【新教材】8.4.1 平面 课件-人教A版高中数学必修第二册(共26张PPT)
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人教2019版必修第一册
第八章 立体几何初步
8.4.1 平面
课程目标
1.正确理解平面的概念； 2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系； 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实,理解三
个基本事实和三个推论的地位与作用.
数学学科素养
1.数学抽象：平面概念的理解； 2.逻辑推理：点线共面、多点共线，多线共点问题； 3.直观想象：点、直线、平面之间的位置关系.
【跟踪训练3】
1．如图所示,在长方体
ABCD-A B C D 1111
中,O
是
BD 11
的中点,直线
AC 1
交平面
AB D 11
于点 M,则下列结论正确的是( )
(A)A,M,O 三点共线
(B)A,M,O,A 不共面 1
(C)A,M,C,O 不共面
(D)B,B ,O,M 共面 1
解析 连接A1C1,AC,则A1C1∥AC. 所以A1,C1,C,A四点共面. 所以A1C⊂平面ACC1A1. 因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1, 所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上, 同理O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上, 所以A,M,O三点共线.故选A.
答案 A
自主预习，回答问题
阅读课本124-127页，思考并完成以下问题
1、平面的概念是什么？怎样表示一个平面？ 2、点、直线、平面之间的位置关系及语言表达？ 3、平面有哪些基本事实？
•要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
知识清单
1.平面 (1)平面的概念 几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽 象出来的.几何里的平面是 无限延展 的. (2)平面的画法 ①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行 四边形的锐角通常画成 45° ,且横边长等于其邻边长的 2倍 .如图(1).
解析 1.选 D，D 选项的表述有问题.
2. 在①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.
在②中,α∩β=l,a⊂α, b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.
题型二 点线共面
例2
如图,l ∩l =A,l ∩l =B,l ∩l =C,求证直线 l ,l ,l 在同一平面内.
1
2
2
3
1
3
பைடு நூலகம்123
解析 因为 l1∩l2=A,所以 l1,l2 确定一个平面α. 因为 l2∩l3=B,所以 l2,l3 确定一个平面β. 因为 A∈l2,l2⊂α,所以 A∈α. 因为 A∈l2,l2⊂β,所以 A∈β. 同理可证 B∈α,B∈β,C∈α,C∈β. 所以不共线的三个点 A,B,C 既在平面α内,又在平面β内. 所以平面α和β重合,即直线 l1,l2,l3 在同一平面内.
(B)1个或2个
(C)1个或3个 (D)3个
答案 C
3.若A∈平面α,B∈平面α,C∈直线AB,则( ) (A)C∈α (B)C∉α (C)AB⊄α (D)AB∩α=C
答案 A
4.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB
与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是
.
答案 点P在直线DE上
题型分析 举一反三
题型一 文字语言、图形语言、符号语言的转换
例1 根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应 图形:(1)A∈α,B∉α;(2)l⊂α,m∩α=A,A∉l;(3)P∈l, P∉α,Q∈l,Q∈α．
解析 (1)点A在平面α内,点B不在平面α内. (2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上. (3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q. 图形分别如图(1),(2),(3)所示.
解析 两两相交且共点的三条直线若在一个平面内,可确定 一个平面,若不在一平面内,每两条直线可确定一个平面, 共可确定 3 个平面,故选 D．
答案 D
题型三 多点共线、多线共点问题
例 3 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AB 的中点,F
为 AA 的中点.求证:CE,D F,DA 三线交于一点.
解题技巧(三种语言转换的注意事项)
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图 形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文 字语言表示,再用符号语言表示.
(2)符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或 “∉”,直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意把被遮挡 的部分画成虚线.
②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部 分用 虚线 画出来.如图(2).
(3)平面的表示 图(1)的平面可表示为平面ABCD,平面AC,平面BD或平面α.注意:“平 面”二字不能省略.
2.点、直线、平面之间的位置关系及语言表达
文字语言表达 点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面α内 点A在平面α外 直线l在平面α内
解题技巧(证明点线共面问题的常用方法)
(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平 面内. (2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平 面内,再证明两个平面重合.
【跟踪训练2】 1、 空间两两相交且共点的三条直线,可以确定的 平面数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)1 或 3
如果一条直线上的 两点 在 基本事 一个平面内,那么这条直线
实2 在此平面内
A∈l,B∈l,且 A∈α,B∈α⇒l ⊂α
如果两个不重合的平面有 基本事 一个 公共点,那么它们
实3 有且只有一条 过该点 的 公共直线
P∈α,P∈β⇒ α∩β=l,且 P∈l
基本事实1的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
【跟踪训练1】
1、A,B,C 表示不同的点,n,l 表示不同的直线,α,β表示不同的平面,下列推理 表述不正确的是( )
(A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α (B)A∈α,A∈β,B∈β,B∈α⇒α∩β=直线 AB (C)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且 A,B,C 不共线⇒α 与β重合 (D)l∈α,n∈α,l∩n=A⇒l 与 n 确定唯一平面 2、如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
解题技巧(证明多点共线、多线共点的常用方法)
(1)证明三线共点常用的方法: 先证明两条直线相交于一点,然后证明这个点在两个平面内,第三 条线是这两个平面的交线,于是该点在第三条直线上,从而得到三 线共点.也可以先证明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明 A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点. (2)类比线共点的证明方法,可得到三点共线的证明方法: ①首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的 公共点,根据公理3,可推知这些点都在交线上,即三点共线. ②选择其中两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直线 上.
