人教版七年级数学下册期末解答题压轴题(含答案)

人教版七年级数学下册期末解答题压轴题（含答案）
一、解答题
1．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长．
2．动手试一试，如图1，纸上有10个边长为1的小正方形组成的图形纸．我们可以按图AB BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD．
2的虚线,
（1）基础巩固：拼成的大正方形ABCD的面积为______，边长AD为______；
（2）知识运用：如图3所示，将图2水平放置在数轴上，使得顶点B与数轴上的1
-重合．以点B为圆心，BC边为半径画圆弧，交数轴于点E，则点E表示的数是______；（3）变式拓展：
⨯的方格纸（每个小正方形边长为1），你能从中剪出一个面积为13的①如图4，给定55
正方形吗？若能，请在图中画出示意图；
②请你利用①中图形在数轴上用直尺和圆规
．．．．．表示面积为13的正方形边长所表示的数．
3．观察下图，每个小正方形的边长均为1，
（1）图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？
（2）估计边长的值在哪两个整数之间．
4．如图，阴影部分（正方形）的四个顶点在5×5的网格格点上．
（1）请求出图中阴影部分（正方形）的面积和边长
（2）若边长的整数部分为a，小数部分为b，求213
+-的值．
a b
5．小丽想用一块面积为2
36cm的正方形纸片，如图所示，沿着边的方向裁出一块面积为2
20cm的长方形纸片，使它的长是宽的2倍．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗?你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?为什么?
二、解答题
6．已知：AB//CD．点E在CD上，点F，H在AB上，点G在AB，CD之间，连接FG，EH，GE，∠GFB＝∠CEH．
（1）如图1，求证：GF//EH；
（2）如图2，若∠GEH＝α，FM平分∠AFG，EM平分∠GEC，试问∠M与α之间有怎样的数量关系（用含α的式子表示∠M）？请写出你的猜想，并加以证明．
7．已知：直线AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，作射线EG平分∠BEF交CD 于G，过点F作FH⊥MN交EG于H．
（1）当点H在线段EG上时，如图1
①当∠BEG＝36︒时，则∠HFG＝．
②猜想并证明：∠BEG与∠HFG之间的数量关系．
（2）当点H在线段EG的延长线上时，请先在图2中补全图形，猜想并证明：∠BEG与∠HFG之间的数量关系．
8．如图1，点E 在直线AB 、DC 之间，且180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒． （1）求证：//AB DC ；
（2）若点F 是直线BA 上的一点，且BEF BFE ∠=∠，EG 平分DEB ∠交直线AB 于点G ，若20D ∠=︒，求FEG ∠的度数；
（3）如图3，点N 是直线AB 、DC 外一点，且满足1
4
CDM CDE ∠=∠，
1
4
ABN ABE ∠=∠，ND 与BE 交于点M ．已知()012CDM αα∠=︒<<︒，且//BN DE ，则
NMB ∠的度数为______（请直接写出答案，用含α的式子表示）．
9．综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线,a b ，且,a b ABC //是直角三角形，90BCA ∠=︒，操作发现：
（1）如图1．若148∠=︒，求2∠的度数；
（2）如图2，若30,1A ∠=︒∠的度数不确定，同学们把直线a 向上平移，并把2∠的位置改变，发现21120∠-∠=︒，请说明理由．
（3）如图3，若∠A =30°，AC 平分BAM ∠，此时发现1∠与2∠又存在新的数量关系，请写出1∠与2∠的数量关系并说明理由．
10．如图，已知直线12//l l ，点A B 、在直线1l 上，点C D 、在直线2l 上，点C 在点D 的右侧，
()80,2,ADC ABC n BE ∠=︒∠=︒平分,ABC DE ∠平分ADC ∠，直线BE DE 、交于点E ．
（1）若20n =时，则BED ∠=___________； （2）试求出BED ∠的度数（用含n 的代数式表示）；
（3）将线段BC 向右平行移动，其他条件不变，请画出相应图形，并直接写出BED ∠的度数．（用含n 的代数式表示）
三、解答题
11．如图，以直角三角形AOC 的直角顶点О为原点，以OC 、OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点()0,A a ，(),0C b 满足220a b b -+-=．
（1）C 点的坐标为______；A 点的坐标为______．
（2）如图1，已知坐标轴上有两动点P 、Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q 点从O 点出发以2个单位长度每秒的速度沿y 轴正方向移动，点Q 到达A 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是()1,2，设运动时间为
()0t t >．问：是否存在这样的t ，使ODP
ODQ
S
S
=？若存在，请求出t 的值：若不存在，请
说明理由．
（3）如图2，过O 作//OG AC ，作AOF AOG ∠=∠交AC 于点F ，点E 是线段OA 上一动点，连CE 交OF 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，OHC ACE
OEC
