华东师大数学分析答案完整版

!!
第一章
实数集与函数
内容提要
!
一!实数
!"实数包括有理数和无理数!有理数可用分数"
#
!""#为互质整数##"#$表示#也可用有限十进小数或无限十进循环小数表示!!$是首先遇到的无理数#它与古希腊时期所发现的不可公度线段理论有直接联系#且可以表示为无限十进不循环小数!
实数的无限十进小数表示在人类实践活动中被普遍采用#我们是由无限十进小数表示出发来阐述实数理论的!
$"若$%%#%%!%$&%&&为非负实数#称有理数
$&%%#%%!%$&%&
为实数$的&位不足近似#而有理数
$&%$&&
!
!#&
称为$的&位过剩近似#&%##!#$#&!
’"在数学分析课程中不等式占有重要的地位#在后继课程中#某些不等式可以成为某个研究方向的基础!数学归纳法是证明某些不等式的重要工具!
二!数集"确界原理
!"邻域是数学分析中重要的基本概念!某点的邻域是与该点靠近的数的集合#它是描述极限概念的基本工具!
在无限区间记号!()#%’#!()#%$#(%#&)$#!%#&)$#!()#&)$中出现的()与& )仅是常用的记号#它们并不表示具体的数!在数学分析课程范围内#不要把&)#()#)当作数来运算!
%
!
%
!!
数学分析同步辅导及习题全解#上册$
$"有界集和无界集是本章中关键的概念!
要熟练掌握验证某个数集’是有界集或无界集的方法#其中重要的是证明数(不是数集’的上界!或下界$的方法!’"确界是数学分析的基础严格化中的重要的概念!上!下$确界是最大!小$数在无限数集情况下的推广!
确界概念有两种等价的叙述方法#以上确界为例)设’是)中一个数集#若数!满足
!!$!!$对一切$#’#有$$!#则!是’的上界*!"$对任意"%!#存在$##’#使得$#&"#则!又是’的最小上界’()!或
!$$!!$对一切$#’#有$$!#则!是’的上界*!"$对任意#&##存在$##’#使得$#&!(##则!又是’的最小上界’()
!这两种定义是等价的!!$$中的!(#相当于!!$中的"!在上述定义中可以限定#%###其中##为充分小的正数!
定义!$$在某些证明题中使用起来更方便些!*"确界原理)
设’是非空数集#若’有上界#则’必有上确界*若’有下界#则’必有下确界!确界原理是实数系完备性的几个等价定理中的一个!
三!函数及其性质
!"邻域
!!$*!%#$$%!%($#%&$$
称为%的$邻域#其中$&#!!$$*+
!%*$$%!%($#%$*!%#%&$$%+$+#%+$(%+%$,称为%的空心$邻域#其中$&#!!’$*+&!%$%!%#%&,$和*+(!
%$%!%(,#%$分别称为%的右邻域和左邻域#其中,&#!$"确界
设给定数集’!
!!$上确界!若存在数!#满足!$!$$!#,$#’*$$,$%!#
都存在$##’#使$#&$#则称!为’的上确界#记为!%+,-$#’
$!!$$下确界!若存在数%#满足!$$-%#,$#’*$$,&&%#都存在-##’#使-#%&#
则称%为’的下确界#
记为!%./0$$#’
!!’$确界原理!#非空有上!下$界的数集#必有上!下$确界!$若数集有上!
下$确界#则上!
下$确界一定是惟一的!’"函数
!!
$函数定义给定两个非空实数集.和(#若有一个对应法则,#使.内每一个数$#都有惟一的一
个数-#(与它对应#则称,是定义在.上的一个函数#记为-%,!$$#$#.#并称.为函数的定义域#称,!.$%+-+-%,!$$#$#.,!.($为函数的值域!!$
$几个重要的函数#分段函数
函数在其定义域的不同部分用不同公式表达的这类函数#常称为分段函数!$符号函数
%
"%
第一章!实数集与函数
+1/!$$%!#!!$&#
##$%#(!#$%’
()#
%狄利克雷函数
.!$$%
!#
当$为有理数##
当$+
为无理数&黎曼函数
)!/$%!##
当$%"##"###0&"
#为既约分数##当$%##!和!##!$’
()中的无理数’复合函数-%,!1!
$$$#$#2/其中-%,!3$#3#.#3%1!$$#$#2#2/%+$+1!
$$#.,&2#2"4!’
$反函数已知函数3%,!$$#$#.!若对,-##,!.$#在.中有且只有一个值$##使得,!$#$%-##则按此对应法则得到一个函数$%,(!!-$#-#,!.$#称这个函数,(!2,!.$0.为,的反函数!
!*
$初等函数#基本初等函数!常量函数"
幂函数"指数函数"对数函数"三角函数"反三角函数这六类函数称为基本初等函数!
$初等函数!由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数#
统称为初等函数!
%凡不是初等函数的函数#
都称为非初等函数!*"有界性
设-%,!$$#$#.
!!$若存在数(#使,!$$$(#,$#.#
则称,是.上的有上界的函数!!$$若存在数5#使,!$$-5#,$#.#则称,是.上的有下界的函数!!’$若存在正数6#使+,!
$$+$6#则称,是.上的有界函数!!*$若对任意数(#都存在$##.#使,!$#$&(#则称,是.上的无上界函数#类似可定义无下界及无界函数!
3"单调性
设-%,!$$#$#.#若对,$!#$$#.#$!%$$#有!!$,!$!$$,!$$$#则称,在.上是递增函数!!$$,!
$!$%,!$$$#则称,在.上是严格递增函数!类似可定义递减函数与严格递减函数!
4"奇偶性
设.是对称于原点的数集#-%,!
$$#$#.!!!$若,$#.#都有,!($$%,!$$#则称,!$$是偶函数!!$$若,$#.#都有,!($$%(,!
$$#则称,!$$是奇函数!%
#%
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数学分析同步辅导及习题全解#上册$
!’
$奇函数图象关于原点对称#偶函数图像关于纵轴对称!5"周期性
!!$设-%,!$$#$#.#若存在正数7#使,!$67$%,!$$#,$#.!
则称,!$$为周期函数#7称为,的一个周期!!$
$若,的所有周期中#存在一个最小周期#则为,的基本周期!典型例题与解题技巧
%例!&!设,!$$在((%#%’上有定义#证明,!$$在((%#%’上可表示为奇函数与偶函数的和!分析!本题主要考察奇函数"偶函数的定义#采用构造法解题!
