创新能力题(学生版)

2024年新高考九省联考数学解答题训练：创新能力题
创新能力题在高考中的地位
题型特点
随着高考综合改革在各省市的逐步深入，高考命题也更能体现创新性要求。

通过命题创新，创设新颖的试题情境、题目条件、设问方式，考查考生思维的灵活性与创造性。

2024年九省联考的压轴题更是体现了命题的创新，综合考查考生数学学习能力、应用能力，对考生的数学素养要求较高，这次联考对各省的高考命题都具有很强的指导性，创新成为了高考新的热点和亮点，高考命题创新体现在四个方面：试题题型创新，试题内容创新、命题理念创新和问题解答方法创新，此类题目往往出现在压轴题的位置，难度大，区分度高。

突破策略
考生的创新能力的培养不是一蹴而就的，这就需要在平常的训练中有意识地加强这种题型的训练，为了帮助考生突破创新能力解答题，精选三类题目：新定义型、知识交汇型、创新型，可以帮助不同层次的考生进行针对性的练习，
达到突破这类解答题的目的。

1(2024·山东青岛·一模)记集合S =a n |无穷数列a n 中存在有限项不为零，n ∈N * ，对任意a n ∈S ，
设变换f a n =a 1+a 2x +⋯+a n x n -1
+⋯，x ∈R ．定义运算⊗：若a n ,b n ∈S ，则a n ⊗b n
∈S ，f a n ⊗b n =f a n ⋅f b n ．
(1)若a n ⊗b n =m n ，用a 1,a 2,a 3,a 4,b 1,b 2,b 3,b 4表示m 4；(2)证明：a n ⊗b n ⊗c n =a n ⊗b n ⊗c n ；(3)若a n =
n +1
2
+1
n n +1
,
1≤n ≤1000,
n >100
，b n =
1
2
203-n
,1≤n ≤5000,
n >500
，d n =a n ⊗b n ，
证明：d 200<1
2
．
2(2024·山东泰安·一模)已知各项均不为0的递增数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=2,a 2=4,a n a n +1=2S n S n +1+S n -1-2S n (n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列1S n
的前n 项和T n ；
(2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“G -数列”．证明：①对任意k ≤5且k ∈N *，存在“G -数列”b n ，使得b k ≤a k ≤b k +1成立；
②当k ≥6且k ∈N *时，不存在“G -数列”c n ，使得c m ≤a m ≤c m +1对任意正整数m ≤k 成立．
3(2024·海南·模拟预测)若有穷数列a1,a2,⋯,a n(n是正整数)，满足a i=a n-i+1(i∈N，且1≤i≤n ，就称该数列为“S数列”.
(1)已知数列b n
是项数为7的S数列，且b1,b2,b3,b4成等比数列，b1=2,b3=8，试写出b n
的每一项；(2)已知c n
是项数为2k+1k≥1
的S数列，且c k+1,c k+2,⋯,c2k+1构成首项为100，公差为-4的等差数列，数列c n
的前2k+1项和为S2k+1，则当k为何值时，S2k+1取到最大值？最大值为多少？
(3)对于给定的正整数m>1，试写出所有项数不超过2m的S数列，使得1,2,22,⋯,2m-1成为数列中的连续项；当m>1500时，试求这些S数列的前2024项和S2024.
4(2024·浙江·模拟预测)已知实数q≠0，定义数列a n
如下：如果n=x0+2x1+22x2+⋯+2k x k,x i∈0,1
，i=0,1,2,⋯,k，则a n=x0+x1q+x2q2+⋯+x k q k．
(1)求a7和a8(用q表示)；
(2)令b n=a
2n-1，证明：
n
i=1
b i
=a2n-1；
(3)若1<q<2，证明：对于任意正整数n，存在正整数m，使得a n<a m≤a n+1．
5(2024·河南郑州·二模)已知数列a n
满足如下两个性质，则称数
为有穷数列，且a n∈N*，若数列a n
列a n
为m的k增数列：①a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a n=m；②对于1≤i<j≤n，使得a i<a j的正整数对i,j
有k 个.