∠+∠∠的值是否会
发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
12．如图1，由线段,,,AB AM CM CD 组成的图形像英文字母M ，称为“M 形BAMCD ”．
（1）如图1，M 形BAMCD 中，若//,50AB CD A C ∠+∠=︒，则M ∠=______； （2）如图2，连接M 形BAMCD 中,B D 两点，若150,B D AMC α∠+∠=︒∠=，试探求A ∠与C ∠的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，且AC 的延长线与BD 的延长线有交点，当点M 在线段
BD 的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出A ∠与C ∠所有可能的数量关系．
13．如图1所示：点E 为BC 上一点，∠A ＝∠D ，AB ∥CD （1）直接写出∠ACB 与∠BED 的数量关系；
（2）如图2，AB ∥CD ，BG 平分∠ABE ，BG 的反向延长线与∠EDF 的平分线交于H 点，若∠DEB 比∠GHD 大60°，求∠DEB 的度数；
（3）保持（2）中所求的∠DEB 的度数不变，如图3，BM 平分∠EBK ，DN 平分∠CDE ，作BP ∥DN ，则∠PBM 的度数是否改变？若不发生变化，请求它的度数，若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）．
14．课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解：
如图1，已知点A 是BC 外一点，连接AB ，AC ，求∠BAC ＋∠B ＋∠C 的度数． （1）阅读并补充下面推理过程 解：过点A 作ED ∥BC ， ∴∠B ＝∠EAB ，∠C ＝ 又∵∠EAB ＋∠BAC ＋∠DAC ＝180° ∴∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝180° 解题反思：
从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC ，∠B ，∠C “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用：
（2）如图2，已知AB ∥ED ，求∠B ＋∠BCD ＋∠D 的度数．（提示：过点C 作CF ∥AB ） 深化拓展：
（3）如图3，已知AB ∥CD ，点C 在点D 的右侧，∠ADC ＝70°，点B 在点A 的左侧，∠ABC ＝60°，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，BE ，DE 所在的直线交于点E ，点E 在AB 与
CD 两条平行线之间，求∠BED 的度数．
15．如图1，在平面直角坐标系中，()()02A a C b ，，
，，且满足()2
40a b a b ++-+=，过C 作CB x ⊥轴于B
（1）求三角形ABC 的面积．
（2）发过B 作//BD AC 交y 轴于D ，且,AE DE 分别平分,CAB ODB ∠∠，如图2，若
,90()CAB ACB a αββ∠=∠=+=︒，求AED ∠的度数．
（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等？若存在，求出
P 点坐标；若不存在；请说明理由．
四、解答题
16．（1）如图1，∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E ，AB ∥CD ，∠ADC =50°，∠ABC =40°，求∠AEC 的度数；
（2）如图2，∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E ，∠ADC =α°，∠ABC =β°，求∠AEC 的度数；
（3）如图3，PQ ⊥MN 于点O ，点A 是平面内一点，AB 、AC 交MN 于B 、C 两点，AD 平
分∠BAC 交PQ 于点D ，请问ADP
ACB ABC
∠∠-∠的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改
变，请说明理由．
17．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
（习题回顾）已知：如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AE 是角平分线，CD 是高，AE 、CD 相交于点F .求证：CFE CEF ∠=∠；
（变式思考）如图2，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的高，若ABC 的外角
BAG ∠的平分线交CD 的延长线于点F ，其反向延长线与BC 边的延长线交于点E ，则
CFE ∠与CEF ∠还相等吗？说明理由；
（探究延伸）如图3，在ABC 中，AB 上存在一点D ，使得ACD B ∠=∠，BAC ∠的平分线AE 交CD 于点F .ABC 的外角BAG ∠的平分线所在直线MN 与BC 的延长线交于点M .直接写出M ∠与CFE ∠的数量关系.
18．如图，在ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的角平分线交于O 点.
（1）若40A ∠=︒，则BOC ∠= ︒； （2）若A n ∠=︒，则BOC ∠= ︒；
（3）若A n ∠=︒，ABC ∠与ACB ∠的角平分线交于O 点，ABO ∠的平分线与ACO ∠的平分线交于点1O ，
，2016O BD ∠的平分线与2016O CE ∠的平分线交于点2017O ，则2017O ∠=
︒.