证明!设,!$$%8!$$&9!$$#其中8!$$#9!$$
分别为奇"偶函数#于是,!
($$%8!($$&9!($$%(8!$$&9!$$而
,!
$$%8!$$&9!$$由之可得!!!8!$$%,!$$(,!($$$#9!$$%
,!$$&,!($$$
这里8!$$#9!$$
分别是奇函数和偶函数!%例"&!求数集’%
&
!&$
&!
(!$!&&#0+,
&
的上"下确界!
解题分析!当&%$7时#$7
!&$$!7
%$$7
!&!$$!
7#容易看出7%!时#$!&!$
!
$是偶数项中的最大数!当&%$7&!时#$7&!
!&$(!$
7&!!$
%$7&!
!&!$$7!
&!
&!#
当7充分大时#奇数项与数!充分靠近!因为$!&!$
!
$!%3是’中最大数#于是+,-’!%3#由上面分析可以看出./0’%!!解题过程!因为!3是’中最大数#于是+,-’!
%3!再证./0’%!#这是因为!!$,&#&
!&$&!(!$!
&
-!*!"$
设%%$7&!
!&!$$
7!
&!
#由等式%&(!%!%(!$!%&(!&%&($
&&&!$可知$7&!
!&!$$7!
&!(!%!
$$7&!
%$7&%$7(!
&&&!$!
$$7&!
于是,#&##17##0&只要7#&!$781$
!#
(!!$!
$
$#
使得$7#
&!
!&!
$$7#
!
&!(!$!$$7
#&!%#即
$7#
&!
!&!
$$7
#!
&!
%!&#%例#&!设函数,!$$定义在区间:上#如果对于任何$!#$$#:#及’#!##!$#恒有,(’$!&!
!(’$$$’$’,!$!$&!!(’$,!$$$!证明)在区间:的任何闭子区间上,!$$
有界!分析!本题主要考察函数的有界性#要充分利用已知条件给出的不等式#积极构造出类似的不等
%
$%
第一章!实数集与函数
式#以证出结论!
证明!,(%#;’.:#,$#!%#;$#则存在’#!##!$#使$%%&’!;(%$有!$%’;&!!(’$
%由已知不等式有
,!$$%,(’;&!!(’$%’$’,!;$&!!(’$,!%$$’(&!!(’$(%(#
其中(%9:;
,!$$#,!;+,
$,$#(
%#;’#令-%!%&;$($#那么%&;$%
$&-$
,!%&;$$%,!$$&-$$$!$,!$$&!$,!-$$!$,!$$&!
$
(<
,!$$-$,!
%&;$
$
((%<!$
由##$两式可知
<!$,!$$$(#,$#!
%#;$再由(的定义#可知,!$$$(#,$#(
%#;’若令!<%9./+,!%$#,!
;$#<!,#则<$,!$$$(#,$#(%#;’即,!$$在(%#;
’上有界!历年考研真题评析
!
%题!&!!北京大学#$##3年$设,!$$在(%#;’上无界#求证)16#(%#;’#使得对,#&##,!
$$在!#(##=&#$2(%#;’上无界!分析!本题采用闭区间套定理证明!
证明!取%#;中点%&;$#则(%#%&;$’#(%&;$
#;’中至少有一个区间使,!$$无界!如果两个都是可任取一个$#记为(%!#;!’
!再取中点%!&;!
$
#又可得区间(%$#;$’#使,!$$在其上无界#这样继续下去有(%#;’3(%!#;!’3(%$#;$’3&3(%&#;&’
3&使,!$$
在每个区间上无界!由区间套原理#存在6%7.9&0)
%&%7.9&0)
;&#
则6#(%#;’#而对,#&##当&充分大时#有!=(##=&#$2(%#;’3(%&#;&’
故,!$$在!=(##=&#$2(%#;’上无界!%题"&!!
甘肃工业大学#$##4年$有下列几个命题)!!
$任何周期函数一定存在最小正周期!!$$($’是周期函数!!’$+./!$不是周期函数!!*$$=8+$不是周期函数!其中正确的命题有!!!$
!>"!个!!!?"$个!!!@"’个!!!A "*个
%
%%
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解题分析!本题主要考察周期函数的定义B 解题过程!选?!其中)
!!$错B 比如,!$$
%#B 那么任何正实数都是它的周期#而无最小正实数B !$$错B 设,!$$%($’的周期为C &##并设(C ’
%9-#当9%#时#则C%!(%#其中#%%%!#
那么(%&C ’%!#(%’%#!!!<(%&C ’"(
%’这与C 为周期矛盾B !!!<9"#
当9&#时#(C&!’%9&!#(!’%!!!!<(!&C ’"(
!’#也矛盾B <(
$’不是周期函数B !’$对B D 若,!$$是定义域.上周期函数#那么存在函数>#使,$#.都有,!$6>$%,!
$$!这必须有$6>#.!而本题定义域.%(##&)$#若是周期函数#则##.#必须(>#.#但(>4.#故不是周期函数!
!*$对B 用反证法#设,!$$%$
=8+$的周期为>&##则,!
#$%#%,!>$%>=8+><=8+>%##>%&#(&($
#&##E #且&#-#,!($
&>$
%,!(&&#($%!&#&!$(=8+(!&#&!$(’,!($$%($=8+($%##由,!($&>$%,!($
$<=8+!&#&
!$(%##矛盾B 即$=8+$不是周期函数!课后习题全解
!!!
F !!实数
5!!
设%为有理数#$为无理数!证明)!!$%?$是无理数*!!!!!!
$$当%"#时#%$是无理数!!分析!根据有理数集对加"
减"乘"除!除数不为#$四则运算的封闭性#用反证法证!!证明!!
!$假设%?$是有理数#则!%?$$@%A $是有理数#这与题设$是无理数相矛盾#故%?$是无理数!
!$$假设%$是有理数#则当%"#时#%$%
A $是有理数#这与题设$为无理数相矛盾!故%$是无理数!
6$!
试在数轴上表示出下列不等式的解)!!$$!$$
@!$&#*!!$$B $@!B %B $@’B *!’$$@!!@$$@!!-’$@!$!解!!!