(1)写出所有4的1增数列；
(2)当n=5时，若存在m的6增数列，求m的最小值；
(3)若存在100的k增数列，求k的最大值.
6(2024·江西九江·二模)定义两个n 维向量a i =x i ,1,x i ,2,⋅⋅⋅,x i ,n ，
a j =x j ,1,x j ,2,⋅⋅⋅,x j ,n 的数量积a i ⋅a j =x i ,1x j ,1+x i ,2x j ,2+⋅⋅⋅+x i ,n x j ,n i ,j ∈N + ，a i ⋅a i =a 2i ，
记x i ,k 为a i 的第k 个分量(k ≤n 且k ∈N +).如三维向量a 1 =2,1,5 ，其中a 1 的第2分量a 1,2 =1.若由n 维向量组成的集合A 满足以下三个条件：①集合中含有n
个n 维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素a i ，a j ，满足a 2i =a 2j =
T (T 为常数)且a i ⋅a j =1.则称A 为T 的完美n 维向量集.(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在A 为T 的完美n 维向量集，求证：A 的所有元素的第k 分量和S k =T .
7(2024·上海松江·一模)对于数列a n
，称P(a k)=
1
k-1
a1-a2
+a2-a3
+⋯+a k-1-a k
(其中k≥
2,k∈N)为数列a n
的前k项“波动均值”.若对任意的k≥2,k∈N，都有P(a k+1)<P(a k)，则称数列a n
为“趋稳数列”.
(1)若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；
(2)已知等差数列a n
的公差为d，且a1>0,d>0，其前n项和记为S n，试计算：C2n P S2
+C3n P S3
+⋯+C n n P S n
(n≥2,n∈N)；
(3)若各项均为正数的等比数列b n
的公比q∈(0,1)，求证:b n
是“趋稳数列”.
8(23-24高三上·安徽合肥·期末)同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，b∈Z，m∈N*且m>1．若m(a-b)
则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)(“|”为整除符号)．
(1)解同余方程x2-x≡0(mod3)；
(2)设(1)中方程的所有正根构成数列a n
，其中a1<a2<a3<⋯<a n．
①若b n=a n+1-a n(n∈N*)，数列b n
的前n项和为S n，求S2024；
②若c n=tan a2n+1⋅tan a2n-1(n∈N*)，求数列c n
的前n项和T n．
9(2024·云南·模拟预测)三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：a 1a 2a 3
b 1b 2b 3
c 1c 2c 3
=a 1b 2c 3+a 2b 3c 1+a 3b 1c 2-a 3b 2c 1-a 2b 1c 3-a 1b 3c 2.若a ×b
=i
j
k
x 1
y 1z 1x 2y 2z 2
，
则称a ×b 为空间向量a 与b
的叉乘，其中a =x 1i +y 1j +z 1k x 1,y 1,z 1∈R ，b =x 2i +y 2j +z 2k x 2,y 2,z 2∈R ，i ,j ,k 为单位正交基底.以O 为
坐标原点，分别以i ,j ,k
的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A ,B 是空间直角坐标系中异于O 的不同两点.
(1)①若A 0,2,1 ,B -1,3,2 ，求OA ×OB ；
②证明：OA ×OB +OB ×OA =0
.
(2)记△AOB 的面积为S △AOB ，证明：S △AOB =12
OA
×OB ；
(3)问：(OA ×OB )2的几何意义表示以△AOB 为底面､OA ×OB
为高的三棱锥体积的多少倍？
10(2024·山东济南·一模)在空间直角坐标系O -xyz 中，
任何一个平面的方程都能表示成Ax +By +Cz +D =0，其中A ,B ,C ,D ∈R ，A 2+B 2+C 2≠0，且n
=A ,B ,C 为该平面的法向量.已知集合P =x ,y ,z x ≤1,y ≤1,z ≤1 ，
Q =x ,y ,z x +y +z ≤2 ，T =x ,y ,z x +y ≤2,y +z ≤2,z +x ≤2 .