19．在ABC 中，100BAC ∠=︒，A ABC CB =∠∠，点D 在直线BC 上运动（不与点B 、C 重合），点E 在射线AC 上运动，且ADE AED ∠=∠，设DAC n ∠=︒．
（1）如图①，当点D 在边BC 上，且40n =︒时，则BAD ∠=__________︒，
CDE ∠=__________︒；
（2）如图②，当点D 运动到点B 的左侧时，其他条件不变，请猜想BAD ∠和CDE ∠的数量关系，并说明理由；
（3）当点D 运动到点C 的右侧时，其他条件不变，BAD ∠和CDE ∠还满足（2）中的数量关系吗？请在图③中画出图形，并给予证明．（画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 20．问题情境：如图1，AB ∥CD ，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC 度数． 小明的思路是：如图2，过P 作PE ∥AB ，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°． 问题迁移：
(1)如图3，AD ∥BC ，点P 在射线OM 上运动，当点P 在A 、B 两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD 、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； (2)在(1)的条件下，如果点P 在A 、B 两点外侧运动时(点P 与点A 、B 、O 三点不重合)，请你直接写出∠CPD 、∠α、∠β间的数量关系．
【参考答案】
一、解答题
1．正方形纸板的边长是18厘米 【分析】
根据正方形的面积公式进行解答． 【详解】
解：设小长方形的宽为x 厘米，则小长方形的长为厘米，即得正方形纸板的边长是厘米，
根据题意得： ， ∴，
取正值，可得，
解析：正方形纸板的边长是18厘米 【分析】
根据正方形的面积公式进行解答． 【详解】
解：设小长方形的宽为x 厘米，则小长方形的长为2x 厘米，即得正方形纸板的边长是2x 厘米，根据题意得：
2162x x ⋅=，
∴281x =，
取正值9x =，可得218x =， ∴答：正方形纸板的边长是18厘米． 【点评】
本题考查了算术平方根的实际应用，解题的关键是熟悉正方形的面积公式．
2．（1）10，；（2）；（3）见解析；（4）见解析 【分析】
（1）易得10个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长； （2）根据大正方形的边长结合实
解析：（1）10；（21；（3）见解析；（4）见解析 【分析】
（1）易得10个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长；
（2）根据大正方形的边长结合实数与数轴的关系可得结果； （3）以2×3的长方形的对角线为边长即可画出图形；
（4）得到①中正方形的边长，再利用实数与数轴的关系可画出图形． 【详解】
解：（1）∵图1中有10个小正方形， ∴面积为10，边长AD
（2）∵B 表示的数为-1， ∴
∴点E 1；
（3）①如图所示：
②∵正方形面积为13，
∴边长为13，
如图，点E表示面积为13的正方形边长．
【点睛】
本题考查了图形的剪拼，正方形的面积，算术平方根，实数与数轴，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．
3．（1）图中阴影部分的面积17，边长是；（2）边长的值在4与5之间
【分析】
（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个直角三角形的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可
解析：（1）图中阴影部分的面积1717；（2）边长的值在4与5之间
【分析】
（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个直角三角形的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可以得到阴影正方形的边长；
（2161725
＜＜
【详解】
（1）由图可知，图中阴影正方形的面积是：5×5−14
4
2
=17
17
答：图中阴影部分的面积1717（2）∵161725
＜＜
所以4175
∴边长的值在4与5之间；
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算及算术平方根的定义，解题主要利用了勾股定理和正方形的面积求解，有一定的综合性，解题关键是无理数的估算．
4．（1）S=13，边长为；（2）6
【详解】
分析：(1)、利用正方形的面积减去四个直角三角形的面积得出阴影部分的面积，从而得出正方形的边长；(2)、根据无理数的估算得出a和b的值，然后得出答案．
解析：（1）S=13，边长为13；（2）6
【详解】
分析：(1)、利用正方形的面积减去四个直角三角形的面积得出阴影部分的面积，从而得出正方形的边长；(2)、根据无理数的估算得出a和b的值，然后得出答案．
详解：解：（1）S=25-12=13, 边长为，
(2)a=3，b= -3 原式=9+-3-=6．
点睛：本题主要考查的就是无理数的估算，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是根据正方形的面积得出边长．
5．不同意，理由见解析
【分析】
先求得正方形的边长，然后设设长方形宽为，长为，然后依据矩形的面积为20列方程求得的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断．
【详解】
解：不同意，
因为正方形的面积为，
解析：不同意，理由见解析
【分析】
先求得正方形的边长，然后设设长方形宽为x，长为2x，然后依据矩形的面积为20列方程求得x的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断．
【详解】
解：不同意，
因为正方形的面积为2
36cm，故边长为6cm
设长方形宽为x，则长为2x
长方形面积2
=⋅==
2220
x x x
∴210
x=，
解得10
x=
长为10cm6cm
>
即长方形的长大于正方形的边长，
所以不能裁出符合要求的长方形纸片
【点睛】
