【新教材】6.2.3 向量的数乘运算 -人教A版高中数学必修第二册

【新教材】 6.2.3 向量的数乘运算
（人教A 版）
1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；
2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；
3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.
1.数学抽象：向量数乘概念；
2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；
3.数学运算：向量的线性运算；
4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.
重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件.
一、 预习导入
阅读课本13-16页，填写。

1、定义
实数与向量的积是一个_________，记作_________. 它的长度和方向规定如下：
（1）
.
（2）时，的方向与的方向_________；当时，的方向与的方向_________；
λa r
||||||λa λa =r v
0λ>λa r a r 0λ<λa r a r
特别地，当或时，
. 2、实数与向量的积的运算律
设、为任意向量，、为任意实数，则有：
（1）；
（2）；
（3）.
3、向量平行的充要条件：
向量与非零向量平行的充要条件是___________________________.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a 的方向与a 的方向一致．
( )
(2)共线向量定理中，条件a ≠0可以去掉．
( )
(3)对于任意实数m 和向量a ，b ，若m a ＝mb ，则a ＝b .
( )
2．若|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 方向相同，则下列关系式正确的是( )
A ．b ＝2a
B ．b ＝－2a
C ．a ＝2b
D ．a ＝－2b
3．在四边形ABCD 中，若AB ―→＝－1
2
CD ―→
，则此四边形是( )
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．梯形
D ．矩形
4．化简：2(3a ＋4b )－7a ＝______.
题型一 向量的线性运算 例1 化简下列各式：
(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)1
6
[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]． 0λ=0a =r r 0λa =r r a r b r
λμ()λμa λa μa +=+r r r
()()λμa λμa =r r
()λa b λa λb +=+r r r r
b r a
r
跟踪训练一
1、设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝⎛⎭⎫13a －b －⎝⎛⎭⎫a －2
3b ＋(2b －a )． 2、已知a 与b ，且5x ＋2y ＝a,3x －y ＝b ，求x ，y . 题型二 向量线性运算的应用
例2 如图所示，四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB ―→＝a ，AD ―→
＝b ，DC ―→＝c ，试用a ，b ，c 表示BC ―→，MN ―→.
跟踪训练二
1、如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC ―→＝a ，BD ―→
＝b ，试用a ，b 分别表示DE ―→，CE ―→，MN ―→
.
题型三 共线定理的应用
例3 已知非零向量e 1，e 2不共线．
(1)如果AB →
＝e 1＋e 2，BC →
＝2e 1＋8e 2，CD →
＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值． 跟踪训练三
1、已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →
＝2e 1－8e 2，CB →
＝e 1＋3e 2，CD →
＝2e 1－e 2，求证：A ，B ，D 三点
共线；
2、已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →
＝xOA →
＋yOB →
，求x ＋y 的值．
1.13⎣⎡⎦⎤1
2
（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于( )
A ．2a －b
B ．2b －a
C ．b －a
D ．a －b
2．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( )
二、 ①m (a －b )＝m a －mb ；②(m －n )a ＝m a －；③若m a ＝mb ，则a ＝b ；④若m a ＝na ，则m ＝n . A ．①④ B ．①② C ．①③ D ．③④
3.如图，△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DC →＝3BD →，AE →＝2EC →，则DE →
＝( )
A ．－13a ＋34b B.512a －34b
C.34a ＋13b D ．－34a ＋512b 4．对于向量a ，b 有下列表示：
①a ＝2e ，b ＝－2e ；
②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－1
10e 2；
④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.
其中，向量a ，b 一定共线的有( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④
5．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，而a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5
2k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个共线向量，则实数k ＝________．
6．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝2
3
AD ，
＝a ，
＝b .
(1)用a ，b 分别表示向量
(2)求证：B ，E ，F 三点共线．
答案
小试牛刀 1. (1)×(2) ×(3)× 2．A. 3．C. 4. －a ＋8b. 自主探究
例1 【答案】(1) 14a －9b . (2)－2a ＋4b .
【解析】(1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b .
(2)原式＝1
6(4a ＋16b －16a ＋8b )
＝1
6(－12a ＋24b ) ＝－2a ＋4b .
跟踪训练一【答案】1、－5
3
i －5j . 2、
⎩⎨⎧
x ＝111a ＋211
b ，y ＝311a －511b .
．
【解析】1、原式＝13a －b －a ＋2
3
b ＋2b －a
＝⎝⎛⎭⎫13－1－1a ＋⎝⎛⎭⎫－1＋2
3＋2b ＝－53a ＋53
b
＝－53(3i ＋2j )＋5
3(2i －j )
＝－5
3
i －5j .
2、联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
5x ＋2y ＝a ，
3x －y ＝b ，
解得
⎩⎨⎧
x ＝111a ＋211
b ，y ＝311a －511b .
例2 【答案】 BC ―→－a ＋b ＋c . MN ―→＝12a －b －1
2c .
【解析】 BC ―→＝BA ―→＋AD ―→＋DC ―→
＝－a ＋b ＋c .
∵MN ―→＝MD ―→＋DA ―→＋AN ―→，
又MD ―→＝－12DC ―→，DA ―→＝－AD ―→，AN ―→＝1
2AB ―→
，
∴MN ―→＝12a －b －1
2c .
跟踪训练二
1、【答案】DE ―→＝12a . CE ―→＝－12a ＋b . MN ―→
＝1
4
a －
b .
【解析】由三角形中位线定理，知DE 平行且等于12BC ，故DE ―→＝1
2
BC ―→
，
即DE ―→
＝1
2
a .
CE ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DE ―→
＝－a ＋b ＋12a ＝－1
2a ＋b .
MN ―→＝MD ―→＋DB ―→＋BN ―→＝12ED ―→＋DB ―→＋1
2BC ―→
＝－14a －b ＋12a ＝1
4
a －
b .
例3 【答案】（1）见解析，（2）k ＝±1.
【解析】 (1)证明：∵AB →
＝e 1＋e 2，
BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →
. ∴AB →
，BD →
共线，且有公共点B ． ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，
∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 即(k －λ)e 1＝(K λ－1)e 2.
∵e 1与e 2不共线，∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
k －λ＝0，λk －1＝0，解得k ＝±1.
跟踪训练三
【答案】1、见解析.2、x ＋y ＝1.
【解析】1、证明：∵CB →
＝e 1＋3e 2，CD →
＝2e 1－e 2，
∴BD →
＝CD →
－CB →
＝e 1－4e 2.
又AB →＝2e 1－8e 2＝2(e 1－4e 2)， ∴AB →＝2BD →，∴AB →∥BD →. ∵AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．
2、解 由于A ，B ，P 三点共线，所以向量AB →
，AP →
在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使AP →
＝λAB →
， 即OP →－OA →
＝λ(OB →
－OA →
)，
所以OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →， 故x ＝1－λ，y ＝λ，即x ＋y ＝1. 当堂检测
1-4.BBDA 5. －2或1
3
6．【答案】见解析.
【解析】。