新教材高中数学第十五单元作业A新人教A版必修第一册
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π
A. 3
2π
B.- 3
π
4π
C. 3 或 3
π
)
2π
D. 3 或- 3
答案
4.B 【解析】
∵tan α,tan β是方程x2+3 3x+4=0的两个根,∴tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=4>0,∴tan α<0,tan β<0,即
π
tan+tan
−3 3
2π
π
α,β∈(- 2 ,0),则tan(α+β)=1−tantan = 1−4 = 3,则α+β=- 3 (由, ∈ (− 2,0),可知α+β∈(-π,0)),故选B.
A. 10
B.3
C.2 2
D. 6
)
答案
7.A 两角差的正切公式+基本不等式
解题路线
式
利用基本不等式
【解析】
α]=
过点C向AB所在直线作垂线,垂足为D,设∠BCD=α
5 tan =tan[ + −]
2
5
tan θ的表达
求得tan θ最大时,对应x的值.
过点C向AB所在直线作垂线,垂足为D,设∠BCD=α,易知tan α=,tan(α+θ)=,tan θ=tan[(α+θ)-
多项选择题
11.[2023东营一中高一期末]已知函数f(x)=sin2x+2 3sin xcos x-cos2x,x∈R,则(
)
A.-2≤f(x)≤2
B.f(x)在区间(0,π)上只有1个零点
C.f(x)的最小正周期为π
2π
D.x= 3 为f(x)图象的一条对称轴
答案
11.AC 【解析】
π
f(x)=sin2x+2 3sin xcos x-cos2x= 3sin 2x-cos 2x=2sin(2x- 6 ).A选项,因为x∈R,所以-2≤f(x)≤2,故A正
2π
π
π
因为φ∈(0,π),所以令k=0,得φ= 3 ,即f(x)=2sin(ωx+ 3 − 6 )=2cos ωx.由f(x)+f(x+ 2 )=0⇒2cos ωx+2cos(ωx+
-cos(ωx+
ωx=
π
π
π
π
π
)=cos(π-ωx),所以ωx=2mπ±(π-ωx)(m∈Z).当ωx=2mπ+π-ωx(m∈Z)时,2ωx=2mπ+π(m∈Z),显然
tan(+)−tan
1+tan(+)tan
选A.
2
tan α=,tan(α+θ)=
=
3
10
1+ 2
=
3
10
10
10,由基本不等式知,当且仅当x= ,即x= 10时,x+ 最小,此时tan θ最大,从而角θ最大.故
+
单项选择题
8.[2023辽宁省实验中学月考]已知定义在R上的偶函数f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(φ∈(0,π),ω>0),对任意x∈R都有
sin2 +sincos
sin2 +cos2
=
sin(1+sin2)
sin+cos
因为tan θ=-2,所以sin θ=-2cos θ.则
4cos2 −2cos2
4cos2 +cos2
=
4−2
1+4
=
sin(sin+cos)2
=sin
sin+cos
θ(sin θ+cos θ)=
取最小值
ω=2,f(x)=2cos 2x
为偶函数
φ=
2π
3
2π
−
3
f(x)=2sin(ωx+
π
f( 6 )的值.
π
π
π
2π
f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ- 6 ),因为该函数为偶函数,所以有φ- 6 =kπ+2 (k∈Z)⇒φ=kπ+ 3 (k∈Z).
2π
3
A.cos215°-sin215°= 2
π
π
B.sin 8 cos 8 =
1
3
2
4
C.2sin 40°+ 2 cos 40°=sin 70°
π
D.
tan 6
π
tan2 6
1−
=
3
2
)
答案
9.ABD 【解析】
3
π
π
1
π
对于A,cos215°-sin215°=cos(2×15°)=cos 30°= 2 ,故A正确;对于B,sin 8 cos 8 = 2sin 4 =
π
6
π 11π
π
),当2x- =0或π时,f(x)=0,因此f(x)在区间(0,π)上有2个零点,故B不正确;C选项,f(x)的
6 6
6
确;B选项,当x∈(0,π)时,2x- ∈(- ,
2π
2π
2π
2π
π
最小正周期为 2 =π,故C正确;D选项,当x= 3 时,f( 3 )=2sin(2× 3 − 6 )=-1,显然不是最值,故D不正确.故选AC.
2 2
2
2
=
1−cos
2
4
=
1−5
2
=
填空题
π
15.[2022浙江卷]若3sin α-sin β= 10,α+β= 2 ,则sin α=
,cos 2β=
.(本题第一空2分,第二空3分)
答案
15.