本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
二、解答题
6．（1）见解析；（2），证明见解析．
【分析】
（1）由平行线的性质得到，等量代换得出，即可根据“同位角相等，两直线平行”得解；
（2）过点作，过点作，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．
【详
解析：（1）见解析；（2）902FME α∠=︒-
，证明见解析． 【分析】
（1）由平行线的性质得到CEH EHB ∠=∠，等量代换得出GFB EHB ∠=∠，即可根据“同位角相等，两直线平行”得解；
（2）过点M 作//MQ AB ，过点G 作//GP AB ，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．
【详解】
（1）证明：//AB CD ，
CEH EHB ∴∠=∠，
GFB CEH ∠=∠，
GFB EHB ∴∠=∠，
//GF EH ∴；
（2）解：902FME α
∠=︒-，理由如下：
如图2，过点M 作//MQ AB ，过点G 作//GP AB ，
//AB CD ，
//MQ CD ∴，
AFM FMQ ∴∠=∠，QME MEC ∠=∠，
FME FMQ QME AFM MEC ∴∠=∠+∠=∠+∠，
同理，FGE FGP PGE AFG GEC ∠=∠+∠=∠+∠，
FM 平分AFG ∠，EM 平分GEC ∠，
2AFG AFM ∴∠=∠，2GEC MEC ∠=∠，
2FGE FME ∴∠=∠，
由（1）知，//GF EH ，
180FGE GEH ∴∠+∠=︒，
GEH α∠=，
180FGE α∴∠=︒-，
2180FME α∴∠=︒-，
902FME α
∴∠=︒-．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的关键．
7．（1）①18°；②2∠BEG+∠HFG=90°，证明见解析；（2）2∠BEG-
∠HFG=90°证明见解析部
【分析】
（1）①证明2∠BEG+∠HFG=90°，可得结论．②利用平行线的性质证明即可．
解析：（1）①18°；②2∠BEG +∠HFG =90°，证明见解析；（2）2∠BEG -∠HFG =90°证明见解析部
【分析】
（1）①证明2∠BEG +∠HFG =90°，可得结论．②利用平行线的性质证明即可．
（2）如图2中，结论：2∠BEG -∠HFG =90°．利用平行线的性质证明即可．
【详解】
解：（1）①∵EG 平分∠BEF ，
∴∠BEG =∠FEG ，
∵FH ⊥EF ，
∴∠EFH =90°，
∵AB ∥CD ，
∴∠BEF +∠EFG =180°，
∴2∠BEG +90°+∠HFG =180°，
∴2∠BEG +∠HFG =90°，
∵∠BEG =36°，
∴∠HFG =18°．
故答案为：18°．
②结论：2∠BEG +∠HFG =90°．
理由：∵EG 平分∠BEF ，
∴∠BEG =∠FEG ，
∵FH ⊥EF ，
∴∠EFH =90°，
∵AB ∥CD ，
∴∠BEF +∠EFG =180°，
∴2∠BEG +90°+∠HFG =180°，
∴2∠BEG +∠HFG =90°．
（2）如图2中，结论：2∠BEG -∠HFG =90°．
理由：∵EG 平分∠BEF ，
∴∠BEG =∠FEG ，
∵FH ⊥EF ，
∴∠EFH =90°，
∵AB ∥CD ，
∴∠BEF +∠EFG =180°，
∴2∠BEG +90°-∠HFG =180°，
∴2∠BEG -∠HFG =90°．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（1）见解析；（2）10°；（3）
【分析】
（1）过点E 作EF ∥CD ，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出结合已知条件，得出即可证明；
（2）过点E 作HE ∥CD ，设 由（1）得AB ∥CD
解析：（1）见解析；（2）10°；（3）18015α︒-
【分析】
（1）过点E 作EF ∥CD ，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出
,CDE DEF ∠=∠结合已知条件180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒，得出180,FEB ABE ∠+∠=︒即可证明；
（2）过点E 作HE ∥CD ，设,,GEF x FEB EFB y ∠=∠=∠= 由（1）得AB ∥CD ，则AB ∥CD ∥HE ，由平行线的性质，得出20,DEF D EFB y ∠=∠+∠=︒+再由EG 平分DEB ∠，得出,DEG GEB GEF FEB x y ∠=∠=∠+∠=+则2DEF DEG GEF x y ∠=∠+∠=+，则可列出关于x 和y 的方程，即可求得x ，即GEF ∠的度数；
（3）过点N 作NP ∥CD ，过点M 作QM ∥CD ，由（1）得AB ∥CD ，则
NP ∥CD ∥AB ∥QM ，根据14CDM CDE ∠=∠和CDM α∠=，得出3,MDE α∠=根据CD ∥PN ∥QM ,DE ∥NB ,得出,PND CDM DMQ α∠=∠=∠=3,EDM BNM α∠=∠=即
4,BNP α∠=根据NP ∥AB ，得出4,PNB ABN α∠=∠=再由14
ABN ABE ∠=∠，得出16,ABM α∠=由AB ∥QM ,得出18016,QMB α∠=︒-因为NMB NMQ QMB ∠=∠+∠，代入α的式子即可求出BMN ∠．
【详解】
（1）过点E 作EF ∥CD ，如图，
∵EF ∥CD ,
∴,CDE DEF ∠=∠
∴,DEB CDE DEB DEF FEB ∠-∠=∠-∠=∠
∵180DEB ABE CDE ∠+∠-∠=︒,
∴180,FEB ABE ∠+∠=︒
∴EF ∥AB ，
∴CD ∥AB ；
（2）过点E 作HE ∥CD ，如图，
设,,GEF x FEB EFB y ∠=∠=∠=
由（1）得AB ∥CD ，则AB ∥CD ∥HE ，
∴20,,D DEH HEF EFB y ∠=∠=︒∠=∠=
∴20,DEF DEH HEF D EFB y ∠=∠+∠=∠+∠=︒+
又∵EG 平分DEB ∠，
∴,DEG GEB GEF FEB x y ∠=∠=∠+∠=+
∴2,DEF DEG GEF x y x x y ∠=∠+∠=++=+