(1)设集合M =x ,y ,z z =0 ，记P ∩M 中所有点构成的图形的面积为S 1，Q ∩M 中所有点构成的图形的面积为S 2，求S 1和S 2的值；
(2)记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为V 1，P ∩Q 中所有点构成的几何体的体积为V 2，求V 1和V 2的值：
(3)记集合T 中所有点构成的几何体为W .①求W 的体积V 3的值；
②求W 的相邻(有公共棱)两个面所成二面角的大小，并指出W 的面数和棱数.
11(2024·湖南邵阳·二模)给定整数n≥3，由n元实数集合P定义其随影数集Q=
x-y
.若min Q =1，则称集合P为一个n元理想数集，并定义P的理数t为其中所有 ∣x,y∈P,x≠y
元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合S=-2,-1,2,3
是不是理想数集；(结论不要求说明理由) ,T=-0.3,-1.2,2.1,2.5
(2)任取一个5元理想数集P，求证：min P
+max P
≥4；
(3)当P=x1,x2,⋯,x2024
取遍所有2024元理想数集时，求理数t的最小值.
注：由n个实数组成的集合叫做n元实数集合，max P
分别表示数集P中的最大数与最小数.
,min P
12(2024·辽宁·二模)如果数列x n ,y n ，
其中y n ∈Z ，对任意正整数n 都有x n -y n <1
2
，则称数列y n 为数列x n 的
“接近数列”．已知数列b n 为数列a n 的“接近数列”．(1)若a n =2n +
23
n ∈N *
，
求b 1,b 2,b 3的值；(2)若数列a n 是等差数列，且公差为d d ∈Z ，求证：数列b n 是等差数列；
(3)若数列a n 满足a 1=231100，且a n +1=-910a n +57
20
，记数列a n ､b n 的前n 项和分别为S n ,T n ，试判断是
否存在正整数n ，使得S n <T n ？若存在，请求出正整数n 的最小值；若不存在，请说明理由．(参考数据：
log 9101481≈16.7)
13(2024·山东潍坊·一模)若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称(ξ,η)是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设(ξ,η)的一切可能取值为(a i,b j)，i,j=1,2,⋅⋅⋅，记p ij表示(a i,b j)在Ω中出现的概率，其中p ij=P(ξ=a i,η=b j)=P[(ξ=a i)∩(η=b j)]．
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则(ξ,η)是一个二维随机变量．
①写出该二维离散型随机变量(ξ,η)的所有可能取值；
②若(m,n)是①中的值，求P(ξ=m,η=n)(结果用m，n表示)；
(2)P(ξ=a i)称为二维离散型随机变量(ξ,η)关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：P(ξ=a i)=
+∞
j=1p ij
．
14(2024·广东深圳·一模)在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为α0<α<1
，1-α；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为β(0<β<1),1-β．假设每次信号的传输相互独立．
(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为fα ，求fα 的最小值；
(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为x1,x2,x3,x4，记其中连续出现相
同数字的次数的最大值为随机变量X(x1,x2,x3,x4中任意相邻的数字均不相同时，令X=1)，若β=2 3，求
X的分布列和数学期望．
15(2024·山东聊城·一模)如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作A，B1，P，B2，C1，Q1，C2，Q，C3. 一个机器人从区域P出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域)，且到不同相邻区域的概率相等.
(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；
(2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率；
(3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率.