$由原不等式有$&#
$$
@!&+
#!或!$%#
$$
@!%+
#前一个不等式组的解集是C A +$B $&!,#后一个不等式组的解集是D A +$B @!%
$%#,!故!!$的解集是C *D !如图!E !!
%
&%
第一章!实数集与函数
图!E !
!$$由原不等式有$@!$@’%!#于是!?$$@’%!!
所以@!%!?$$@’
%!#即#%!’@$
%!#
则’@$&!#$%$!故!$$的解集为!@)#$$!如图!E $!
图!E $
!’$由原不等式应有’$@!$-##$@!
!@$$@!!-##从而对原不等式两端平方有$@!?$$@!@$!$@!$!$$@!!$-’$@$
因此有$!$@!$!$$@!!$$##所以!$@!$!$$@!
!$A ##由此得$A !#或$A !$!但检验知$A !和$A !$
均不符合原不等式!所以原不等式的解集为
7!!小结!在!
$$中是将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式去解!若直接利用绝对值的几何意义#
其解集就是数轴上到点!的距离小于到点’的距离的点集#即数轴上点$左侧的点集!
若直接考虑!’
$的解$应使不等式中三个二次根式有意义#则必有$-!#但这时不等式左端为负而右端为正#显然不成立#故其解集为7!5’
"设%";#$!证明)若对任何正数#有B %@;B %##则%A ;!!分析!用反证法#
注意到题设中#的任意性#只要设法找到某一正数#使条件不成立即可!!证明!假设%";#
则根据实数集的有序性#必有%&;或%%;!不妨设%&;#令#A %@;&##则B %@;B A %@;A ##但这与B %@;B A %@;%#矛盾#从而必有%A ;!5*
"设$"##证明$?!$-$#
并说明其中等号何时成立!!分析!由!%@;$$A %$@$%;?;$-##有%$?;$
-$%;!!证明!因$"##
则$与!$
同号#从而有$?
!$A B $B ?!B $B -$B $B %!B $!
B
A $等号当且仅当
B $B A !B $B
#即$AF !时成立!83"证明)对任何$#$有!!$B $@!B ?B $@$B -!*!!!!!$$B $@!B ?B $@$B ?B $@’B -$!!证明!直接由绝对值不等式的性质#
对任意的$#$有!!$B $@!B ?B $@$B -B !$@!$@!
$@$$B A B !B A !!$$B $@!B ?B $@$B ?B $@’B -B $@!B ?B $@’B -B !$@!$@!
$@’$B A $64
"设%";"=#$?!$?
表示全体正实数的集合$!证明B %$?;!$@%$?=!$
B $B
;@=B !%
’%
!!
数学分析同步辅导及习题全解#上册$
你能说明此不等式的几何意义吗-!分析!用分析法证明!!证明!欲证
B %$?;!$@%$?=!$
B $B
;@=B 只需证!%$?;!
$@%$?=!$$$$!;@=$$即证!$
%$@$!%$?;$$!%$?=$
!$$@$;=只需证%$?;=$!%$?;$$!%$?=$
!$
只需证!!%$?;=$$$!
%$?;$$!;$?=$
$即证
$%$;=$%$!;$?=$
$
由于%";"=#$?
#所以$;=$;$?=$#%$&##所以有$%$;=$%$!;$?=$$成立!所以原不等式成立!
其几何意义为)当;"=时#平面上以点C !%#;$"D !%#=$"G !###$为顶点的三角形中#B B C G B @B D G B B %B C D B *当;A =时#此三角形变成以点G !###$#C !%#;$为端点的线段!如图!@’!
图!E ’
!小结!利用分析法找到证题思路#
再用综合法证明#过程更为简捷!65
"设$&##;&##%";#证明%?$;?$介于!与%;
之间!!分析!本题实质是要比较两数的大小#
且该数符号不定#可用作差法!!证明!因$&##
;&##%";#则由!@%?$;?$A ;@%;?$#%;@%?$;?$A $!%@;$;!;?$$
得当%&;时#!%%?$;?$%%;*当%%;时#%;%%?$;?$
%!!故总有%?$;?$介于!与%;
之间!
!小结!通常要证某数%介于另两数;与=之间#
可转化为证!=@%$!;@%$%##这种方法在;与=大小关系不完全确定时#
也不必分情况讨论#较为简捷!例如本题中)因为$&##;&##%";#
则有!@
%?$;?!
$$
%;@%?$;?!
$
$A @$!;@%$$
;!;?$$
$%#所以%?$;?$必介于!与%;
之间!
6G "设"为正整数!证明)若"不是完全平方数#则!"是无理数!
!分析!本题采用反证法#
联想到互质"最大公约数以及辗转相除法的有关知识点#可得结论!!证明!用反证法!假设!"为有理数#则存在正整数<"&使!"A
<&
#且<与&互质!于是<$A %
(%
第一章!实数集与函数
"&$
#<$A &%!"
&$#可见&能整除<$!由于<与&互质#从而它们的最大公约数为!#由辗转相除法知)存在整数3"H 使<3?&H A !#则<$3?<&H A <!因&既能整除<$3又能整
除<&H #故能整除其和#于是&能整除<#这样&A !#所以"A <$!这与"不是完全平方数相矛盾!
!小结!本题证明过程比较独特#
先假设有理数为互质的两个数的商#利用这两个数与"之间的关系#
运用辗转相除法得出结论#注意知识点之间的内在联系!F $!数集"确界原理
8!
"用区间表示下列不等式的解)!!$B !@$B @$-#*
!!$$$?!$
$4*!’$!$@%$!$@;$!$@=$&#!%#;#=为常数#且%%;%=$*!*
$+./$-!$$
!!解!!
!$原不等式等价于下列不等式组$%!!!@$$@$-+
#!或!
$-!
!$@!$@$-+
#
前一个不等式组的解为$$!$*后一个不等式组的解集为空集#所以原不等式的解集
为@)#!’
!$
!!$
$绝对值不等式$?!$$4等价于@4$$?!$
$4!这又等价于不等式组$&#
@4$$$$
?!$4+
$!或!$%#4$$$$
?!$@4
+
$而前一个不等式组的解集为(’@!$$#’?!$$’#后者的解集为(@’@!$$#@’?!$$’!因此原不等式的解集为
(@’@!$$#@’?!$$’*(’@!$$#’?!$$’!’$作函数,!$$A !$@%$!$@;$!$@=$#$#$!
