平分线，已知点D 的坐标是（0，-3），AB 的长为12，则△ABD 的面积是_____
∠=∠，则需添加的一个条件是______可使
18．如图，已知ABC DCB
≌．（只写一个即可，不添加辅助线）．
ACB DBC
A-，，一个以A为顶点的45︒角绕点A旋转，角的两边分别交x轴19．如图，已知点(44)
正半轴，y轴负半轴于E、F，连接EF．当△AEF直角三角形时，点E的坐标是
________．
20．如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为F，AB=DE．若BD=8cm，则AC的长为_________．
三、解答题
=，21．如图，点A、D、B、E在一条直线上，BC与DF交于点G，AD BE //
BC EF，BC EF
△≌△．
=．求证：ABC DEF
22．如图，点C 在BE 上，AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，且AB ＝CE ，AC ＝CD ．判断AC 和CD 的关系并说明理由．
23．如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ，若9AD =，6DE =，求BE 的长．
24．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．
（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；
（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；
（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________． 25．按要求作图
（1）如图，已知线段,a b ，用尺规做一条线段，使它等于+a b （不要求写作法，只保留作图痕迹）
（2）已知：∠α，求作∠AOB=∠α（要求：直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
26．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，E 、F 分别是BC ，CD 上的点且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，先证明 ABE ≌ADG ，再证明AEF ≌AGF ，可得出结论，他的结论应是______________；
（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF 12
=∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E 、F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据△ABE ≌△CAF 得出△ACF 与△ABE 的面积相等，可得S △ABE +S △CDF =S △ACD ，即可得出答案．
【详解】
∵∠BED=∠CFD=∠BAC ，∠BED=∠BAE+∠ABE ，
∠BAC=∠BAE+∠CAF ，∠CFD=∠FCA+∠CAF ，
∴∠ABE=∠CAF ，∠BAE=∠FCA ，
在△ABE 和△CAF 中，ABE CAF AB AC BAE FCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△ABE ≌△CAF （ASA ），
∴S △ABE =S △ACF ，
∴阴影部分的面积为S △ABE +S △CDF =S △ACD ，
∵S △ABC =30，BD=
12
DC ， ∴S △ACD =20，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 2．B
解析：B
【分析】
先根据全等三角形的判定定理得出△ACD ≌△ACB ，△ABO ≌△ADO ，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：在△ABC 和△ADC 中，
∵AB AD BC CD AC AC ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABC ≌△ADC （SSS ），
∴∠BAC=∠DAC ， ∠DCA=∠BCA
∴点O 到CB 、CD 的距离相等．故②正确
在△ABO 与△ADO 中
AB AD BAC DAC OA OA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABO ≌△ADO （SAS ），
∴BO=DO ，∠BOA=∠DOA
∵∠BOA+∠DOA=180°
∴∠BOA=∠DOA=90°，即BD AC ⊥
故①④正确；
∵AD≠CD
∴BDA BDC ∠≠∠，故③错误
所以，正确的结论是①②④，共3个，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 3．C
解析：C
【分析】
根据AD //BC 证得ADB CBD ∠=∠，由BE DF =得到BF=DE ，由此证明
△ADE ≌△CBF ，得到AE=CF ，AD=CB ，由此证得△ABE ≌△CDF ，得到AB=CD ，由此利用SSS 证明△ABD ≌△CDB.
【详解】
解：∵AD //BC ，
∴ADB CBD ∠=∠，
BE DF =，
BF DE ∴=，
AE BD ⊥，CF BD ⊥，
AED CFB ∠∠∴=90=，
()ADE CBF ASA ∴≅，
AE CF ∴=，AD CB =，
∵∠AEB=∠CFD 90=，BE=DF ，
()ABE CDF SAS ∴≅，
AB CD ∴=，
BD DB =，AB=CD ，AD CB =，
()ABD CDB SSS ∴≅,
则图中全等的三角形有：3对，
故选:C .
【点睛】
此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据已知条件找到对应的边或角是解题的关键.