即220,x y y +=︒+
解得：10,x =︒即10GEF ∠=︒；
（3）过点N 作NP ∥CD ，过点M 作QM ∥CD ，如图，
由（1）得AB ∥CD ，则NP ∥CD ∥AB ∥QM ，
∵NP ∥CD ，CD ∥QM ，,CDM α∠=
∴PND CDM DMQ α∠=∠=∠=,
又∵14
CDM CDE ∠=∠， ∴33,MDE CDM α∠=∠=
∵//BN DE ,
∴3,MDE BNM α∠=∠=
∴34,PNB PND BNM ααα∠=∠+∠=+=
又∵PN ∥AB ，
∴4,PNB NBA α∠=∠= ∵14
ABN ABE ∠=∠, ∴44416,ABM ABN αα∠=∠=⨯=
又∵AB ∥QM ，
∴180,ABM QMB ∠+∠=︒
∴18018016,QMB ABM α∠=︒-∠=︒-
∴1801618015NMB NMQ QMB ααα∠=∠+∠=+︒-=-．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造相等的角，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算和推导角之间的关系．
9．（1）42°；（2）见解析；（3）∠1=∠2，理由见解析
【分析】
（1）由平角定义求出∠3=42°，再由平行线的性质即可得出答案；
（2）过点B 作BD ∥a ．由平行线的性质得∠2+∠ABD=180°
解析：（1）42°；（2）见解析；（3）∠1=∠2，理由见解析
【分析】
（1）由平角定义求出∠3=42°，再由平行线的性质即可得出答案；
（2）过点B 作BD ∥a ．由平行线的性质得∠2+∠ABD =180°，∠1=∠DBC ，则∠ABD =∠ABC -∠DBC =60°-∠1，进而得出结论；
（3）过点C 作CP ∥a ，由角平分线定义得∠CAM =∠BAC =30°，∠BAM =2∠BAC =60°，由平行线的性质得∠1=∠BAM =60°，∠PCA =∠CAM =30°，∠2=∠BCP =60°，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵∠1=48°，∠BCA=90°，
∴∠3=180°-∠BCA-∠1=180°-90°-48°=42°，∵a∥b，
∴∠2=∠3=42°；
（2）理由如下：
过点B作BD∥a．如图2所示：
则∠2+∠ABD=180°，
∵a∥b，
∴b∥BD，
∴∠1=∠DBC，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=60°-∠1，
∴∠2+60°-∠1=180°，
∴∠2-∠1=120°；
（3）∠1=∠2，理由如下：
过点C作CP∥a，如图3所示：
∵AC平分∠BAM
∴∠CAM=∠BAC=30°，∠BAM=2∠BAC=60°，又∵a∥b，
∴CP∥b，∠1=∠BAM=60°，
∴∠PCA=∠CAM=30°，
∴∠BCP=∠BCA-∠PCA=90°-30°=60°，
又∵CP∥a，
∴∠2=∠BCP=60°，
∴∠1=∠2．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、平角的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平移的性质和平行线的性质是解题的关键．
10．（1）60°；（2）n°+40°；（3）n°+40°或n°-40°或220°-n°
【分析】
（1）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；
（2）同（1）中方法求解
解析：（1）60°；（2）n°+40°；（3）n°+40°或n°-40°或220°-n°
【分析】
（1）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；
（2）同（1）中方法求解即可；
（3）分当点B在点A左侧和当点B在点A右侧，再分三种情况，讨论，分别过点E作EF∥AB，由角平分线的定义，平行线的性质，以及角的和差计算即可．
【详解】
解：（1）当n=20时，∠ABC=40°，
过E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠BEF=∠ABE，∠DEF=∠CDE，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠BEF=∠ABE=20°，∠DEF=∠CDE=40°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=60°；
（2）同（1）可知：
∠BEF=∠ABE=n°，∠DEF=∠CDE=40°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=n°+40°；
（3）当点B在点A左侧时，由（2）可知：∠BED=n°+40°；
当点B在点A右侧时，
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=2n°，∠ADC=80°，
∴∠ABE=1
2∠ABC=n°，∠CDG=1
2
∠ADC=40°，
∵AB∥CD∥EF，
∴∠BEF=∠ABE=n°，∠CDG=∠DEF=40°，
∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°；
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=2n°，∠ADC=80°，
∴∠ABE=1
2∠ABC=n°，∠CDG=1
2
∠ADC=40°，
∵AB∥CD∥EF，
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEF=40°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-n°+40°=220°-n°；
如图所示，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°，
∴∠ABG=1
2∠ABC=n°，∠CDE=1
2
∠ADC=40°，
∵AB∥CD∥EF，
∴∠BEF=∠ABG=n°，∠CDE=∠DEF=40°，
∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°；