16(2023·全国·模拟预测)已知函数f x =x
e x
．
(1)求函数f x 在x=1处的切线方程；
(2)若x1+x2+⋯+x n=2，且x i>0i=1,2,⋯,n,n∈N*
，求证：f x1
+f x2
+⋯+f x n
≤
2
n e2
．
17(23-24高三上·浙江温州·期末)现有标号依次为1，2，⋯，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，⋯，依次进行到从n-1号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．
(1)当n=2时，求2号盒子里有2个红球的概率；
(2)当n=3时，求3号盒子里的红球的个数ξ的分布列；
(3)记n号盒子中红球的个数为X n，求X n的期望E X n
．
18(2023·山东潍坊·模拟预测)某地区未成年男性的身高x (单位：cm )与体重平均值y (单位：kg )的关系如下表1：
表1 未成年男性的身高与体重平均值身高/cm 60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重平均值/kg
6.13
7.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.113
8.8547.2555.05
直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的身高
与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优度判断系数R 2(如表2)．误差平方和越小、拟合优度判断系数R 2越接近1，拟合度越高．表2 拟合函数对比函数模型函数解析式
误差平方和
R 2指数函数y =2.004e 0.0197x
6.67640.9976二次函数y =0.0037x 2-0.431x +19.69738.26050.9971幂函数
y =0.001x 2.1029
74.6846
0.9736
(1)问哪种模型是最优模型？并说明理由；
(2)若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与骨细胞数量成正比，比例系数为k 1；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为k 2．记时刻t 的未成年时期骨细胞数量G (t )=G 0e r 1t
，其中G 0和r 1分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻t 的未成年时期肌肉细胞数量J (t )=J 0e r 2t ，其中J 0和r 2分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重y 关于身高x 的函数模型；
(3)在(2)的条件下，若k 2J 0
1k 1G 0
r 2r 1
=0.001，r
2r 1
=2.1029．当刚出生的婴儿身高为50cm 时，与(1)的模型
相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由．注：e 0.985≈2.67781，502.1029≈3739.07；婴儿体重y ∈2.5,4 符合实际，婴儿体重y ∈4,5 较符合实际，婴儿体重y ∈5,6 不符合实际．
19(2024·安徽·模拟预测)某校在90周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞赛．在竞赛中，每位参赛教师答题若干次，每一次答题的赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分，从第2次答题开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得10分，教师甲参加答题竞
赛，每次答对的概率均为1
2，每次答题是否答对互不影响.
(1)求甲前3次答题的得分之和为70分的概率．
(2)记甲第i次答题所得分数X i i∈N*
的数学期望为E X i
．
(ⅰ)求E X1
，E X2
，E X3
，并猜想当i≥2时，E X i
与E X i-1
之间的关系式；
(ⅱ)若
n
i=1E X i
>320，求n的最小值．
20(2024·湖南长沙·二模)据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值.现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览冰雪大世界，另外25%的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品.假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率.
(1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X，求X的分布列及数学期望；
(2)记n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为n+1个的概率为a n，求a n
的前n项和S n；
(3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n个的概率为b n，当b n取最大值时，求n的值.
21(2024·山西·一模)已知a >0，
且a ≠1，函数f x =a x +ln 1+x -1.(1)记a n =f n -ln n +1 +n ,S n 为数列a n 的前n 项和.证明：当a =8
9
时，S 64<2024；
(2)若a =1
e
，证明：xf x ≥0；
(3)若f x 有3个零点，求实数a 的取值范围.