4．C
解析：C
【分析】
根据有理数的乘法、全等三角形的概念、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可．
【详解】
解：A 、如果 ab ＝0，那么a ＝0或b ＝0或a 、b 同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意；
B 、面积相等的三角形不一定全等，本选项说法是假命题，不符合题意；
C 、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；
D 、不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．C
解析：C
【分析】
先判定△ABE ≌△ACD ，再根据全等三角形的性质，得出∠B=∠C=35︒，由三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】
在△ABE 和△ACD 中，
AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ACD （SAS ），
∴∠B=∠C ，
∵∠C=35︒，
∴∠B=35︒，
∴∠OEC=∠B+∠A=355590︒+︒=︒，
∴∠DOE=∠C+∠OEC=3590125︒+︒=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考察全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
6．B
解析：B
【分析】
直接利用三角形全等的判定条件进行判定，即可求得答案；注意而SSA 是不能判定三角形全等的.
【详解】
解：A ，三边分别相等的两个三角形全等，故本选项正确；
B ，两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C ，两个角和一个边对应相等的两个三角形，可利用ASA 或AAS 判定全等，故本选项正
确；
D，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故本选项正确．
故选：B
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定．注意普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．
7．C
解析：C
【分析】
根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．
【详解】
解：A.添加AE=CE后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；
B.添加DE=BE后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；
C.添加∠D=∠B，根据AAS可证明△ADE≌△CBE，故此选项符合题意；
D.添加∠A=∠C，根据AAS可证明△ADE≌△CBE，故此选项不符合题意；
故选：C
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．
8．C
解析：C
【分析】
性质、大小完全相同的两个图形是全等形，根据定义解答．
【详解】
A、两个长方形的长或宽不一定相等，故不是全等图形；
B、由于大小不一定相同，故形状相同的两个三角形不一定全等；
C、两个全等图形面积一定相等，故正确；
D、所有的等边三角形大小不一定相同，故不一定是全等三角形；
故选：C．
【点睛】
此题考查全等图形的概念及性质，熟记概念是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，
【详解】
解：∵DE 垂直平分AB ，
∴DA=DB ，
∴∠B=∠DAB ，
∵AD 平分∠CAB ，
∴∠CAD=∠DAB ，
∵∠C=90°，
∴3∠EAD=90°，
∴∠EAD=30°，
∵∠AED=90°，∴DA=BD=2DE ，
∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，CD ⊥AC ，
∴CD=DE=3，∴DA=BD=6，
∴BC=BD+CD=6+3=9，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
先证明()ABC CED SSS ∆≅∆得到B E ∠=∠、FCD FDC ∠=∠，再根据
1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒可得2CFE x ∠=︒；然后根据外角的性质可得
2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠即可解答．
【详解】
解：在ABC ∆和CED ∆中，
AC CD AB CE BC ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()ABC CED SSS ∴∆≅∆，
B E ∴∠=∠，FCD FD
C ∠=∠
1802180ACE ABC x E CFE ∠=︒-∠-︒=︒-∠-∠，
2CFE x ∴∠=︒，
2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠=2x ︒，
FDC x ∴∠=︒．
故答案为C ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，弄清题意、理清角之间的关系是解答本题的关键．
11．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质得到∠B=∠EFC=β，由角平分线的定义得到∠ACB=2∠BCD，根据∠ADC 是△BDC的外角，得到∠ADC=∠B+∠BCD，由三角形外角的性质得到∠MAC=∠B+∠ACB，于是得到结果．
【详解】
解：∵EF∥AB，∠EFC=β，
∴∠B=∠EFC=β，
∵CD平分∠BCA，
∴∠ACB=2∠BCD，
∵∠ADC是△BDC的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BCD，
∵∠ADC=γ，
∴∠BCD=γ-β，
∵∠MAC是△ABC的外角，
∴∠MAC=∠B+∠ACB，
∵∠MAC=α，
∴α=β+2（γ-β），
∴β=2γ-α，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