综上所述，∠BED的度数为n°+40°或n°-40°或220°-n°．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线的定义，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键．
三、解答题
11．（1），；（2）1；（3）不变，值为2
【分析】
（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a ，b 的值，再利用中点坐标公式即可得出答案；
（2）先得出CP=t ，OP=2-t ，OQ=2t ，AQ=4-
解析：（1）()2,0C ，()0,4A ；（2）1；（3）不变，值为2
【分析】
（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a ，b 的值，再利用中点坐标公式即可得出答案；
（2）先得出CP =t ，OP =2-t ，OQ =2t ，AQ =4-2t ，再根据S △ODP =S △ODQ ，列出关于t 的方程，求得t 的值即可；
（3）过H 点作AC 的平行线，交x 轴于P ，先判定OG ∥AC ，再根据角的和差关系以及平行线的性质，得出∠PHO =∠GOF =∠1+∠2，
∠OHC =∠OHP +∠PHC =∠GOF +∠4=∠1+∠2+∠4，最后代入OHC ACE OEC
∠+∠∠进行计算即可． 【详解】
解：（1）∵2a b -+|b -2|=0， ∴a -2b =0，b -2=0， 解得a =4，b =2，
∴A （0，4），C （2，0）．
（2）存在， 理由：如图1中，D （1，2），
由条件可知：P 点从C 点运动到O 点时间为2秒，Q 点从O 点运动到A 点时间为2秒， ∴0＜t ≤2时，点Q 在线段AO 上， 即 CP =t ，OP =2-t ，OQ =2t ，AQ =4-2t ，
∴S △DOP =12•OP •y D =12（2-t ）×2=2-t ，S △DOQ =12•OQ •x D =12×2t ×1=t ，
∵S △ODP =S △ODQ ，
∴2-t =t ，
∴t =1．
（3）结论：OHC ACE OEC ∠+∠∠的值不变，其值为2．理由如下：如图2中，
∵∠2+∠3=90°， 又∵∠1=∠2，∠3=∠FCO ，
∴∠GOC +∠ACO =180°，
∴OG ∥AC ，
∴∠1=∠CAO ，
∴∠OEC =∠CAO +∠4=∠1+∠4，
如图，过H 点作AC 的平行线，交x 轴于P ，则∠4=∠PHC ，PH ∥OG ，
∴∠PHO =∠GOF =∠1+∠2，
∴∠OHC =∠OHP +∠PHC =∠GOF +∠4=∠1+∠2+∠4， ∴124414
OHC ACE OEC ∠+∠∠+∠+∠+∠=∠∠+∠=2． 【点睛】
本题主要考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
12．（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由见解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α
【分析】
（1）过M 作MN ∥AB ，由平行线的性质即可求得∠M 的值．
（2）延长BA ，DC 交于E ，
解析：（1）50°；（2）∠A +∠C =30°+α，理由见解析；（3）∠A -∠DCM =30°+α或30°-α
【分析】
（1）过M 作MN ∥AB ，由平行线的性质即可求得∠M 的值．
（2）延长BA ，DC 交于E ，应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题． （3）分两种情形分别求解即可；
【详解】
解：（1）过M 作MN ∥AB ，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠1=∠A，∠2=∠C，
∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；
故答案为：50°；
（2）∠A+∠C=30°+α，
延长BA，DC交于E，
∵∠B+∠D=150°，
∴∠E=30°，
∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；即∠A+∠C=30°+α；
（3）①如下图所示：
延长BA、DC使之相交于点E，延长MC与BA的延长线相交于点F，
∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30°
由三角形的内外角之间的关系得：
∠1=30°+∠2
∠2=∠3+α
∴∠1=30°+∠3+α
∴∠1-∠3=30°+α
即：∠A -∠C =30°+α．
②如图所示，210-∠A =（180°-∠D CM ）+α，即∠A -∠DCM =30°-α．
综上所述，∠A -∠DCM =30°+α或30°-α．
【点睛】
本题考查了平行线的性质．解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线l ∥AB ，利用平行线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角∠M 与已知角∠A 、∠C 的数量关系联系起来，从而求得∠M 的度数．
13．(1) ；(2) ；(3)不发生变化，理由见解析
【分析】
(1)如图1，延长DE 交AB 于点F ，根据平行线的性质推出；
(2)如图2，过点E 作ES ∥AB ，过点H 作HT ∥AB ，根据AB ∥CD ，AB ∥E 解析：(1) +180ACB BED ∠∠=︒；(2) 100︒；(3)不发生变化，理由见解析
【分析】
(1)如图1，延长DE 交AB 于点F ，根据平行线的性质推出+180ACB BED ∠∠=︒；
(2)如图2，过点E 作ES ∥AB ，过点H 作HT ∥AB ，根据AB ∥CD ，AB ∥ES 推出
BED ABE CDE ∠=∠+∠，再根据AB ∥TH ，AB ∥CD 推出GHD THD THB ∠=∠-∠，最后根据BED ∠比BHD ∠大60︒得出BED ∠的度数；
(3)如图3，过点E 作EQ ∥DN ，根据DEB CDE ABE ∠=∠+∠得出βα-的度数，根据条件再逐步求出PBM ∠的度数．
【详解】
(1)如答图1所示，延长DE 交AB 于点F ．