22(2024·江苏·一模)已知a >0，函数f x =ax sin x +cos ax -1，0<x <π
4
．(1)若a =2，证明：f x >0；(2)若f x >0，求a 的取值范围；(3)设集合P ={a n a n =n
k =1
cos
π
2k k +1
,n ∈N ∗
，对于正整数m ，集合Q m =x |m <x <2m ，记P ∩Q m
中元素的个数为b m ，求数列b m 的通项公式．
23(2024·山东·模拟预测)将数列a n
从首项开始从左到右依次排列，得到数组a1，a2，a3，⋯，a n，然后执行以下操作：将a1移到a n右侧，然后剔除a2，再将a3移到a1右侧，然后剔除a4，继续以上操作，即将最左边的数移到最右边，然后剔除新数组最左边的数，直到剩下最后一个数a i(1≤i≤n)．若令此操作为J(n)，则J(n)=i(1≤i≤n)，且确定n的值可确定i的值，如J(1)=1，J(2)=1，J(5)=3．
(1)证明：J(2k)=2J(k)-1k∈N*
；
(2)证明：J2t =1(t∈N)；
(3)若n=2m+r m≥0,m∈N,0≤r<2m
，证明：J(n)=2r+1．
24(2024·山东·模拟预测)如图①，
将n 个完全一样质量均匀长为L 的长方体条状积木，一个叠一个，从桌子边缘往外延伸，最多能伸出桌缘多远而不掉下桌面呢？这就是著名的“里拉斜塔问题”．
解决方案如下：如图②，若n =1，则当积木与桌缘垂直且积木重心O 1恰与桌缘齐平时，其伸出桌外部分最
长为L 2
，如图③，若n =2，欲使整体伸出桌缘最远，在保证所有积木最长棱与桌缘垂直的同时，可先将上面
积木的重心与最下方的积木伸出桌外的最远端齐平，然后设最下方积木伸出桌外的长度为x ，将最下方积木看成一个杠杆，将桌缘看成支点，由杠杆平衡原理可知，若积木恰好不掉下桌面，则上面积木的重力G 乘
以力臂x ，等于最下方积木的重力G 乘以力臂L 2-x ，得出方程Gx =G L 2-x ，求出x =L
4
．所以当叠
放两个积木时，伸出桌外最远为L 4+L 2=3L
4
，此时将两个积木看成整体，其重心O 2恰与桌缘齐平．如图
④，使前两块积木的中心O 2与下方的第三块积木伸出桌外的最远端齐平，便可求出n =3时积木伸出桌外的最远距离．依此方法，可求出4个、5个直至n 个积木堆叠伸出桌外的最远距离．(参考数据：50<e 4<55，e 为自然常数)
(1)分别求出n =3和n =4时，积木伸出桌外的最远距离．(用L 表示)；(2)证明：当n =64时，积木伸出桌外最远超过2L ；
(3)证明：当n =352时，积木伸出桌外最远不超过15L
4
．
25(2024·山东烟台·一模)如图，
在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆A 沿着x 轴正向无滑动地滚动，点M 为圆A 上一个定点，其初始位置为原点O ,t 为AM 绕点A 转过的角度(单位：弧度，t ≥0).
(1)用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ；
(2)设点M 的轨迹在点M 0(x 0,y 0)(y 0≠0)处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：1+cos2θ
y 0
为定值；
(3)若平面内一条光滑曲线C 上每个点的坐标均可表示为(x (t ),y (t )),t ∈[α,β]，则该光滑曲线长度为F (β)-F (α)，其中函数F (t )满足F (t )=[x (t )]2+[y (t )]2.当点M 自点O 滚动到点E 时，其轨迹OE
为一条光滑曲线，求OE
的长度.
26(2024·山东临沂·一模)动圆C与圆C1:(x+2)2+y2=50和圆C2:(x-2)2+y2=2都内切，记动圆圆心C的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，则曲线上一点x0,y0
+F=0，试运用该性质解
+E y0+y
+Cy0y+D x0+x
处的切线方程为：Ax0x+B x0y+y0x
决以下问题：点P为直线x=8上一点(P不在x轴上)，过点P作E的两条切线PA,PB，切点分别为A,B.
(i)证明：直线AB过定点；
(ii)点A关于x轴的对称点为A ，连接A B交x轴于点M，设△AC2M,△BC2M的面积分别为S1,S2，求
S1-S2
的最大值.
27(2024·海南省直辖县级单位·一模)远程桌面连接是一种常见的远程操作电脑的方法，除了windows系统中可以使用内置的应用程序，通过输入IP地址等连接到他人电脑，也可以通过向日葵，anyviewer等远程桌面软件，双方一起打开软件，通过软件随机产生的对接码，安全的远程访问和控制另一台电脑.某远程桌面软件的对接码是一个由“1，2，3”这3个数字组成的五位数，每个数字至少出现一次.
(1)求满足条件的对接码的个数；
(2)若对接码中数字1出现的次数为X，求X的分布列和数学期望.