则由%%;%=知,!$$%##
当$#!@)#%$*!;#=$A ##当$A %#;#=&##
当$#!%#;$*!=#?)’(
)$因此,!$$&##当且仅当!!!!$#!%#;$*!=#?)$故原不等式的解集为
!%#;$*!=#?)$
!*$若#$$$$(
#则当且仅当$#(*#’*
(’
(时#+./$-!$$!再由正弦函数的周期性知)+./$-!$$的解集是$7(?(*#$7(?’*
(’(#其中7为整数!8$
"设’为非空数集!试对下列概念给出定义)!!$’无上界*!!!!!
$$’无界!%
)%
!!
数学分析同步辅导及习题全解#上册$
!解!!!$设’是一非空数集!若对任意的(&##总存在$##’#使$#&(#
则称数集’无上界!!$$设’是一非空数集!若对任意的(&##总存在$##’#使B $#B &(#则称数集’无界!8’
"试证明由!’$式所确定的数集’有上界而无下界!!证明!由!’$式所确定的数集’A +-B -A $@$$#$#$,#对任意的$#$#-A $@$$
$$#
所以数集’有上界$!而对任意的(&##取$#A ’?!(#$#存在-#A $@$$
#A $@
’@(A@!@(#’#而-#%@(#
因此数集’无下界!8*
"求下列数集的上"下确界#并依定义加以验证)!!$’A +$B $$
%$
,*!!$$’A +$B $A &.#&#%?,*!’$’A +$B $为!##!$内的无理数,*!*$’A +$B $A !@!$
&#&#%?,
!!解!!!$+,-’A !
$#./0’A@!$#下面依定义加以验证!因$$
%$#
等价于@!$%$%!$#所以对任意的$#’#有$%!$且$&@!$#即!$"@!$分别是’的上"下界!又对任意的正数##不妨设#%!$$#于是存在$#A !$@#$"$!A@!
$?#$
#使$#"$!#’#使$#&!$@##$!%@!$?##所以由上"下确界的定义+,-’A !$#./0’A@!$!!$$+,-’A?)#
./0’A !#下面依定义验证!对任意的$#’#!$$%?)#所以!是’的下界!因为对任意的(&##令&A ((’
?!#则&.&(#故’无上界#所以+,-’A?)*对任意的#&##存在$!A !.A !#’#使$!%!?
##所以./0’A !!!’$+,-’A !#
./0’A ##下面依定义验证!对任意的$#’#有#%$%!#所以!"#分别是’的上"下界!又对任意的#&##不妨设#%!#由无理数的稠密性#总存在无理数!#!###$#则有无理数$#A !@!#’#使$#A !@!&!@#*有无理数$!A !#’#使$!A !%#?##所以+,-’A !#./0’A #!!*$+,-’A !#
./0’A !$
#下面依定义验证!对任意的$#’#有!$$$%!#所以!"!$分别是’
的上"下界!对任意的#&##必有正整数&##0/
使!$&#%##则存在$#A !@!$&#
#’#使$#&!@##所以+,-’A !!又存在$!A !@!$A !$#’#
使$!%!$?##所以./0’A !$!83
"设’为非空有下界数集#证明)./0’A %#’9%A 9
./’!!证明!:$!设.
/0’A %#’#则对一切$#’有$-%#而%#’#故%是数集’中最小的数#即%A 9
./’!;$!设%A 9
./’#则%#’*下面验证%A ./0’)!!$对一切$#’#
有$-%#即%是’的下界*!"$对任何&&%#只需取$#A %#’#则$#%&
!从而满足%A ./0’的定义!%
*!%
84
"设’为非空数集#定义’@A +$B @$#’,!证明)!!$./0’@A@+,-’*!!$$+,-’@
A@.
/0’!!证明!!!$%A .
/0’@#由下确界的定义知#对任意的$#’@#有$-%#且对任意的&&%#存在$##’@
#
使$#%&!由’@A +$B @$#’,知#对任意的@$#’#@$$@%#且对任意的@&%@%#存在@$##’#使@$#&@&#由上确界的定义知+,-’A@%#
存在@$##’#使@$#&@&#
即./0’@
A@+,-’!同理可证!$
$成立!85"设C "D 皆为非空有界数集#定义数集C ?D A +I B I A $?-#$#C #-#D ,
!证明)!!$+,-!C ?D $A +,-C ?+,-D *
!!$$./0!C ?D $A ./0C ?./0D !!证明!!!$设+,-C A !!#+,-D A !$!对任意的I #C ?D #存在$#C #-#D #使I A $?-!于是$$!!#-$!$!从而I $!!?!
$!对任意的#&##必存在$##C #-##D #使$#&!!@#$#-#&!$@#$#则存在I #A $#?-##C ?D #使I #&!!!?!$$@#!所以+,-!C ?D $A !!?!$A +,-C ?+,-D !同理可证!$$成立!
6G
"设%&##%"!#$为有理数!证明%$
A
+,-+
%J
B J 为有理数#J %$,#当%&!#./0+%J
B
J 为有理数#J %$,#当%%!+
!!分析!利用指数函数的单调性#
把指数函数化归为对数函数讨论#并运用有理数的稠密性概念来证此题!
!证明!只证%&!的情况#
%%!的情况可以类似地加以证明!设C A +%J B
J 为有理数#J %$,!因为%&!#%J 严格递增#故对任意的有理数J %$#有%J
%%$#即%$是C 的一个上界!对任意的"%%$#由%$
&#及有理数的稠密性#
不妨设"&#且为有理数!于是必存在有理数J #%$#使得"%%J #%%$!
事实上#由781%$严格递增知)#%"%%$等价于781%"%781%
%$
A $#由有理数的稠密性#存在有理数J #使得781%"%J #%$#所以"A %781%"%%J #%%$!
故%$A +,-C A +,-+
%J
B J 为有理数#J %$,#%&!!!小结!关于求数集的确界或证明数集确界的有关命题#
主要利用确界的定义#进一步加深读者对数集上"下确界概念的理解#这对进一步学习极限理论及实数的完备性#使整个数学分析建立在坚实的基础上是十分重要的!
F ’!函数概念
8!
"试作下列函数的图象)!!$-A $$?!*!!!!!!!$$-A !
$?!$$
*!’$-A !@!$?!$$*!*$-A +
1/!+./$$*!3$-A ’$#B $B &!#
$’
#B $B %!#’#B $B A !’