AB ∥CD ，所以D EFB ∠=∠，
又因为A D ∠=∠，所以A EFB ∠=∠，所以AC ∥DF ，所以ACB CED ∠=∠．
因为+180CED BED ∠∠=︒，所以+180ACB BED ∠∠=︒．
(2)如答图2所示，过点E 作ES ∥AB ，过点H 作HT ∥AB ．
设ABG EBG α∠=∠=，FDH EDH β∠=∠=，
因为AB ∥CD ，AB ∥ES ，所以ABE BES ∠=∠，SED CED ∠=∠，
所以21802BED BES SED ABE CDE αβ∠=∠+∠=∠+∠=+︒-，
因为AB ∥TH ，AB ∥CD ，所以ABG THB ∠=∠，FDH DHT ∠=∠，所以
GHD THD THB βα∠=∠-∠=-，
因为BED ∠比BHD ∠大60︒，所以2+1802()60αββα︒---=︒，所以40βα-=︒，所以40BHD ∠=︒，所以100BED ∠=︒
(3)不发生变化
如答图3所示，过点E 作EQ ∥DN ．
设CDN EDN α∠=∠=，EBM KBM β∠=∠=，
由(2)易知DEB CDE ABE ∠=∠+∠，所以2+1802100αβ︒-=︒，所以40βα-=︒， 所以180()180DEB CDE EDN EBM PBM PBM αβ∠=∠+∠+︒-∠+∠=+︒--∠， 所以80()40PBM βα∠=︒--=︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，求角的度数，正确作出相关的辅助线，根据条件逐步求出角度的度数是解题的关键．
14．（1）∠DAC ；（2）360°；（3）65°
【分析】
（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C 作CF ∥AB 根据平行线的性质得到∠D=∠FCD ，∠B=∠BCF ，然后根据已知条件即可得到结论；
解析：（1）∠DAC ；（2）360°；（3）65°
【分析】
（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C 作CF ∥AB 根据平行线的性质得到∠D =∠FCD ，∠B =∠BCF ，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）过点E 作EF ∥AB ，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED 的度数．
【详解】
解：（1）过点A 作ED ∥BC ，
∴∠B =∠EAB ，∠C =∠DCA ，
又∵∠EAB +∠BAC +∠DAC =180°，
∴∠B +∠BAC +∠C =180°．
故答案为：∠DAC ；
（2）过C 作CF ∥AB ，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠D=∠FCD，
∵CF∥AB，
∴∠B=∠BCF，
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，
∴∠B+∠BCD+∠D=360°；
（3）如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，
∴∠ABE=1
2∠ABC=30°，∠CDE=1
2
∠ADC=35°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．
15．（1）4；（2）45°；（3）P（0，－1）或（0，3）
【分析】
（1）根据非负数的性质得到a＝−b，a−b＋4＝0，解得a＝−2，b＝2，则A （−2，0），B（2，0），C（2，2），即可计算出
解析：（1）4；（2）45°；（3）P（0，－1）或（0，3）
【分析】
（1）根据非负数的性质得到a＝−b，a−b＋4＝0，解得a＝−2，b＝2，则A（−2，0），B （2，0），C（2，2），即可计算出三角形ABC的面积＝4；
（2）由于CB∥y轴，BD∥AC，则∠CAB＝∠ABD，即∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝90°，过E作EF∥AC，则BD∥AC∥EF，然后利用角平分线的定义可得到∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，所以∠AED＝∠1＋∠2＝1
2
×90°＝45°；
（3）先根据待定系数法确定直线AC 的解析式为y ＝12x ＋1，则G 点坐标为（0，1），然后利用S △PAC ＝S △APG ＋S △CPG 进行计算．
【详解】
解：（1）由题意知：a ＝−b ，a−b ＋4＝0，
解得：a ＝−2，b ＝2，
∴ A （−2，0），B （2，0），C （2，2），
∴S △ABC ＝1AB BC=42⋅； （2）∵CB ∥y 轴，BD ∥AC ，
∴∠CAB ＝∠ABD ，
∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝90°，
过E 作EF ∥AC ，
∵BD ∥AC ，
∴BD ∥AC ∥EF ，
∵AE ，DE 分别平分∠CAB ，∠ODB ，
∴∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，
∴∠AED ＝∠1＋∠2＝1
2×90°＝45°；
（3）存在．理由如下：
设P 点坐标为（0，t ），直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，
把A （−2，0）、C （2，2）代入得： -2k+b=02k+b=2⎧⎨⎩，解得1k=2b=1
⎧⎪⎨⎪⎩， ∴直线AC 的解析式为y ＝1
2x ＋1，
∴G 点坐标为（0，1），
∴S △PAC ＝S △APG ＋S △CPG ＝12|t−1|•2＋12|t−1|•2＝4，解得t ＝3或−1，
∴P 点坐标为（0，3）或（0，−1）．
【点睛】
本题考查了绝对值、平方的非负性，平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
四、解答题
16．（1）∠E=45°；（2）∠E=；（3）不变化，
【分析】
（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，
∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=∠
