从数学的本质探东西方数学教育的差异-副本

从数学的本质探东西方数学教育的差异
摘要：数学的本质是经验性和演绎性的辩证统一，东方的数学教育侧重数学的演绎性，而西方的数学教育侧重数学的经验性，本文力求从数学本质的角度探究东西方在数学教育理念、数学课程目标、数学课程内容、教材结构体系、课堂教学方式、概念理解、技能训练、问题解决、数学探究和综合难度等方面存有的差异.
关键词：数学的本质；东西方数学教育的差异
一、东西方对数学本质的认知差异
数学家们一般认为：数学的本质是经验性和演绎性的辩证统一. 数学源于生活，如计算时间、分配物品、丈量土地和容积等，所以19世纪之前，人们一般认为数学是一门经验科学. 19世纪以来，随着近现代数学的持续发展，特别是欧式几何，非欧几何、抽象代数和集合论等的产生，现代数学向抽象、多元、高维发展，人们的注意力集中到这些抽象对象上，数学与现实之间的距离逐步远去，数学在数学研究中占据了重要地位，人们越来越认为数学是一门演绎科学. 1931年，歌德尔不完全性定理的证明宣告公理化逻辑演绎系统存有缺憾，匈牙利著名数学哲学家拉卡托斯对数学的经验性和演绎性作出概括，认为数学具有拟经验性. 当代计算机技术的高速发展，人们能够用计算机实行数值计算，数学实验和机器证明，实现了经验性和演绎性的新的融合和统一.
近现代，数学在西方科技、经济等领域的发展中得到广泛应用，数学的应用价值逐渐被人们重视，形成和发展了一个新的数学分支——应用数学，西方的数学教育也走向了重实用和经验的道路；中国的数学教育受苏联的影响很大，在八九十年代走上了与中国数学传统相反，追求严密化、形式化的道路，侧重数学的演绎性. 对数学本质的不同侧重，是东西方在数学教育理念、数学课程目标、数学课程内容、教材结构体系、课堂教学方式、概念理解、技能训练、问题解决、数学探究和综合难度等方面存有差异的根源.
二、东西方数学教育的差异
1. 数学教育理念
我国的数学教育侧重数学的演绎性，所以，一直以来我们特别强调“双基”教学，只有学生的“双基”扎实了，他们才能够发展较高水平的演绎推理水平；教材、教辅和考试试卷中有很多题难度水平比较高，设置这些难题的主要目的就是要培养和考查学生的演绎推理水平. 美英等国的数学教育侧重数学的经验性，鼓励学生试验、观察、操作、发现、探究、交流、创造，重视培养学生的动手和创造水平. 所以，我国学生的数学基础知识较扎实，解题水平较高，而动手和创造水平就不如美英国家.
2. 数学课程目标
我国普通高中数学课程标准（实验）确定的数学课程目标是：（1）获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用. 通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程；（2）提升空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本水平；（3）提升数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的水平，数学表达和交流的水平，发展独立获取数学知识的水平；（4）发展数学应用意识和创新意识，力
求对现实世界中蕴涵的一些数学模式实行思考和作出判断；（5）提升学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度；（6）具有一定的数学视野，逐步理解数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观.
美国课程标准（2000版）中这样叙述：我们的数学课程必须联系我们的学生的兴趣；聚焦数学的逻辑与实验特征；为数学学习创设丰富的环境；了解学生的数学体验. 英国2000年国家数学课程的三大目标：让绝大部分人掌握“基本技能”；为少数人传授一定的符号操作和运算的知识；培养“现实生活”应用所需的技能.
能够看出，我国数学课程的目标首先是使学生获得必需的基本知识和基本技能，在此基础上培养学生的数学思维水平，让学生体验数学的价值，具有数学应用意识. 美国数学课程强调联系学生的兴趣，为学生的实验、操作和体验创设环境. 我们的课程目标倾向于“建立在双基和思维基础上的体验和应用”，而美国的课程目标倾向于“建立在实验和操作基础上的双基和思维”. 英国的课程目标强调数学的实用性.
3. 数学课程内容
我国的数学课程（以苏教版教材为例）必修部分包括：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）；立体几何初步、平面解析几何初步；算法初步、统计、概率；基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换；解三角形、数列、不等式. 选修部分包括：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用；推理与证明、数系扩充与复数的引入、框图；空间中的向量与立体几何；计数原理、统计案例、概率.
美国在《标准（2000）》中为每个学段设立的数学课程内容包括：数与运算、代数、几何、测量、数据分析与概率、问题解决、推理与证明、交流、关联、表达.
2000年英国国家数学课程的教学内容包括：数与代数（使用和应用数与代数，数与数系，计算，解数的问题，处理、表示和解释数据，方程、公式和恒等式，数列、函数和图像）；形状、空间和测量（使用和应用形状、空间和测量，理解形状的模式和性质，理解位置和运动的性质，理解测量，几何推理，变换与坐标，测量与作图）；数据处理（使用和应用数据，明确问题和制定计划，收集数据，处理表示和解释数据，解释和讨论结果）.
