湖南省常德市石门县第一中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案

2016年上学期高一年级数学段考试题
时量：120分钟 分值：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列叙述错误．．
的是（ ） A ．若事件A 发生的概率为)(A P ，则1)(0≤≤A P
B ．系统抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等．
C ．线性回归直线ˆˆˆy bx a =+必过点(,)x y ；
D ．对于任意两个事件A 和B ，都有()()()P A B P A P B =+
答案D
2．若扇形的面积为
38
π
、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316
π
B 【解析】4
38321212π
απαα=
⇒===r S
3.要得到函数x +π4)的图象, 只需要将函数x +π
4
)图象上所有的点( )
A ．向左平移π4个单位，纵坐标不变；
B ．向右平移π
4个单位，纵坐标不变； C ．向左平移π2个单位，纵坐标不变； D ．向右平移π
2
个单位，纵坐标不变．
A 【解析】解：因为y=sin(2x +π4)=cos(2π-2x-π4)=cos(π
4
-2x)=
π4（x-8π）,只需将图像向左平移π
4
个单位，纵坐标不变，可以得
到。

4.在区间上随机取一个数x ，cos
2
x
π的值介于0到
21
之间的概率为 （ ） A ．
3
1 B ．
π
2 C ．21 D ．3
2
【答案】A
5.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如右图，则下面结论中错误的一个是( )
A ．甲的极差是29
B ．乙的众数是21
C ．甲罚球命中率比乙高
D ．甲的中位数是24 D
6.某加工厂某季度生产A 、B 、C 三种产品共4 000件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，统计员制作了如下的统计表格：
由于不小心，A 、C 产品的有关数据已被污染不清，统计员只记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 产品数量（单位：件）是( ) A ．80 B ．90 C ．800 D ．900 答案C
7.用秦九韶算法计算当x =10时，f (x )=4
2
324x x x +++的值的过程中，1v 的值为( ) A ．30 B ．40 C ．35 D ．45
A 点拨：根据秦九韶算法，原多项式可改写为()()()()30214f x x x x x =
++++，0
v =3，
1v =3×10+0=30．
8.已知角α的正弦线和余弦线长度相等，且α的终边在第二象限，则αtan =（ ） A ．0 B ． 1 C ． 1- D ． 3
C 【解析】由条件知：|sin ||cos |,sin 0,cos 0αααα=><且，sin cos αα∴=-。

于是
tan 1α=-。

故选C
9.已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示， 2
()2
3
f π
=-
，则(0)f =（ ）
A ．2
3
-
B ．23
C ．－ 12
D ．12
B 【解析】由图象可得最小正周期为2π
3
于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π
12
对称
所以f(2π3)＝－f(π
2)＝23。

10.在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为( )
A ．120
B ．115
C ．1
5 D ．16
C
如图，在三棱锥S －ABC 中，任选两条棱，所有选法有：(SA ，SB )，(SA ，SC )，(SA ，AC )，(SA ，AB )，(SA ，BC )，(SB ，SC )，(SB ，AC )，(SB ，AB )，(SB ，BC )，(SC ，AC )，(SC ，AB )，(SC ，BC )，(AB ，AC )，(AB ，BC )，(AC ，BC )共15种．
其中异面直线的有：(SA ，BC )，(SC ，AB )，(SB ，AC )共3种． ∴P ＝315＝15
.
11.函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为
A
B
C D
答案C
12.已知函数()sin(2),f x x ϕ=+其中ϕ为实数. 若()()6
f x f π
≤对x R ∈恒成立，且
()()2
f f π
π>，则()f x 的单调递增区间是 （ ）
A ． ,()3
6k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦ B. ,()2k k k Z πππ⎡
⎤+∈⎢⎥⎣
⎦ C ． 2,()6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤++
∈⎢⎥⎣
⎦
D ． ,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ 答案C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若函数()2sin (01)f x x ωω=<<在闭区间0,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
ω的值为______34 14.若a 1，a 2，…，a 20这20个数据的平均数为x ，方差为0.21，则a 1，a 2，…，a 20，x 这21个数据的方差为________．
0.2
15.若执行如图所示的框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x ＝2，则输出的数等于________．3
2
16．袋里装有5个球，每个球都记有1～5中的一个号码，设号码为x 的球质量为(
)
2
530
x x -+克，这些球以同等的机会(不受质量的影响)从袋里取出．若同时从袋内任意取出两球，则它们质量相等的概率是 ．
15
点拨：设两球的号码分别是m 、n ，则有2
m －5m ＋30＝2n －5n ＋30．所以m ＋n ＝5．而5个球中任意取两球的基本事件总数有10种：12，13，14，15，23，24，25，34，35，45．符
合“任意取出两球，它们质量相等”这一事件的只有两种，即两球的号码分别是1，4及2，3．所以P ＝210＝1
5
．
三、解答题(本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （10分）(1)已知αtan 是关于x 的方程0122=--x x 的一个实根，且α是第三象限角，求αααα22cos 2cos sin sin 3+-的值．
（2）若错误！未找到引用源。