28(2024·广东佛山·二模)已知以下事实：反比例函数y=k
x
(k≠0)的图象是双曲线，两条坐标轴是其
两条渐近线．
(1)(ⅰ)直接写出函数y=1
2x的图象C0的实轴长；
(ⅱ)将曲线C0绕原点顺时针转π
4，得到曲线C，直接写出曲线C的方程．
(2)已知点A是曲线C的左顶点．圆E：x-1
2+y-1
2=r2(r>0)与直线l：x=1交于P、Q两点，直线AP、AQ分别与双曲线C交于M、N两点．试问：点A到直线MN的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时r的值；若不存在，说明理由．
29(2024·浙江·模拟预测)如图，由部分椭圆x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0,y≤0)和部分双曲线x2
a2
-
y2
b2
=
1y≥0
，组成的曲线C称为“盆开线”．曲线C与x轴有A2,0
、B-2,0
两个交点，且椭圆与双曲线的
离心率之积为
7 4．
(1)设过点1,0
的直线l与C相切于点M，求点M的坐标及直线l的方程；
(2)过A的直线m与C相交于点P、A、Q三点，求证：∠PBA=∠QBA．
30(2024·河南南阳·一模)在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的
算术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆E:x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的蒙日圆的面积为13π，该椭圆的上
顶点和下顶点分别为P1,P2，且P1P2
=2，设过点Q0,1 2
的直线l1与椭圆E交于A,B两点(不与P1,P2两点重合)且直线l2:x+2y-6=0.
(1)证明：AP1，BP2的交点P在直线y=2上;
(2)求直线AP1,BP1,l2围成的三角形面积的最小值.
31(2024·广东惠州·一模)黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数
学猜想之一．它与函数f x =x s-1
e x-1
(x>0,s>1，s为常数)密切相关，请解决下列问题．
(1)当1<s≤2时，讨论f x 的单调性；
(2)当s>2时；
①证明f x 有唯一极值点；
②记f x 的唯一极值点为g s ，讨论g s 的单调性，并证明你的结论．
32(2024·辽宁·一模)已知圆C1:x2+y2=1和椭圆C2:x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)，椭圆C2的四个顶点为
A1，A2，B1，B2，如图．
(1)圆C1:x2+y2=1与平行四边形A1B2A2B1内切，求a2+4b2的最小值；
(2)已知椭圆的内接平行四边形的中心与椭圆的中心重合．当a，b满足什么条件时，对C2上任意一点P，均存在以P为顶点与C1外切，与C2内接的平行四边形？并证明你的结论．
33(2024·浙江温州·二模)如图，
对于曲线Γ，存在圆C 满足如下条件：
①圆C 与曲线Γ有公共点A ，且圆心在曲线Γ凹的一侧；
②圆C 与曲线Γ在点A 处有相同的切线；
③曲线Γ的导函数在点A 处的导数(即曲线Γ的二阶导数)等于圆C 在点A 处的二阶导数(已知圆x -a 2+y -b 2=r 2
在点A x 0,y 0 处的二阶导数等于r 2b -y 0 3)；则称圆C 为曲线Γ在A 点处的曲率圆，其半径r 称为曲率半径．
(1)求抛物线y =x 2在原点的曲率圆的方程；
(2)求曲线y =1x
的曲率半径的最小值；(3)若曲线y =e x 在x 1,e x 1 和x 2,e x 2
x 1≠x 2 处有相同的曲率半径，求证：x 1+x 2<-ln2．
34(23-24高三上·山东潍坊·期末)某人从A 地到B 地有路程接近的2条路线可以选择，
其中第一条路线上有n 个路口，第二条路线上有m 个路口.
(1)若n =2，m =2，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为23
；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为34，第二个路口遇到红灯的概率为35，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由.(2)已知；随机变量X i 服从两点分布，且P X i =1 =1-P X i =0 =p i ，.则E n i =1X i
=n i =1p i ，且
E n i =1X i 2 =n
i =1p i +2i ≠j
p i p j i ,j =1,2,3,⋯,n .若第一条路线的第i 个路口遇到红灯的概率为12
i ，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差.。