我国的数学课程内容集中在数学的基础知识、基本技能和逻辑推理推理上，讲究学科内容覆盖的全面、层层递进和知识体系的完备，这是培养学生的演绎推理水平的内在要求. 美国和英国的数学课程内容联系实际生活经验，注重实用性，建立在学生的实验与操作的基础之上，要求学生实行数学表征、数学交流、数学应用和问题解决.
4. 教材结构体系
我们以中英两国的数学教材的结构体系（见上图）为例，我国的数学教材（苏教版）每个课题的课时较多，前后联系，由定理、公理构成演绎体系，综合难度高. 英国的数学教材（EXTER 大学“数学教学改革中心”的MEP 试验教材.）侧重数学的实用性和经验性，每个课题的课时较少，联系不强，不深挖掘，综合难度低.
5. 课堂教学方式
在一节典型的中国数学课堂上，教师根据自己对课堂的精心设计有条不紊地讲解概念和例题，学生全神贯注地听讲，理解概念，根据教师的示范和要求实行解题训练，讲究一题多变、一题多解，即我们通常所说的“变式教学”，学生在“变与不变”中加深对概念的理解，强化对知识点之间的联系的理解以及对方法、技巧等的掌握等，从而他们的演绎推理水平持续提升. 在一节典型的日本数学课堂上，教师通常出示一个复杂的问题，要求学生独立地寻求各种不同的解法，然后实行小组讨论, 接着由教师和学生一起对各种解法的优缺点实行分析，这样做的目的提升学生的演绎推理和问题解决水平.
在一节典型的美国数学课堂上，常常由教师先给出实验和操作的要求，然后学生实行操作、实验、探究和交流，或者教师给出某类问题的解法，然后学生练习一批类似的问题，整个课堂集中于学生通过实验达到对事实和程序的掌握.
6. 关于概念理解
先看关于“有理数乘法”的两个课题设计.
（1）（中国）如图（图略），一只蜗牛沿直线 l 爬行，它现在的位置恰在 l 上的点O .
(1)如果蜗牛一直以每分2 cm 的速度向右爬行，3分后它在什么位置？
(2)如果蜗牛一直以每分2 cm 的速度向左爬行，3分后它在什么位置？
(3)如果蜗牛一直以每分2 cm 的速度向右爬行，3分前它在什么位置？
(4)如果蜗牛一直以每分2 cm 的速度向左爬行，3分前它在什么位置？
为区分方向，规定：向左为负，向右为正；为区分时间，规定：现在前为负，现在后为正.
(1)3分后蜗牛应在l 上点O 右边6 cm 处，这能够表示为(+2)×(+3) = +6；
英国
(2)3分后蜗牛应在l 上点O 左边6 cm 处，这能够表示为(-2)×(+3) = -6；
(3)3分前蜗牛应在l 上点O 左边6 cm 处，这能够表示为(+2)×(-3) = -6；
(4)3分前蜗牛应在l 上点O 右边6 cm 处，这能够表示为(-2)×(-3) = +6.
填空：正数乘正数积为___数，负数乘正数积为___数，正数乘负数积为___数，负数乘负数积为___数，乘积的绝对值等于各乘数绝对值的___.
有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
（2）（英国）完成下面的乘法表.
表1 表2 表3
2×
3=6 3×2=6 3×(-2)=-6 2×2=4 2×2=4 2×(-2)=-4 2×1=2 1×2=2 1×(-2)=
2×0 = 0×2= 0×(-2)=
2×(-1)= -1×2= -1×(-2)=
2×(-2)= -2×2= -2×(-2)=
2×(-3)= -3×2= -3×(-2)=
发现：正数×正数=正数，正数×负数=负数，负数×正数=负数，负数×负数=正数.
提出乘法法则：符号相同的两个有理数的乘积是正数；符号不同的两个有理数的乘积是负数. 我国的课题设计力求从原理的角度来解释和证明有理数乘法法则，让学生在理解的基础上获得概念. 英国的学生在老师的指导下完成操作，观察模式，归纳出有理数的乘法法则，但这仅仅归纳，学生并不知道为什么. 英国学生的概念理解侧重于对事实和程序的记忆，而我国学生一般需要理解概念的内涵和外延. 这个差异也是由两国对数学的经验性和演绎性的不同侧重决定的.
7. 关于技能训练
看一个关于教师对数学教学目标的看法的国际性的调查问卷[1]，问题是：“你希望学生在这堂课主要学到什么东西？”统计结果见下表：
美国和德国教师重视数学技能，而日本教师重视数学思维， 有理由相信如果将中国教师纳入调查对象，结果也会与日本相似. 这与东西方对数学本质的不同侧重有着直接的关系.