，且4sin 5α=
，求sin(2)tan()cos()sin()cos()22
παπαπαππαα-+-+-+的值，
(1)2． …………5分
（2）∵2
π
απ
<<，sin α=45 ，∴cos α=3
5-
，
得4tan 3α=-
，原式=)sin (cos )cos (tan sin ααααα---34
tan =
-=α。

…………10分
18（12分）．从含有两件正品21,a a 和一件次品1b 的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”呢
?
（b 1，a 2）}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.Ω由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则 A={（a 1，b 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）}. 事件A 由4个基本事件组成.因而P （A ）3
2
64==
. ……6分 （2）有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间
Ω={（a 1，a 1），（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 2，a 1），（a 2，a 2），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2），（b 1，b 1）}，由9个基本事件组成.由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B={（a 1，b 1），
（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）}.
事件B 由4个基本事件组成，因而P （B ）=
9
4
. ……12分 19(12分)某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A 类工人)，另外750
名工人参加过长期培训(称为B 类工人)．现用分层抽样方法(按A 类，B 类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数)．
(1)A 类工人中和B 类工人中各抽查多少工人？
(2)从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表1
表
异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)
图1 A 类工人生产能力的频率分布直方图 图2 B 类工人生产能力的频率分布直方图
②分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
解 (1)A 类工人中和B 类工人中分别抽查25名和75名． ……3分 (2)①由4＋8＋x ＋5＋3＝25，得x ＝5，6＋y ＋36＋18＝75，得y ＝15. 频率分布直方图如下：
图1 A类工人生产能力的频率分布直方图
图2 B类工人生产能力的频率分布直方图
从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小．……9分
②x A＝4
25×105＋
8
25
×115＋
5
25
×125＋
5
25
×135＋
3
25
×145＝123，
x B＝6
75×115＋
15
75
×125＋
36
75
×135＋
18
75
×145＝133.8，
x＝
25
100
×123＋
75
100
×133.8＝131.1.
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1. …………12分
20、（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求
出y 关于x 的线性回归方程y
ˆ＝b ˆx ＋a ˆ； 参考公式：求线性回归方程系数公式2
1
21
ˆx n x
y
x n y
x b
n
i i
i
n
i i --=∑∑==,x b y a
ˆˆ-= (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
解：(1)设事件A 表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则A 表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”．基本事件总数为10，事件A 包含的基本事件数为4．所以P (A )＝
410＝25
，所以P (A )＝1－P (A )＝3
5． …………4分
(2)易得
x ＝12，y ＝27，
3
1
977i i
i x y
==∑，
3
2
1
434i
i x
==∑，所以
3
^
1
3
2
2
2
139********.5434312
3i i
i i
i x y x y
b x
x
==--⨯⨯=
==-⨯-∑∑，^
^
27 2.5123a y b x =-=-⨯=-， 所以^
y ＝2．5x －3． ………………8分
(3)由(2)知：当x ＝10时，^
y ＝22，误差不超过2颗；当x ＝8时， ^
y ＝17，误差不超过2颗．故所求得的线性回归方程是可靠的． ……12分
21.（12分）已知0a >，函数()2sin 226f x a x a b π⎛⎫
=-+
++ ⎪⎝
⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，5() 1.f x -≤≤
（1）求常数a,b 的值； （2）设()()2
g x f x π
=+
，且lg ()0g x >，求()g x 的单调递增区间.
22.(12分)已知点5(
,2)12π在函数()2sin(),(02
)0,f x x ωωϕϕπ
><<=+的图象上，直线1,2,x x x x ==是()y f x =图象的任意两条对称轴，且21x x -的最小值为2
π。

（1）求函数)x (f 的单递增区间和其图象的对称中心坐标；
（2）设4
2A x x ππ⎧⎫
=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}
)1(B x f x m -<=,若A B ⊆,求实数m 的取值范围。