3 10
10
4
5
【解析】
10
sin φ= 10 ,cos φ=
π
π
π
因为α+β= 2 ,所以β= 2 -α,所以3sin α-sin β=3sin α-sin( 2 -α)=3sin α-cos α= 10sin(α-φ)= 10,其中
单项选择题
1
2.[2023北京理工大学附中高一月考]已知sin β=3,cos(α+β)=-1,则sin(α+2β)=(
A.1
B.-1
1
)
1
C.3
D.-3
答案
2.D 凑角技巧+两角和的正弦公式
思路导引
已知角β,α+β的三角函数值,欲求α+2β的正弦值,观察到α+2β=α+β+β,进而用两角和的正弦公式可求解.
第十五单元
A 卷 • 高中名校好题基础达标卷
单项选择题
1.[2022阜宁中学高一阶段练习]cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°=(
A.cos 12°
B.-cos 12°
1
C.-2
)
1
D.2
答案
1.D 【解析】
故选D.
1
cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°=cos 24°cos 36°-sin 24°sin 36°=cos(24°+36°)=cos 60°=2.
π
π
f(x)+f(x+ 2 )=0,则当ω取最小值时,f( 6 )的值为(
A.1
B. 3
1
C.2
)
3
D. 2
答案
8.A 辅助角公式+偶函数
解题路线
利用辅助角公式化简函数的解析式
π
)=2cos
6
+ + 2 =0
π
ωx
【解析】
ω=-4m+2>0
π
f(x)=2sin(ωx+φ- )
6
【解析】
由cos(α+β)=-1,得sin(α+β)=0,又sin β=3,所以sin(α+2β)=sin(α+β+β)=sin(α+β)·cos β+cos(α+β)·sin β=-3.故选D.
1
1
单项选择题
π
π π
π
4.[2023莱州一中高一月考]若- 2 <α< 2 ,- 2 <β< 2 ,且tan α,tan β是方程x2+3 3x+4=0的两个根,则α+β=(
1+4
因为tan
sin(1+sin2)
θ=-2,所以 sin+cos
=
sin(sin+cos)2
=sin
sin+cos
θ(sin θ+cos
sin2 +sincos
θ)= sin2+cos2
=
tan2 +tan
1+tan2
=
2
= 5.故选C.
优解二(正弦化余弦法)
2
2
2
2
2
π
)(m∈Z)时,ω=-4m+2>0,当m=0时,ω取最小值2,即f(x)=2cos
2
不符合x∈R这一条件;当ωx=2mπ-(π-ωxπ
Hale Waihona Puke π)=0⇒cos2
π
1
f( 6 )=2cos(2× 6 )=2×2=1.故选A.
2x,因此
多项选择题
9.[2023安徽师大附中高一月考]下列等式成立的是(
单项选择题
sin(1+sin2)
=(
sin+cos
5.[2021新高考 Ⅰ 卷]若tan θ=-2,则
6
2
A.-5
2
B.-5
C.5
)
6
D.5
答案
5.C 【解析】
通解(求值代入法)
θ可能所在的象限),所以൞
4
2
2
θcos θ=5 − 5 = 5.故选C.
2
2
sin = −
sin(1+sin2)
.
答案
3π
13. 28 (答案不唯一, 满足 =
π
π
3π
2π
+
(k∈Z)即可)
28
7
3π
所以7α- 4 = 2 +2kπ(k∈Z),所以α= 28 +
【解析】
2π
3π
(k∈Z),故答案可以为
.
7
28
π
π
因为sin 7α-cos 7α= 2sin(7α- 4 )= 2,所以sin(7α- 4 )=1,
A.等腰直角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
)
答案
6.B 【解析】
在△ABC中,C=π-(A+B),则cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B,而1-cos C=2cos Acos B,则有
cos Acos B+sin Asin B=1,即cos(A-B)=1,因为0<A<π,0<B<π,所以-π<A-B<π,所以A-B=0,即A=B,所以△ABC是等腰三角形.
填空题
4
14.(回归教材)[2023上海市青浦高级中学高一阶段检测]在等腰三角形中,已知顶角的余弦值是5,则底角的余弦值
是
.
答案
14.
10
10
【解析】
10
,∴cos
10
设顶角为α,底角为β,则α+2β=π,cos
π−
=sin
2
2
β=cos
=
10
.
10
4
α= ,又∵cos
5
π
α=1-2sin2 , ∈(0, ),∴sin
1
3
2
,故B
4
正确;对于C,2sin 40°+ 2 cos 40°=sin 40°cos 60°+sin 60°cos 40°=sin(40°+60°)=sin 100°=sin 80°,故C错误;
π
对于D,
tan 6
π
tan2 6
1−
1
2
= ×
π
2tan 6
π
tan2 6
1−
1
π
= 2×tan 3 =
2
5
= .故选C.