()
!!解!利用描点作图法#
各函数的图象如图!E *至图!E G !5$"试比较函数-A %$
与-A 781%
$分别当%A $和%A !$
时的图象!%
!!%
图!E *!!!!!!!!!!图!E 3
图!E 4!!!!!!!!!!图!E 5
图!E G
!分析!利用指数函数与对数函数性质#注意$在-A %$
与-A 781%
$的定义域上的取值范围是不同的!!解!当%A $时#-A %$
是单调递增函数#
当%A !$
时#它是单调递减函数*当$A #时#!$
!$$
A $$
A !#
即两函数的图象都过点!##!$*当$&#时#!$!$
$
%!%$$
#
-A $$
的图象在-A !$!$
$
的图象上方*当$%#时#!$!$$
&!&$$
#-A !$!$$
的图象在-A $$
的图象上方*对任意的$#$?
#
两函数值都大于##即函数的图象都在$轴上方#且-A $$的图象与-A
!$!
$
$
的图象关于-轴对称!
%
"!%
-A 7
81%$是-A %$
的反函数!当%A $时#是单调递增的#当%A !$
时#是单调递减的*当#%$%!时#781!$
$&#&781$$*当$A !时#781!$
$A 781$$A #*当$&!时#781!$
$%
#%781$$*当$$#时#两个函数无定义#因此函数图象在-轴右方#且过点!!##$!-A 781!$
$与-A 781$
$的图象关于$轴对称!-A $$
与-A 781$$的图象"-A
!$!$
$
与-A 7
81!
$
$的图象皆关于直线-A $对称!如图!E H
!
图!E H !!!!!!!!!!!!!图!E !#
8’"根据图!E !#写出定义在(##!’上的分段函数,!!$$和,$!
$$的解析表达式!!解!利用直线的两点式方程或点斜式方程容易得到
,
!!$$A *$##$$$!
$
*@*$#!$%$$’()
!
,
$!$$A !4$##$$$
!
*
G @!4$#!*%$$!
$
##
!
$%$$’(
)
!8*
"确定下列初等函数的存在域)!!$-A +./!+./$$*!!!!!$$-A 7
1!71$$*!’$-A :I =+./71$!$!#*!*$-A 7
1:I =+./$!$
!#
!!解!!
!$因为+./$的存在域为$#所以-A +./!+./$$的存在域为$!!$$因71$&#等价于$&!#所以-A 71!71$$的存在域是!
!#?)$!!’$因为-A :I =+./3的存在域是(@!#!’#而@!$71$!#
$!等价于!$$$!
###所以-A :
I =+./71$!$
!#
的存在域是(!#!##’
!!*$因-A 713的存在域是!
##?)$#而3A :I =+./$!#的值域为@($#((’
$#由#%3$($%
#!%
有#%$!#
$!#即#%$$!##所以-A 71:
I =+./$!$
!#的存在域是!##!#’!83
"设函数,!
$$A $?$#$$##
$$#$&#+
!
求)!!$,!@’$#,!#$#,!!$*!!$$,!)$$@,!#$#,!@)$$@,!#$!)$&#$!!解!!!$,!
@’$A $?!@’$A@!,!
#$A $?#A $,!
!$A $!A $!$$因为)$&##
所以有,!
)$$@,!#$A $)$@!$?#$A $)
$@$,!
@)$$@,!#$A $?!@)$$@!$?#$A@)$84
"设函数,!$$A !!?$#求,!$?$$#,!$$$#,!$$
$#,!,!$$$#,!,!$
!$
$!
!解!,!
$?$$A !!?!$?$$A
!
’?$
,!
$$$A !!?$$*,!$$$A !
!?$$,!,!
$$$A !!?
!!?$
A $?!
$?$,
!
,!$
!$$A !
!?
!,!
$$A
!!?!!?$$A !
$?$
85
"试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成)!!$-A !!?$$$#*!!$$-A !:I =+./$$$$*!!’$-A 71!!?!?$!$
$*!!*$-A $
+./$
$
!
!解!!!$-A 3$#
#
3A H !?H $#H !A !#H $A $!$$-A 3$#
3A :I =+./H #H A $$
!’$-A 7
13#3A H !?H $#H !A !#H $A !’#’A H !?K #K A $$!*$-A $3#
3A H $
#H A +./$5G
"在什么条件下#函数-A
%$?;
=$?L
的反函数就是它本身-!分析!先把反函数求出#
分别讨论原函数与反函数的定义域#再讨论参数!!解!首先;
="%L #由-A %$?;=$?L #解得$A ;@L -=-@
%#交换$与-得-A ;@L $=$@%!当="#时#原函数的定义域为$"@L =#反函数的定义域为$"%=
!因此#要使二函数相同#必须%A@L #这时原函数为%$?;=$?L A
;@L $=$@%
#即为反函数!另外#当;A =A ##且%A L "#时亦满足!故当/;="%L 且%A@L 0或/
;A =A #且%A L "#0时#该函数的反函数就是其本身!8H
"试作函数-A :I =+./!+./$$的图象!%
$!%
!解!-A :I =+./!+./$$是以$(为周期的函数#
其定义域为$#值域为@($#((’
$
的分段函数#其在一个周期区间(@(#(
’上的表达式为-A (@$#(
$%$$($#@
($$$$($
@!(?$$
#@($$%@(
’
(
)
$
其图象如图!E
!!
!图!E !!
8!
#"试问下列等式是否成立)!!$J :/!:I =J :/$$A $#$#$*
!$$:I =J :/!J :/$$A $#$"7(?($
#
7A ##F !#F $#&!!解!!
!$由J :/$与:I =J :/$的定义知#!!$式成立!!$$因为J :/$的定义域为$"7(?
($
#7A ##F !#F $#&#而:I =J :/$的值域仅为@($#(!$$!所以!$$式不成立!例如当$A ’*(时#:I =J :/!J :/$$A :I =J :/!@!$A@(
*
"$!8!
!"试问-A B $B 是初等函数吗-!解!因-A B $B A $!
$是由-A !3与3A $$
复合而成的#所以-A B $B 是初等函数!8!
$"证明关于函数-A ($’的如下不等式)!!$当$&#时#!@$%$!(’
$
$!*!$$当$%#时#!$$!(’
$%!@$!
!证!由定义知!(’
$是不超过!$的最大整数#故有#$
!