12．C
解析：C
【分析】
根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS．
【详解】
解：尺规作图-作一个角的角平分线的作法如下：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，交AO、BO于点F、E，
②再分别以F、E为圆心，大于1
2
EF长为半径画弧，两弧交于点M，
③画射线OM，射线OM即为所求．
由作图过程可得用到的三角形全等的判定方法是SSS．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握作一个角的平分线的基本作图方法．
二、填空题
13．5【分析】根据角平分线的性质求出DE根据三角形的面积公式计算即可；【详解】如图：作DE⊥AB于点E∵AD平分
∠BAC∠C=90°DE⊥AB∴DE=DC=2∵AB=5∴△ABD的面积=×AB×DE=5
解析：5
【分析】
根据角平分线的性质求出DE，根据三角形的面积公式计算即可；
【详解】
如图：作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=2，
∵AB=5
∴△ABD的面积=1
×AB×DE=5，
2
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键；
14．AB ＝AC 或∠B ＝∠C 或∠AEB ＝∠ADC （答案不唯一）【分析】根据全等三角形的判定定理（SASASAAASSSS ）即可得出答案【详解】解：添加条件：AB ＝AC 在△ABE 和△ACD 中∴△ABE ≌△A
解析：AB ＝AC 或∠B ＝∠C 或∠AEB ＝∠ADC （答案不唯一）
【分析】
根据全等三角形的判定定理（SAS ，ASA ，AAS ，SSS ）即可得出答案．
【详解】
解：添加条件：AB ＝AC ，
在△ABE 和△ACD 中，
AB AC A A AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ACD （SAS ）；
添加条件：∠B ＝∠C ，
在△ABE 和△ACD 中，
B C A A AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ACD （AAS ）；
添加条件：∠AEB ＝∠ADC ，
在△ABE 和△ACD 中，
AEB ADC AE AD
A A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABE ≌△ACD （ASA ）；
故答案为：AB ＝AC 或∠B ＝∠C 或∠AEB ＝∠ADC （答案不唯一）．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．
15．3【分析】由AD ⊥CEBE ⊥CE 可以得到∠BEC=∠CDA=90°再根据∠ACB=90°可以得到∠BCE=∠CAD 从而求得△CEB ≌△ADC 然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长【详解】解：∵∠A
解析：3
【分析】
由AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，可以得到∠BEC=∠CDA=90°，再根据∠ACB=90°，可以得到∠BCE=∠CAD ，从而求得△CEB ≌△ADC ，然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，
∴∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD ，
在△CEB 和△ADC 中，BCE CAD BEC CDA AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△CEB ≌△ADC （AAS ）；
∴BE=CD ，CE=AD=9．
∵DC=CE-DE ，DE=6，
∴DC=9-6=3，
∴BE=3．
故答案为：3
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
16．90°2或【分析】（1）根据全等找出对应边利用BP 边求得时间再在BQ 边上求速度再运用全等三角形的性质即可证明角度；（2）结合条件对与全等时的情况进行分析分类讨论即可【详解】（1）当时又；（2）①当时
解析：90° 2或
23
【分析】
（1）根据全等找出对应边，利用BP 边求得时间，再在BQ 边上求速度，再运用全等三角形的性质，即可证明角度；
（2）结合条件，对ACP △与BPQ 全等时的情况进行分析，分类讨论即可．
【详解】
（1）当ACP BPQ △≌△时，3AC PB ==，936AP BQ cm ==-=， 331cm t s cm /s ∴==，623cm x cm /s s
==， 又CPA PQB ∠=∠，90PQB QPB ∠+∠=︒，
90CPA QPB ∴∠+∠=︒，
18090CPQ ∴∠=︒-︒=90︒；
（2）①当ACP BPQ △≌△时，
3AC BP ==，936AP BQ ==-=， 此时，331cm t s cm /s ==，623cm x cm /s s
==； ②当ACP BQP △≌△时，
3 AC BQ
==，
9
2 AP BP
==，
此时，
9
9
2
12
cm
t s
cm/s
==，
32
93
2
cm
x cm/s
s
==
；
综上：当ACP
△与BPQ全等，2
x cm/s
=或
2
3
cm/s．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质及判定，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．17．18【分析】过点D作DE⊥AB于点E由角平分线的性质可得出DE的长再根据三角形的面积公式即可得出结论【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E∵D （0-3）∴OD=3∵AD是Rt△OAB的角平分线OD⊥O
解析：18
【分析】
过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得出DE的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵D（0，-3）