得分秘籍
破解此类问题的关键:一是化简,利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系等,化简已知三角式;二是求值,利用弦化
切或切化弦,求出三角函数值.
单项选择题
6.[2022绵阳中学月考]在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,若1-cos C=2cos Acos B,那么△ABC一定是(
3 10
π
π
.所以α-φ=
+2kπ,k∈Z,所以α=
+φ+2kπ,k∈Z,所以sin
10
2
2
10
1
π
α=sin( 2 +φ+2kπ)=cos φ=
4
3sin α- 10=- 10 ,所以cos 2β=1-2sin2β=1-5 = 5.
名师点津
名师教方法
利用诱导公式及辅助角公式求得sin α的值;再利用二倍角的余弦公式计算求值.
5
5
或൞
,所以
1
1
sin+cos
− 5
cos = 5
sin =
cos =
因为tan θ=-2,所以角θ的终边在第二、四象限(提示:根据正切值的正负,确定角
=
sin(sin+cos)2
=sin
sin+cos
θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin
答案
优解一(弦化切法)
4−2
3 10
,k∈Z.因为sin
10
β=
填空题
π
π
16.[2023上海市实验学校月考]已知A是函数f(x)=sin(2 023x+ 6 )+cos(2 023x- 3 )的最大值,若存在实数x1,x2,使得对任意实
3
,D正确.故选ABD.
2
多项选择题
10.[2023北京师大附中期中]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于直线y=x对称,则以下
结论一定正确的是(
)
A.sin α=-cos β
B.cos α=sin β
C.cos(α-β)=0
D.sin(α+β)=1
答案
10.BD 【解析】
设角α的终边与单位圆的交点为(a,b),则角β的终边与单位圆的交点为(b,a),则sin α=b=cos β,cos α=
π
π
π
a=sin β,A错误,B正确;取α= 6 ,β= 3 ,则角α与角β的终边关于直线y=x对称,此时cos(α-β)=cos(- 6 )≠0,C错误;sin(α+β)=
sin αcos β+cos αsin β=sin2α+cos2α=1,D正确.故选BD.
A. 3
2π
B.- 3
π
4π
C. 3 或 3
π
)
2π
D. 3 或- 3
答案
4.B 【解析】
∵tan α,tan β是方程x2+3 3x+4=0的两个根,∴tan α+tan β=-3 3,tan αtan β=4>0,∴tan α<0,tan β<0,即
π
tan+tan
−3 3
2π
π
α,β∈(- 2 ,0),则tan(α+β)=1−tantan = 1−4 = 3,则α+β=- 3 (由, ∈ (− 2,0),可知α+β∈(-π,0)),故选B.
A. 10
B.3
C.2 2
D. 6
)
答案
7.A 两角差的正切公式+基本不等式
解题路线
式
利用基本不等式
【解析】
α]=
过点C向AB所在直线作垂线,垂足为D,设∠BCD=α
5 tan =tan[ + −]
2
5
tan θ的表达
求得tan θ最大时,对应x的值.
过点C向AB所在直线作垂线,垂足为D,设∠BCD=α,易知tan α=,tan(α+θ)=,tan θ=tan[(α+θ)-
多项选择题
11.[2023东营一中高一期末]已知函数f(x)=sin2x+2 3sin xcos x-cos2x,x∈R,则(
)
A.-2≤f(x)≤2
B.f(x)在区间(0,π)上只有1个零点
C.f(x)的最小正周期为π
2π
D.x= 3 为f(x)图象的一条对称轴
答案
11.AC 【解析】
π
f(x)=sin2x+2 3sin xcos x-cos2x= 3sin 2x-cos 2x=2sin(2x- 6 ).A选项,因为x∈R,所以-2≤f(x)≤2,故A正
2π
π
π
因为φ∈(0,π),所以令k=0,得φ= 3 ,即f(x)=2sin(ωx+ 3 − 6 )=2cos ωx.由f(x)+f(x+ 2 )=0⇒2cos ωx+2cos(ωx+
-cos(ωx+
ωx=
π
π
π
π
π
)=cos(π-ωx),所以ωx=2mπ±(π-ωx)(m∈Z).当ωx=2mπ+π-ωx(m∈Z)时,2ωx=2mπ+π(m∈Z),显然
tan(+)−tan
1+tan(+)tan
选A.