$
@!(’
$%!所以!!!!!!!!!!!!$@!%!(’$$!
$
#
%
%!%
!!$当$&#时#给#两端同乘以$得
!@$%$!
(’$$!
!$$当$%#时#给#两端同乘以$得
!$$!
(’$%!@$ F*!具有某些特性的函数
8!"证明,!$$A
$
$$?!
是$上的有界函数!
!证明!利用不等式$B$B$!?$$有#对一切$#$都有B,!$$B A
B$B
$$?!
A
!
$
$B$B
$$?!
$
!
$
成立#故,!$$是$上的有界函数!
8$"!!$叙述无界函数的定义*
!$$证明,!$$A!
$$
为!##!$上的无界函数*
!’$举出函数,的例子#使,!$$为闭区间(##!’上的无界函数!
!解!!!$设,!$$为定义在.上的函数#若对任意的正数(#都存在$##.#使B,!$#$B&(#则称函数,!$$为.上的无界函数!
!$$证明)对任意的正数(#存在$
#A
!
(?
!!
#!##!$#使B,!$#$B A
!
$$#
A(?!&(#
所以,!$$A!
$$
是!##!$上的无界函数!
!’$设,!$$A
!
$$
#$#!##!’
!#$A
’
(
)#
!由!$$的证明知,!$$为(##!’上的无界函数!
8’"证明下列函数在指定区间上的单调性) !!$-A’$@!在!@)#?)$上严格递增*
!$$-A+./$在@(
$#(
(’$上严格递增*
!’$-A=8+$在(##(’上严格递减!
!分析!!$$"!’$两小题都是三角函数#要牢记三角函数的半角"倍角公式!后面讨论周期性以及傅里叶级数时都会用到!
!证明!!!$任取$!"$$#!@)#?)$#$!%$$#则有
,!$!$@,!$$$A’!$!@!$@!’$$@!$A’!$!@$$$%#
可见,!$
!$%,!$
$
$#所以,!$$A’$@!在!@)#?)$上严格递增!
!$$任取$
!#$
$#@
(
$
#(
(’$#$!%$$#则有
@
(
$%
$!?$$
$%
(
$
#!@(
$$
$!@$$
$%
#
因此=8+$!?$$
$&##!+./
$!@$$
$%
#
%
& !
%
从而,!$!$@,!$$$A +./$!@+./$$A $=8+$!?$$$+./$!@$$
$%##
,!$!$%,!
$$$!所以,!$$A +./$在@($#((’
$上严格递增!!’$任取$!#$$#(##(’#$!%$$#
则有#%
$!?$$$%(#!@($$$!@$$$%##从而有+./$!?$$$&##+./$!@$$$
%##
故,!$!$@,!$$$A =8+$!@=8+$$A@$+./$!?$$$+./$!@$$
$
&##从而,!$!$&
,!
$$$#所以,!$$在(##(’上严格递减!8*
"判别下列函数的奇偶性)!!$,!$$A !$
$*?$$
@!*!!!$$,!
$$A $?+./$*!’$,!
$$A $$K @
$$
*!*$,!
$$A 71!$?!?$!$
$!!解!!
!$因为,!@$$A !$!@$$*?!@$$$@!A !$$*?$$@!A ,!$$#故,!$$A !$
$*?$$
@!是偶函数!
!$$对任意的$#!@)#?)$有#,!
@$$A !@$$?+./!@$$A@$@+./$A@!$?+./$$A@,!$$#故,!$$A $?+./$为!@)#?)$上的奇函数!
!’$,!$$A $$K @
$$
在!@)#?)$上有定义#对任意的$#!@)#?)$有#,!
@$$A !@$$$K @!@$$$
A $$K @
$$
A ,!$$#故,!$$为!@)#?)$上的偶函数!
!*$,!$$A 71!
$?!?$!$
$在!@)#?)$上有定义#对每一个$#!@)#?)$有#,!
@$$A 71!@$?!?!@$$!$$A 71!@$?!?$!$$A@71!$?!?$!$
$A@,!
$$#所以,!$$A 71!$?!?$!$
$为!@)#?)$上的奇函数!53
"求下列函数的周期)!!$=8+$
$*!!$$J :/’$*!!
’$=8+$$?$+./$’
!!分析!求三角函数周期时#
应先转化为一次函数#再求周期#如!!$!如果有两个或两个以上的函数#分别求出它们各自的周期#再求最小公倍数#如!’$!!解!!!$,!
$$A =8+$$A !$
!!?=8+$$$#而!?=8+$$的周期是(#所以,!$$A =8+$$的周期是(!
!$$因为J :/$的周期是(#所以,!$$A J :/’$的周期是(’
!!’$因+./$"=8+$的周期是$(#所以=8+$$的周期是*(#+./$’
的周期是4(#故,!$$A =8+$$?$+./$’
的周期是
!$(!84
"设函数,!$$定义在(@%#%’上#证明)!!$M !$$A ,!$$?,!@$$#$#(@%#
%’为偶函数*!$$8!$$A ,!$$@,!@$$#$#(@%#
%’为奇函数*%
’!%
!’$,可表示为某个奇函数与某个偶函数之和!
!证明!!
!$因(@%#%’关于原点对称#M !$$在(@%#%’上有定义#对每一个$#(@%#%’有M !@$$A ,!@$$?,!$$A ,!$$?,!@$$A M !$$!故M !$$为(@%#
%’上的偶函数!
!$$因(@%#%’关于原点对称#8!$$在(@%#%’上有定义#对每一个$#(@%#%’有8!@$$A ,!@$$A@,!$$A@(,!
$$@,!@$$’A@8!$$!故8!$$为(@%#%’上的奇函数!
!’$由!!$"!$$得M !$$?8!$$A $,!
$$#从而有,!$$A M !$$?8!$$$A !$
M !$$?!$8!$$#而!$M !$$是偶函数#!$
8!$$是奇函数!从而,!$$可表示为一个奇函数
!$8!$$与一个偶函数!$
M !$$之和!85"设,"1为定义在.上的有界函数#
满足,!
$$$1!$$#$#.!证明)!!$+,-$#.
,!$$$+,-$#.
1!$$*!!$$./0$#.
,!$$$./0$#.
1!
$$!!证明!!!$记!A +,-$#.