∴OD=3，
∵AD是Rt△OAB的角平分线，OD⊥OA，DE⊥AB，
∴DE=OD=3，
∴S△ABD=1
2
AB•DE=
1
2
×12×3=18．
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
18．AB=DC（答案不唯一）【分析】因为和公共边BC根据全等证明方法即可求得【详解】当AB=DC时根据全等证明方法SAS可证故答案为：AB=DC（答案不唯一）【点睛】本题考查三角形全等的判定条件掌握五种
解析：AB=DC （答案不唯一）
【分析】
因为ABC DCB ∠=∠和公共边BC ，根据全等证明方法即可求得．
【详解】
当AB=DC 时
根据全等证明方法SAS 可证ACB DBC ≌
故答案为：AB=DC （答案不唯一）
【点睛】
本题考查三角形全等的判定条件，掌握五种全等证明方法是解题的关键．
19．或【分析】根据等腰三角形的性质作辅助线构造全等三角形得到对应线段相等即可得到结论【详解】①如图所示：∴∵∴∵∴∴在△和中
∴△△FDE ∴∴②当时同①的方法有：∴综上所述满足条件的点坐标为或故答案为：或
解析：(8)0，
或(40)， 【分析】
根据等腰三角形的性质，作辅助线构造全等三角形，得到对应线段相等即可得到结论．
【详解】
①如图所示：
90AFE ︒∠=，
∴90AFD OFE ︒∠+∠=，
∵90OFE OEF ︒∠+∠=，
∴AFD OEF ∠=∠，
∵90AFE ︒∠=，45EAF ︒∠=，
∴45AEF EAF ︒∠==∠，
∴AF EF =，
在△ADF 和FOE 中，
ADE FOE AFD OEF AF EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADF ≌△FDE ，
∴4FO AD ==，8OE DF OD FO ==+=，
∴(40)E ，
． ②当90AEF ︒∠=时，同①的方法有：8OF =，4OE =，
∴(40)E ，
， 综上所述，满足条件的点E 坐标为(8)0，
或(40)， 故答案为：(8)0，
或(40)， 【点睛】
本题考查三角形全等性质和判定、等腰直角三角形的性质，注意直角三角形按角分类讨论分三种情况，不要漏解．
20．4cm 【分析】由DE ⊥AB 可得∠BFE=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠DEB=90°由∠ACB=90°由直角三角形两锐角互余可得∠ABC+∠A=90°根据同角的余角相等可得∠A=∠DE
解析：4cm ．
【分析】
由DE ⊥AB ，可得∠BFE=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠DEB ，然后根据AAS 判断△ABC ≌△EDB ，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD=BC ，AC=BE ，由E 是BC 的中点，得到BE=
12BC=12
BD=4． 【详解】
解：∵DE ⊥AB ，可得∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB ，
在△ABC 和△EDB 中， ACB DBC A DEB
AB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△ABC ≌△EDB （AAS ），
∴BD=BC ，AC=BE ，
∵E 是BC 的中点，BD=8cm ，
∴BE=12BC=12
BD=4cm ， ∴AC=4cm ．
故答案为：4cm ．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较
为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．
三、解答题
21．见解析
【分析】
由AD BE =，得AB=DE ，由//BC EF ，得ABC E ∠=∠，根据SAS 可证．
【详解】
证明：∵AD BE =，
∴AD BD BE BD +=+，
∴AB DE =，
∵//BC EF ，
∴ABC E ∠=∠，
在ABC 和DEF 中，
AB DE ABC E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABC DEF SAS ≌．
【点睛】
本题考查了用“边角边”定理判断两个三角形全等，解题关键是挖掘题目隐含的全等条件，根据判定定理证明．
22．AC ⊥CD ，理由见解析
【分析】
根据条件证明△ABC ≌△CED 就得出∠ACD=90°，则可以得出AC ⊥CD ．
【详解】
解：AC ⊥CD ．
理由：∵AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，
∴∠B ＝∠E ＝90°．
在Rt △ABC 和Rt △CED 中，
AB CE AC CD =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABC ≌Rt △CED （HL ），
∴∠A ＝∠DCE ，∠ACB ＝∠D ．
∵∠A+∠ACB ＝90°，
∴∠DCE+∠ACB ＝90°．
∵∠DCE+∠ACB+∠ACD ＝180°，
∴∠ACD ＝90°，
∴AC ⊥CD ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
23．3
【分析】
根据同角的余角相等可得EBC DCA ∠=∠，根据“AAS”可证CEB △≌ADC ，可得9AD CE ==，即可求BE 的长．
【详解】
解：∵BE CE ⊥，AD CE ⊥，
∴90E ADC ∠=∠=︒，
∴90EBC BCE ∠+∠=︒．
∵90BCE ACD ∠+∠=︒，
∴EBC DCA ∠=∠．
在CEB △和ADC 中，
E ADC EBC ACD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴CEB △≌ADC （AAS ），
∴BE CD =，9AD CE ==，
∴963BE CD CE DE ==-=-=．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
24．（1）(0,3)E ；（2）见解析；（3）30OBC ∠=︒．
【分析】
（1）先根据AAS 判定△AOE ≌△BOC ，得出OE=OC ，再根据点C 的坐标为（3，0），得到OC=OE=3，进而得到点E 的坐标；