解析：（1）∠E =45°；（2）∠E =
2βα-；（3）不变化，12
【分析】
（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ，由角平
分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12∠BAD ，则可得∠E= 12（∠D+∠B ），继而求得答案；
（2）首先延长BC 交AD 于点F ，由三角形外角的性质，可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D ，又由角平分线的性质，即可求得答案．
（3）由三角形内角和定理，可得
90ADP ACB DAC ∠+︒=∠+∠ADP DFO ABC OEB ∠+∠=∠+∠，利用角平分线的性质与三角形的外角的性质可得答案．
【详解】
解：（1）∵CE 平分∠BCD ，AE 平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12
∠BAD ， ∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ，
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB
∴∠D+∠B=2∠E ，
∴∠E=12
（∠D+∠B ）， ∵∠ADC=50°，∠ABC=40°，
∴∠AEC=12
×（50°+40°）=45°；
（2）延长BC 交AD 于点F ，
∵∠BFD=∠B+∠BAD ，
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D ，
∵CE 平分∠BCD ，AE 平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12∠BAD ， ∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB ，
∴∠E=∠B+∠EAB －∠ECB=∠B+∠BAE －12
∠BCD =∠B+∠BAE －12
（∠B+∠BAD+∠D ） = 12
（∠B －∠D ）， ∠ADC =α°，∠ABC =β°，
即∠AEC=.2βα
-
（3）ADP ACB ABC ∠∠-∠的值不发生变化，1.2
ADP ACB ABC ∠∴=∠-∠ 理由如下：
如图，记AB 与PQ 交于E ，AD 与CB 交于F ，
,PQ MN ⊥
90,DOC BOE ∴∠=∠=︒
90ADP ACB DAC ∠+︒=∠+∠①，
ADP DFO ABC OEB ∠+∠=∠+∠②，
∴ ①－②得：90,DFO ACB ABC DAC OEB ︒-∠=∠-∠+∠-∠
90,DFO OEB DAC ACB ABC ∴︒-∠+∠-∠=∠-∠
90,,ADP DFO OEB EAD ADP ∠=︒-∠∠-∠=∠
AD 平分∠BAC ，
,BAD CAD ∴∠=∠
,OEB CAD ADP ∴∠-∠=∠
2,ADP ACB ABC ∠=∠-∠ 1.2
ADP ACB ABC ∠∴=∠-∠
【点睛】
此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义．此题难度较大，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．
17．[习题回顾]证明见解析；[变式思考] 相等，证明见解析；[探究延伸] ∠M+∠CFE=90°，证明见解析．
【分析】
[习题回顾]根据同角的余角相等可证明∠B=∠ACD ，再根据三角形的外角的性质即可
解析：[习题回顾]证明见解析；[变式思考] 相等，证明见解析；[探究延伸]
∠M+∠CFE=90°，证明见解析．
【分析】
[习题回顾]根据同角的余角相等可证明∠B=∠ACD ，再根据三角形的外角的性质即可证明；
[变式思考]根据角平分线的定义和对顶角相等可得∠CAE=∠DAF 、再根据直角三角形的性质和等角的余角相等即可得出CFE ∠=CEF ∠；
[探究延伸]根据角平分线的定义可得∠EAN=90°，根据直角三角形两锐角互余可得
∠M+∠CEF=90°，再根据三角形外角的性质可得∠CEF=∠CFE，由此可证∠M+∠CFE=90°．【详解】
[习题回顾]证明：∵∠ACB=90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF=∠DAF，
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD，∠CEF=∠DAF+∠B，
∴∠CEF=∠CFE；
[变式思考]相等，理由如下：
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF=∠DAF，
∵∠CAE=∠GAF，
∴∠CAE=∠DAF，
∵CD为AB边上的高，∠ACB=90°,
∴∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠ACE=90°，
∴∠DAF+∠F=90°，∠E+∠CAE=90°，
∴∠CEF=∠CFE；
[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN=90°，
又∵∠GAN=∠CAM，
∴∠M+∠CEF=90°，
∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，
∴∠M+∠CFE=90°．
【点睛】
本题考查三角形的外角的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的有关证明，等角或同角的余角相等．在本题中用的比较多的是利用等角或同角的余角相等证明角相等和三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，理解并掌握是解决此题的关键．
18．（1）110（2）（90 +n）（3）×90°+n°
【分析】
（1）根据角平分线的性质，结合三角形的内角和定理可得到角之间的关系，然后求解即可；
（2）根据BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平
解析：（1）110（2）（90 +1
2n）（3）
2017
1
2
×90°+
2018
2018
21
2
n°。