2
tan α=,tan(α+θ)=
=
3
10
1+ 2
=
3
10
10
10,由基本不等式知,当且仅当x= ,即x= 10时,x+ 最小,此时tan θ最大,从而角θ最大.故
+
单项选择题
8.[2023辽宁省实验中学月考]已知定义在R上的偶函数f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(φ∈(0,π),ω>0),对任意x∈R都有
sin2 +sincos
sin2 +cos2
=
sin(1+sin2)
sin+cos
因为tan θ=-2,所以sin θ=-2cos θ.则
4cos2 −2cos2
4cos2 +cos2
=
4−2
1+4
=
sin(sin+cos)2
=sin
sin+cos
θ(sin θ+cos θ)=
取最小值
ω=2,f(x)=2cos 2x
为偶函数
φ=
2π
3
2π
−
3
f(x)=2sin(ωx+
π
f( 6 )的值.
π
π
π
2π
f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ- 6 ),因为该函数为偶函数,所以有φ- 6 =kπ+2 (k∈Z)⇒φ=kπ+ 3 (k∈Z).
2π
3
A.cos215°-sin215°= 2
π
π
B.sin 8 cos 8 =
1
3
2
4
C.2sin 40°+ 2 cos 40°=sin 70°
π
D.
tan 6
π
tan2 6
1−
=
3
2
)
答案
9.ABD 【解析】
3
π
π
1
π
对于A,cos215°-sin215°=cos(2×15°)=cos 30°= 2 ,故A正确;对于B,sin 8 cos 8 = 2sin 4 =
π
6
π 11π
π
),当2x- =0或π时,f(x)=0,因此f(x)在区间(0,π)上有2个零点,故B不正确;C选项,f(x)的
6 6
6
确;B选项,当x∈(0,π)时,2x- ∈(- ,
2π
2π
2π
2π
π
最小正周期为 2 =π,故C正确;D选项,当x= 3 时,f( 3 )=2sin(2× 3 − 6 )=-1,显然不是最值,故D不正确.故选AC.
2 2
2
2
=
1−cos
2
4
=
1−5
2
=
填空题
π
15.[2022浙江卷]若3sin α-sin β= 10,α+β= 2 ,则sin α=
,cos 2β=
.(本题第一空2分,第二空3分)
答案
15.
3 10
10
4
5
【解析】
10
sin φ= 10 ,cos φ=
π
π
π
因为α+β= 2 ,所以β= 2 -α,所以3sin α-sin β=3sin α-sin( 2 -α)=3sin α-cos α= 10sin(α-φ)= 10,其中
单项选择题
1
2.[2023北京理工大学附中高一月考]已知sin β=3,cos(α+β)=-1,则sin(α+2β)=(
A.1
B.-1
1
)
1
C.3
D.-3
答案
2.D 凑角技巧+两角和的正弦公式
思路导引
已知角β,α+β的三角函数值,欲求α+2β的正弦值,观察到α+2β=α+β+β,进而用两角和的正弦公式可求解.
第十五单元
A 卷 • 高中名校好题基础达标卷
单项选择题
1.[2022阜宁中学高一阶段练习]cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°=(
A.cos 12°
B.-cos 12°
1
C.-2
)
1
D.2
答案
1.D 【解析】
故选D.
1
cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°=cos 24°cos 36°-sin 24°sin 36°=cos(24°+36°)=cos 60°=2.
π
π
f(x)+f(x+ 2 )=0,则当ω取最小值时,f( 6 )的值为(
A.1
B. 3
1
C.2
)
3
D. 2
答案
8.A 辅助角公式+偶函数
解题路线
利用辅助角公式化简函数的解析式
π
)=2cos
6
+ + 2 =0
π
ωx
【解析】
ω=-4m+2>0
π
f(x)=2sin(ωx+φ- )
6
【解析】
由cos(α+β)=-1,得sin(α+β)=0,又sin β=3,所以sin(α+2β)=sin(α+β+β)=sin(α+β)·cos β+cos(α+β)·sin β=-3.故选D.
1
1
单项选择题
π
π π
π
4.[2023莱州一中高一月考]若- 2 <α< 2 ,- 2 <β< 2 ,且tan α,tan β是方程x2+3 3x+4=0的两个根,则α+β=(
1+4
因为tan
sin(1+sin2)
θ=-2,所以 sin+cos
=
sin(sin+cos)2
=sin
sin+cos
θ(sin θ+cos
sin2 +sincos
θ)= sin2+cos2
=
tan2 +tan
1+tan2
=
2
= 5.故选C.