（2）先过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，根据△AOE ≌△BOC ，得到S △AOE =S △BOC ，且AE=BC ，再根据OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，得出OM=ON ，进而得到OD 平分∠ADC ；
（3）在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，根据SAS 判定△OPD ≌△OCD ，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OBC=30°．
【详解】
证明：（1）
AD BC ⊥，AO BO ⊥，
90AOE BDE BOC ∠∠∠∴===︒．
又AEO BED ∠=∠，
OAE OBC ∴∠=∠．
(5,0)A -，(0,5)B ， 5OA OB ∴==．
在AOE △和BOC 中
OAE OBC OA OB
AOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， (ASA)AOE BOC ∴≌，
OE OC ∴=． C 点坐标(3,0)，
3OE OC ∴==，
(0,3)E ∴．
（2）过O 作OM AD ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，
AOE BOC ≌，
AOE BOC S S ∴=，AE BC =， 1
122
AE OM BC ON ∴⨯⨯=⨯⨯， OM ON ∴=，
OM AD ⊥，ON BC ⊥，
DO ∴平分ADC ∠．
（3）如所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，
∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，
∴△OPD ≌△OCD ，
∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD ，
∵OC CD AD +=，∴OC=AD-CD
∴AD-DP=OP ，即AP=OP ，
∴∠PAO=∠POA，
∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB，
又∵∠PAO+∠OCD=90°，
∴3∠PAO=90°，
∴∠PAO=30°，
∠=∠
∵OAP OBC
∴∠OBC=∠PAO =30°．
【点睛】
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．
25．（1）作图见解析；（2）作图见解析．
【分析】
（1）根据题意，作一条长射线，在射线上连续截取a和b即可；
（2）作射线OA，通过截取角度即可得解．
【详解】
（1）作射线CF，在射线上顺次截取CD=a，DE=b，如下图所示，线段CE即为所求：
（2）首先作射线OA，如下图所示，∠AOB即为所求：
【点睛】
本题主要考查了尺规作图，属于基础题，熟练掌握尺规作图的相关方法是解决本题的关键．
26．（1）EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里
【分析】
（1）延长FD到点G，使DG=BE．连结AG，即可证明ABE≌ADG，可得AE=AG，再证明AEF≌AGF，可得EF=FG，即可解题；
（2）延长FD到点G，使DG=BE．连结AG，即可证明ABE≌ADG，可得AE=AG，再证明AEF≌AGF，可得EF=FG，即可解题；
（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后与（2）同理可证．
【详解】
解：（1）EF ＝BE +DF ，证明如下： 在ABE 和ADG 中，
DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ABE ≌ADG （SAS ），
∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，
∵∠EAF
12
=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ， ∴∠EAF ＝∠GAF ，
在AEF 和GAF 中，
AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴AEF ≌AGF （SAS ），
∴EF ＝FG ，
∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，
∴EF ＝BE +DF ；
故答案为 EF ＝BE +DF ．
（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；
理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，
在ABE 和ADG 中，
DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ABE ≌ADG （SAS ），
∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，
∵∠EAF 12
=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，
∴∠EAF ＝∠GAF ， 在AEF 和GAF 中，
AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴AEF ≌AGF （SAS ），
∴EF ＝FG ，
∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，
∴EF ＝BE +DF ；
（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，
∵∠AOB ＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF ＝70°，
∴∠EOF 12
=∠AOB ， 又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF ＝AE +BF 成立，
即EF ＝2×（45+60）＝210（海里）．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AGF 是解题的关键．。