最新人教版八年级数学上册第十二章《角的平分线的性质》课后训练

课后训练
1．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是()．
(第1题图)
A．PD＝PE
B．OD＝OE
C．∠DPO＝∠EPO
D．PD＝OD
2．下面的结论中，错误的是()．
A．到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上
B．一条直线上有一点到已知角两边的距离相等，则这条直线平分已知角
C．在角的内部，到角两边距离相等的某点与角的顶点的连线平分已知角
D．角内有两点各自到角两边的距离相等，经过这两点的直线平分这个角
3．如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT＝MP，连接TQ，则下列结论中不正确的是()．
(第3题图)
A．TQ＝PQ
B．∠MQT＝∠MQP
C．∠QTN＝90°
D．∠NQT＝∠MQT
4．如图，AB＝AD，CB＝CD，AC，BD相交于点O，则下列结论正确的是()．
(第4题图)
A．OA＝OC
B．点O到AB，CD的距离相等
C．∠BDA＝∠BDC
D．点O到CB，CD的距离相等
5．到三角形三条边距离相等的点有__________个，到三角形三条边所在的直线的距离相等的点有__________个．
6．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，则DE＝__________.
(第6题图)
综合应用
7．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.求证：
(1)AM平分∠DAB；
(2)∠DMA＝90°.
(第7题图)
8．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF相交于点D，且BD＝CD.求证：∠BAD ＝∠CAD.
(第8题图)
9．现有一块形状为三角形的闲地，其三边的长分别为20 cm,30 cm,40 cm，现要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分，分别种植不同的花草，请你设计一种方案，并简单说明理由．
参考答案
1.答案：D点拨：由角的平分线的性质易知PD＝PE，易证△PEO≌△PDO，所以有OD＝OE，∠DPO＝∠EPO.
2.答案：B点拨：某点到角两边的距离相等，只能说明该点在角的平分线上，而过该点的直线有无数条，要确定角的平分线还需要一个点．
3.答案：D点拨：由SAS易证△PMQ≌△TMQ，所以TQ＝PQ，∠MQT＝∠MQP，∠P＝∠MTQ＝90°，则∠QTN＝90°，可得选项A，B，C正确．故选D.
4.答案：D点拨：由SSS可证△ABC≌△ADC，∴∠ACD＝∠ACB，∴点O在∠BCD 的平分线上．所以选项D正确．
5.答案：14点拨：在三角形外部，两相邻外角的平分线的交点到各边所在的直线的距离相等，这样的点在三角形外部有3个，在三角形内部有1个，共4个．
6.答案：6 cm点拨：如图，作DF⊥BC于F，由角平分线的性质，可令DE＝DF＝h cm，则S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，即\f(1,2)×18×h＋\f(1,2)×12×h＝90，所以h＝6，即DE＝6 cm.
(第6题图)
7.答案：证明：(1)如图，作MN⊥AD于点N
∵DM平分∠ADC，∴由角平分线的性质，可知MC＝MN.
又∵M是BC的中点，
∴BM＝CM.∴NM＝BM.
∴点M在∠DAB的平分线上．
∴AM平分∠DAB.
(2)由(1)知，DM平分∠ADC，
(第7题图)
∴∠ADM ＝2
1∠ADC . 又∵AM 平分∠DAB ， ∴∠DAM ＝
21∠DAB . 又∵∠B ＝∠C ＝90°，∴∠B ＋∠C ＝180°，∴AB ∥CD .
∴∠DAB ＋∠ADC ＝180°.
∴∠ADM ＋∠DAM ＝21 (∠ADC ＋∠DAB )＝2
1×180°＝90°. ∴∠DMA ＝90°.
点拨：有垂线段和角平分线时，我们一般考虑用角平分线的性质及其逆用来解决有关问题．
8. 答案：证明：∵BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，
∴∠DFB ＝∠DEC ＝90°.在△DBF 和△DCE 中，
⎪⎩
⎪⎨⎧==︒==,，
∠∠，90E ∠∠CD BD CDE BDF DC DFB ∴△BDF ≌△CDE (AAS)．
∴DF ＝DE .又DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，
∴AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠BAD ＝∠CAD .
点拨：证角相等有两种方法：(1)证两个角所在的两个三角形全等；(2)利用角平分线性质的逆用．结合具体图形选择合适的方法．
9. 答案：解：如图，AC ＝20 cm ，BC ＝30 cm ，AB ＝40 cm ，作出该三角形空地△ABC 的三个内角的角平分线，交点为P ，连接P A ，PB ，PC ，则S △ACP ∶S △BCP ∶S △ABP ＝2∶3∶4.
理由：作PD ⊥AB 于D ，PF ⊥AC 于F ，PE ⊥BC 于E ，由角平分线的性质，可知PD ＝PE ＝PF ，
∴S △ACP ∶S △BCP ∶S △ABP ＝(
21PF ·AC )∶(21PE ·CB )∶(2
1PD ·AB )＝AC ∶BC ∶AB ＝2∶3∶
4.
(第9题图)
点拨：若已知三角形角平分线的交点到三边的距离为r ，则连接该交点与三角形各顶点构成的三个小三角形的面积的比就等于原三角形各边的比．。