1!$$#则对任意的$#.有#1!
$$$!#又因,!$$$1!$$#所以,!$$$1!$$$!!因此!是,!$$的上界#而+,-$#.,!$$是,!$$的最小上界#故+,-$#.,!$$$!A +,-$#.
1!
$$!!$
$同理可证!8G
"设,为定义在.上的有界函数#证明)!!$+,-$#.
+@,!$$,A@./0$#.
,!$$*!!$$./0$#.
+@,!$$,A@+,-$#.
,!$$!!证明!!!$记./0$#.
,!$$A %!由下确界的定义知#对任意的$#.#,!
$$-%#即@,!$$$@%#可见@%是@,!$$的一个上界*对任意的#&##存在$##.#使,!$#$&%?#
#即@,!$#$%@%@##可见@%是@,!$$的上界中最小者!所以+,-$#.
+@,!$$,A@%A@.
/0$#.
,!
$$!!$$同理可证结论成立!也可直接用!!$的结论来证!事实上#在!!$中换,!$$为@,!$$
得#+,-$#.
,!$$A +,-$#.
+@!,!
$$$,A@./0$#.
+@,!$$,#两边同乘以@!得./0$#.
+@,!$$,A@+,-$#.
,!
$$6H
"证明)J :/$在@($#(!$$上无界!而在@($#(!$
$内任一闭区间(%#;’上有界
!
!分析!要证J :/$在!@($#($$上无界#只需在$##!@($#($
$取一点#使J :/$#&(即可!
证在!@($#($
$上#存在区间(%#;’使J :/$有界#只需证J :/$$(##且有J :/%%J :/$%J :/
;!!证明!对任意的(&##取$#A :
I =J :/!(&!$#(($#(!
$
$
#有+J :/$#+%+J :/!:I =J :/!L&!$$+%L&!&L #
所以,!$$%J :/$在(($#(!$$
内是无界函数!但任取(%#;’.@($#(!$$#由于J
:/$在(%#;’上严格递增#从而当$#(%#;’时#J :/%%
(!%
$J
:/$$J :/;#记(A 9:;+B J :/%B #B J :/;B ,#则对一切$#(%#;’有B J :/$B $(#所以J :/$是(%#;
’上的有界函数!!小结!证明函数的有界性#
往往要利用函数的单调性#同时往往利用放缩法#这是极限理论的基础#也是今后学习分析学的基础!6!
#"讨论狄利克雷函数.!$$A !#当$为有理数###当$’
()
为无理数的有界性"
单调性与周期性!!分析!狄利克雷函数由定义可证得有界性#
单调性也比较明显#对周期性分有理数与无理数讨论!!解!由.!
$$的定义知#对任意的$#$#有B .!$$B $!#所以.!$$是$上的有界函数!由于对任意的有理数$!与无理数$$#无论$!%$$还是$$%$!#都有.!$!$&.!
$$$!所以.!$$在$上不具有单调性!对任意的有理数J 有
$?J A 有理数#
当$为有理数时无理数#当$’
()
为无理数时
于是对任一$#$#
有.!$?J $A !#当$为有理数时##
当$’()
为无理数时
A .!$$所以#任意有理数J 都是.!$$的周期!但任何无理数都不是.!$$的周期!事实上#对任一无理数"#对无理数@"#.!@"$A ##而.!"?!
@"$$A .!#$A !".!@"$!!小结!狄利克雷函数与黎曼函数是一类特殊函数#在以后的连续性以及极限理论中具有重要地位#要特别注意!8!!"证明),!
$$A $?+./$在$上严格增!!证明!任取$!"$$#!@)#?)$#$!%$$#
则,!
$$$@,!$!$A !$$@$!$?!+./$$@+./$!$A !$$@$!$
?$=8+$!?$$$+./$$@$!
$-!
$$@$!$@$=8+$!?$$$%+./$$@$!
$&!
$$@$!$@$%$$@$!
$
A #D +./$$@$!$%
B $$@$!B !
$
$
即,!$!$%,!
$$$#所以,!$$A $?+./$在!@)#?)$上严格增!6!
$"设定义在(%#?)$上的函数,在任何闭区间(%#;’上有界!定义(%#?)$上的函数)<!$$A ./0%$-$$
,!-$#(!$$A +,-%$-$$
,!-$
!试讨论<!$$与(!$$的图象#
其中!!$,!$$A =8+$#$#(##?)$*!!$$,!
$$A $$
#$#(@!#?)$!%
)!%
!分析!在讨论上述两个函数时#
首先应分割区间#在区间内讨论其单调性然后再讨论有界性!!解!!!$由<!$$及(!$$的定义知#对%%$#当,!-$
在(%#$’上为递增函数时#<!$$A ,!%$#(!$$A ,!$$!当,!-$在(%#$’上为减函数时#<!$$A ,!$$#(!$$A ,!%$!由此可知)对,!$$A =8+$#当#$$$(时#<!$$A =8+$#(!$$A !!而$#((#?)$时#由于@!$=
8+$$!#所以#<!$$A@!#(!$$A !#即有<!$$A =8+$##$$$(
@!#($$%?)
+
!!(!
$$<!#$#(##?)$其图象见图!E !$!
图!E !$!!!!!!!!!!图!E
!’!$$同上理#当$#(@!##’时#(!$$A !#<!$$A $$
*当$#!##?)$时#
<!$$<#*当$#(@!#!’时#(!$$<!*当$#!!#?)$时#
(!$$A $$
!即有<!$$A $$
#$#(@!##’##当$#!##?)+
’
(!$$A
!#$#(@!#
!’时$$
#当$#!!#?)$+
时
其图象见图!E !’!
!小结!确界理论是学习数学分析的基础#
对后面学习连续"微分"积分等都具有重要作用!总练习题
8!
"设%#;#$#证明)!!$9:;+%#;,A !$!%?;?B
%@;B $*!$$9./+%#;,A !$
!%?;@B
%@;B $!!证明!因为
!$!%?;?B %@;B $A
%#当%-;时;#当%%;+
时
!$!%?;@B
%@;B $A %#当%%;时;#当%-;+
时
所以!9:;+%#;,A !$
!%?;?B
%@;B $9./+%#;,A !$
!%?;@B %@;B $%
*"%
第一章!实数集与函数
8$
"设,和1都是.上的初等函数!定义(!$$A 9:;+,!$$#1!$$,#<!$$A 9./+,!$$#1!
$$,#$#.!试问(!$$和<!$$是否为初等函数-!解!由习题!得
(!$$A
!$
(,!$$?1!
$$?B ,!$$@1!$$B ’A
!$
(,!$$?1!$$?(,!
$$@1!$$’!$
’<!$$A !$
(,!$$?1!
$$@B ,!$$@1!$$B ’A
!$
(,!$$?1!$$@(,!
$$@1!$$’!$
’所以#(!$$与<!$$都是由.上的初等函数,!$$"1!
$$经四则运算和有限次复合而成的函数!所以#(!$$和<!$$都是初等函数!