一般认为数学技能包含两种：操作性技能和认知性技能. 操作性数学技能是指在头脑外部通过肌体活动来实现的动作，其活动对象指向物质活物质化的客体，是一种外显活动. 认知性数学技能是指头脑中的数学智力活动，其活动对象不是具有一定物质形式的客体，而是这种客体在头脑中的映象，因而是一种观点性的活动. 西方侧重数学的经验性，聚焦操作性数学技能，如使用-2 -2 -2
-2 +2
计算工具（计算机等）、统计、测量、作图等，我国比较侧重数学的演绎性，聚焦认知性数学技能，如运算，式的恒等变换，解不等式，推理论证等.
8. 关于问题解决
中国数学课程中的数学问题解决具有以下特征：一般没有实际背景；涉及连续的、环环相扣的数学推理；需要学生主动地挖掘隐含的信息；知识的综合水准高，要求学生主动建立概念/命题之间的联系；能够分解为一系列的基本命题的组合，也能够通过局部调整产生各种新的变式题，所以题型的积累与相对应的解题经验非常重要；技巧性高，要求解题者熟练掌握双基，从而把注意力集中在寻找解题策略上；需要较长的解题时间，高度集中的注意力，较强的意志力和较高的自信心；对智力是一个挑战，绝绝大部分解题者都会遇到各种困难，很多人会遭受失败；一旦获解，则会产生极大的满足感；背景简单、清晰，一般不需要使用日常生活的实际经验英国数学课程中的问题解决具有以下特征：通常具有实际或具体的背景；一般不涉及推理，或者只要求1步推理；题目中一般都包含有解题所需的全部信息，很少要求学生自己去挖掘除基本概念以外的隐含条件；一道题目一般只涉及单个知识点，较少要求学生去建立不同概念之间的联系；不必担心会因为信息的繁杂而顾此失彼；不同的题目之间缺少联系，很少出现相互组合、或者相互化归的情形；题型的积累与解题的经验并不重要；解题进程通常是单一方向的，即从条件到结论；一般都有现成的解题程序，学生很少面临解题思路的抉择与调整；一般只需要几分钟就能解决问题；不同水平的学生通常有不同的要求，所以，绝绝大部分学生都不会遇到太多的解题障碍；背景的复杂性常常超过数学本身的复杂性.
9. 关于数学探究
培养学生的探究水平，需要在课程中设置适合学生探究的问题. 我国最新的数学教材中虽然增加了些被冠以“探究”之名的问题（如部分开放型题），“涉嫌”假探究，本质上还是属于逻辑推理题. 探究性的问题往往具有一定的挑战性，需要非算法化的、非常规的、创造性的思维，没有可预期的解题路径可遵循，需要学生去探索、尝试和发现，并适时自我调整思维方式.
下面是一组英国数学教学框架中的属于“做数学”层次的题：
（1）问题：一个邻居告诉你，当地公交系统的服务质量没有以前好. 你如何发现这是否真实？相关问题：如何给“好”下定义？班次、票价、时间，以及与舒服、方便等相关的因素？
一天/周中，公交车的频率的变化情况.
（2）公式推导：将n个立方体堆成一个长方体后, 能够看到的面的个数f.
（3）用数字1，2，3，4，5，6，7 各一次完成下面的算式： + + + = 100（4）图1是用火柴棒摆成的一个三角形图形.如果在图形中有R排三角形, 那么需要的火柴棒是 (3R2 + 3R)/2根.现在要摆17排三角形，需要多少根火柴?
（5）如图2，先将一个1×2的矩形分割为一个三角形和一个梯形, 然后再继续分割. 通过不断分割的过程，你能得到哪些图形? 给出它们的名称并讨论其性质.
（6）图3中h, j, k可以是任何整数.空格中的每一个数都等于它下面两个数的和. 证明: 最
顶端空格中的数一定是偶数. 并考虑：如果j换成j+1，或者2h换成h，会发生什么变化?
?
? ?
2h j 2k
图1 图2 图3
英国数学教学框架中的“做数学”层次的探究题还具有以下特征：题目的设计很灵活，如情境、提问等；并不是非常复杂，易入手；背景很“鲜活”，来源广泛且变化丰富.
10. 关于综合难度
综合难度模型[2]是从整体上评估数学课程、教材或试卷的难度水平和综合特征的一个模型，包含“探究”、“背景”、“运算”、“推理”和“知识量”五个难度因素. 我国的数学课程在探究和背景水平上低于英国的数学课程，在运算、推理和知识的综合水平上，均显著高于英国的数学课程，我国的数学课程综合难度显著高于英国.
总的来说，数学本身正以前所未有的“纯数学与应用数学，逻辑演绎与实验归纳”相统一趋势的发展. 这表明，数学教育改革也应顺应时代的发展，在“两极”之间寻求最佳的动态平衡[3].
参考文献
[1] 鲍建生. 追求卓越[M]. 上海：上海教育出版社, 2003.
[2] 鲍建生. 中英两国初中数学课程综合难度的比较研究(D). 2002.
[3] 郑毓信. 数学课程改革: 比较与思考[J]. 中学数学月刊, 2003, 2.
普通高中数学课程标准(修改稿).
美国数学课程标准（2000版）
英国数学课程标准（2000版）。