优解二(正弦化余弦法)
2
2
2
2
2
π
)(m∈Z)时,ω=-4m+2>0,当m=0时,ω取最小值2,即f(x)=2cos
2
不符合x∈R这一条件;当ωx=2mπ-(π-ωxπ
Hale Waihona Puke π)=0⇒cos2
π
1
f( 6 )=2cos(2× 6 )=2×2=1.故选A.
2x,因此
多项选择题
9.[2023安徽师大附中高一月考]下列等式成立的是(
单项选择题
sin(1+sin2)
=(
sin+cos
5.[2021新高考 Ⅰ 卷]若tan θ=-2,则
6
2
A.-5
2
B.-5
C.5
)
6
D.5
答案
5.C 【解析】
通解(求值代入法)
θ可能所在的象限),所以൞
4
2
2
θcos θ=5 − 5 = 5.故选C.
2
2
sin = −
sin(1+sin2)
.
答案
3π
13. 28 (答案不唯一, 满足 =
π
π
3π
2π
+
(k∈Z)即可)
28
7
3π
所以7α- 4 = 2 +2kπ(k∈Z),所以α= 28 +
【解析】
2π
3π
(k∈Z),故答案可以为
.
7
28
π
π
因为sin 7α-cos 7α= 2sin(7α- 4 )= 2,所以sin(7α- 4 )=1,
A.等腰直角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
)
答案
6.B 【解析】
在△ABC中,C=π-(A+B),则cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B,而1-cos C=2cos Acos B,则有
cos Acos B+sin Asin B=1,即cos(A-B)=1,因为0<A<π,0<B<π,所以-π<A-B<π,所以A-B=0,即A=B,所以△ABC是等腰三角形.
填空题
4
14.(回归教材)[2023上海市青浦高级中学高一阶段检测]在等腰三角形中,已知顶角的余弦值是5,则底角的余弦值
是
.
答案
14.
10
10
【解析】
10
,∴cos
10
设顶角为α,底角为β,则α+2β=π,cos
π−
=sin
2
2
β=cos
=
10
.
10
4
α= ,又∵cos
5
π
α=1-2sin2 , ∈(0, ),∴sin
1
3
2
,故B
4
正确;对于C,2sin 40°+ 2 cos 40°=sin 40°cos 60°+sin 60°cos 40°=sin(40°+60°)=sin 100°=sin 80°,故C错误;
π
对于D,
tan 6
π
tan2 6
1−
1
2
= ×
π
2tan 6
π
tan2 6
1−
1
π
= 2×tan 3 =
2
5
= .故选C.
得分秘籍
破解此类问题的关键:一是化简,利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系等,化简已知三角式;二是求值,利用弦化
切或切化弦,求出三角函数值.
单项选择题
6.[2022绵阳中学月考]在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,若1-cos C=2cos Acos B,那么△ABC一定是(
3 10
π
π
.所以α-φ=
+2kπ,k∈Z,所以α=
+φ+2kπ,k∈Z,所以sin
10
2
2
10
1
π
α=sin( 2 +φ+2kπ)=cos φ=
4
3sin α- 10=- 10 ,所以cos 2β=1-2sin2β=1-5 = 5.
名师点津
名师教方法
利用诱导公式及辅助角公式求得sin α的值;再利用二倍角的余弦公式计算求值.
5
5
或൞
,所以
1
1
sin+cos
− 5
cos = 5
sin =
cos =
因为tan θ=-2,所以角θ的终边在第二、四象限(提示:根据正切值的正负,确定角
=
sin(sin+cos)2
=sin
sin+cos
θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin
答案
优解一(弦化切法)
4−2
3 10
,k∈Z.因为sin
10
β=
填空题
π
π
16.[2023上海市实验学校月考]已知A是函数f(x)=sin(2 023x+ 6 )+cos(2 023x- 3 )的最大值,若存在实数x1,x2,使得对任意实
3
,D正确.故选ABD.
2
多项选择题
10.[2023北京师大附中期中]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于直线y=x对称,则以下
结论一定正确的是(
)
A.sin α=-cos β
B.cos α=sin β
C.cos(α-β)=0
D.sin(α+β)=1
答案
10.BD 【解析】
设角α的终边与单位圆的交点为(a,b),则角β的终边与单位圆的交点为(b,a),则sin α=b=cos β,cos α=
π
π
π
a=sin β,A错误,B正确;取α= 6 ,β= 3 ,则角α与角β的终边关于直线y=x对称,此时cos(α-β)=cos(- 6 )≠0,C错误;sin(α+β)=
sin αcos β+cos αsin β=sin2α+cos2α=1,D正确.故选BD.