8’
"设函数,!$$A !@$!?$
#求),!@$$#,!$?!$#,!$$?!#,!!$
$#!,!$$
#,!$$$#,!,!$$$!!解!,!@$$A !?$!@$*!,!$?!$A @$$?$*!,!
$$?!A !@$!?$?!A $!?$
*,!!$
$A !@
!
$!?
!$
A $@!$?!*!!,!$$A !?$!@$*!,!$$$A !@$$
!?$$*,!,!
$$$A !@
!@$
!?$!?
!@$!?$
A $$$A $5*
"已知,!
!$
$A $?!?$!$
#求,!$$!!分析!本题采用倒代换的方法#
即!$A K #但是根号中移出的数要加绝对值!!解!令!$A K #则$A !K !所以,!K $A !K
?!?
!
!$
K
!$
A
!K ?!?K !$
B K B
#故,!$$A !$?!?$!$B $B #故,!$$A !$?
!?$!$B $B
!83
"利用函数-A ($’求解)!!
$某系各班级推选学生代表#每3人推选!名代表#余额满’人可增选!名!写出可推选代表数-与班级学生数$之间的函数关系!假设每班学生数为’#)3#人$
*!$
$正数$经四舍五入后得整数-#写出-与$之间的函数关系!!解!!
!$因余额满’人可补选一名#即就是可在原来基础上增加$人后取整#于是-A $?$(’
3
!!
$A ’##’!#&#3#$!$$由($’的定义知!-A ($?#"3
’#$&#%
!"%
!!
数学分析同步辅导及习题全解#上册$
54
"已知函数-A ,!$$的图象#试作下列各函数的图象)!!$-A@,!$$*!!$$-A ,!@$$*!!’$-A@,!
@$$*!*$-A B ,!$$B *!!3$-A +1/,!
$$*!4$-A !$(B ,!$$B ?,!$$’*!!5$-A
!$
(B ,!$$B @,!$$’!!分析!作函数图象找出函数关于原函数的对称点"
对称中心!有绝对值号的要分类讨论!!解!!!$-A@,!
$$和-A ,!$$的图象关于$轴对称!!$$-A ,!@$$的图象与-A ,!$$的图象关于-轴对称!!’$-A@,!@$$的图象与-A ,!$$的图象关于原点对称!!*$-A B ,!
$$B A ,!$$#!!$#.!A +$B ,!$$-#,@,!$$#$#.$A +$B ,!$$%#’(),!3$-A +1/,!$$A !#!!!$#.!A +$B ,!$$&#,##$#.$A +$B ,!$$A #
,@!#$#.’A +$B ,!$$%#’(
),!4$-A !$(B ,!$$B ?,!$$’A ,!$$#$#.!A +$B ,!$$-#,##$#.$A +$B ,!$$%#’(),!5$-A !$(B ,!$$B @,!$$’A ##$#.!A +$B ,!$$-#,@,!$$#$#.$A +$B ,!$$%#’()
,其图象如图!E !*至图!E
!5!
图!E !*!!!!!!!!!!!图!E
!3
图!E !4!!!!!!!!!!!图!E !5
55
"已知函数,和1的图象#试作下列函数的图象)!!$*!$$A 9:;+,!$$#1!$$,*!!$$+!
$$A 9./+,!$$#1!$$,!%
""%
第一章!实数集与函数
!分析!将9:;+,#1,与9./+,#1,转化为分段函数再讨论!
!解!!!$*!$$A 9:;+,!$$#1!$$,A ,!
$$#$#.!A +$B ,!$$-1!$$,1!
$$#$#.$A +$B ,!$$%1!$+
$,!$$+!$$A 9./+,!$$#1!$$,A 1!
$$#$#.!A +$B ,!$$-1!$$,,!
$$#$#.$A +$B ,!$$%1!$+
$,其图象如图!E !G 和图!E !H !
!!!图!
E !G !!!!!!!!!!!图!E !H 5G "设,"1和N 为增函数#
满足,!
$$$1!$$$N !$$#$#$!证明),!,!$$$$1!1!
$$$$N !N !$$$!!分析!本题己经给出了,"1"
N 为增函数#把1!$$与N !$$看成中间变量!利用复合函数及其单调性质#可证得结论!!证明!因对任意的$#$#有,!$$$1!$$$N !
$$#且,!$$"1!$$和N !$$均为增函数#所以#有,!,!$$$$,!1!$$$$1!1!$$$$1!N !$$$$N !N !$$$即
,!,!$$$$1!1!
$$$$N !N !$$$8H
"设,和1为区间!%#;$上的增函数#证明第5题中定义的函数*!$$和+!$$也都是!%#;$上的增函数!
!证明!对任意的$!"$$#!%#;$#$!%$$#由,!$$"1!$$在!%#;$上递增知,!$$$-,!
$!$#1!$$$-1!$!$#因此*!$$$-,!$$$-,!$!$#*!
$$$-1!$$$-1!$!$#所以*!$$$-9:;+,!$!$#1!
$!$,A *!$!$#故*!$$在!%#;$上是增函数!同理可证+!$$是!%#;
$上的增函数!8!
#"设,为(@%#%’上的奇!偶$函数!证明)若,在(##%’上增#则,在(@%##’上增!减$!!证明!任取$!"$$#(@%##’#$!%$$#有@$!"@$$#(##%’且@$!&@$$!
由,!$$为(@%#%’上的奇函数及在(##%’上递增得#,!$!$A@,!@$!$%@,!
@$$$A ,!$$$!所以,!$$在(@%#
#’上是递增的!同理可证,!$$为偶函数时的相应结论成立!
8!
!"证明)!!
$两个奇函数之和为奇函数#其积为偶函数*!$$两个偶函数之和与积之都为偶函数*!’
$奇函数与偶函数之积为奇函数!!分析!对于!!$来说#./0$#.
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