图形语言表达
符号语言表达 A∈l , A∉l . A∈α . A∉α . l⊂α .
直线l在平面α外 平面α,β相交于l
l⊄α . α∩β=l .
3.平面的基本事实 文字语言
基本事 过 不在一条直线上 的三 实1 点,有且只有一个平面
图形语言
符号语言
A,B,C三点不共 线⇒存在唯一的 平面α,使A,B, C∈α
1
1
解析 连接 EF,D1C,A1B, 因为 E 为 AB 的中点,F 为 AA1 的中点,所以 EF
1 A1B. 2
又因为 A1B D1C,所以 EF 1 D1C, 2
所以 E,F,D1,C 四点共面, 可设 D1F∩CE=P. 又 D1F⊂平面 A1D1DA,CE⊂平面 ABCD, 所以点 P 为平面 A1D1DA 与平面 ABCD 的公共点. 又因为平面 A1D1DA∩平面 ABCD=DA, 所以据公理 3 可得 P∈DA,即 CE,D1F,DA 三线交于一点.
小试牛刀
1.下列说法: ①书桌面是平面;②8个平面重叠后,要比6个平面重叠后厚;③有一个平面 的长是100 m,宽是90 m;④平面是绝对平滑,无厚度,无限延展的抽象概念. 其中正确的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
答案 B
2. 三条直线两两相交,可以确定平面的个数是( )
(A)1个
第八章 立体几何初步
8.4.1 平面
课程目标
1.正确理解平面的概念； 2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系； 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实,理解三
个基本事实和三个推论的地位与作用.
数学学科素养
1.数学抽象：平面概念的理解； 2.逻辑推理：点线共面、多点共线，多线共点问题； 3.直观想象：点、直线、平面之间的位置关系.
【跟踪训练3】
1．如图所示,在长方体
ABCD-A B C D 1111
中,O
是
BD 11
的中点,直线
AC 1
交平面
AB D 11
于点 M,则下列结论正确的是( )
(A)A,M,O 三点共线
(B)A,M,O,A 不共面 1
(C)A,M,C,O 不共面
(D)B,B ,O,M 共面 1
解析 连接A1C1,AC,则A1C1∥AC. 所以A1,C1,C,A四点共面. 所以A1C⊂平面ACC1A1. 因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1, 所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上, 同理O也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上, 所以A,M,O三点共线.故选A.
答案 A
自主预习，回答问题
阅读课本124-127页，思考并完成以下问题
1、平面的概念是什么？怎样表示一个平面？ 2、点、直线、平面之间的位置关系及语言表达？ 3、平面有哪些基本事实？
•要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
知识清单
1.平面 (1)平面的概念 几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽 象出来的.几何里的平面是 无限延展 的. (2)平面的画法 ①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行 四边形的锐角通常画成 45° ,且横边长等于其邻边长的 2倍 .如图(1).
解析 1.选 D，D 选项的表述有问题.
2. 在①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.
在②中,α∩β=l,a⊂α, b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.
题型二 点线共面
例2
如图,l ∩l =A,l ∩l =B,l ∩l =C,求证直线 l ,l ,l 在同一平面内.
1
2
2
3
1
3
பைடு நூலகம்123
解析 因为 l1∩l2=A,所以 l1,l2 确定一个平面α. 因为 l2∩l3=B,所以 l2,l3 确定一个平面β. 因为 A∈l2,l2⊂α,所以 A∈α. 因为 A∈l2,l2⊂β,所以 A∈β. 同理可证 B∈α,B∈β,C∈α,C∈β. 所以不共线的三个点 A,B,C 既在平面α内,又在平面β内. 所以平面α和β重合,即直线 l1,l2,l3 在同一平面内.
(B)1个或2个
(C)1个或3个 (D)3个
答案 C
3.若A∈平面α,B∈平面α,C∈直线AB,则( ) (A)C∈α (B)C∉α (C)AB⊄α (D)AB∩α=C
答案 A
4.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB
与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是
.
答案 点P在直线DE上
题型分析 举一反三
题型一 文字语言、图形语言、符号语言的转换
例1 根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应 图形:(1)A∈α,B∉α;(2)l⊂α,m∩α=A,A∉l;(3)P∈l, P∉α,Q∈l,Q∈α．
解析 (1)点A在平面α内,点B不在平面α内. (2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上. (3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q. 图形分别如图(1),(2),(3)所示.
解析 两两相交且共点的三条直线若在一个平面内,可确定 一个平面,若不在一平面内,每两条直线可确定一个平面, 共可确定 3 个平面,故选 D．
答案 D
题型三 多点共线、多线共点问题
例 3 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AB 的中点,F
为 AA 的中点.求证:CE,D F,DA 三线交于一点.
解题技巧(三种语言转换的注意事项)
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图 形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文 字语言表示,再用符号语言表示.
(2)符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或 “∉”,直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意把被遮挡 的部分画成虚线.
②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部 分用 虚线 画出来.如图(2).
(3)平面的表示 图(1)的平面可表示为平面ABCD,平面AC,平面BD或平面α.注意:“平 面”二字不能省略.
2.点、直线、平面之间的位置关系及语言表达
文字语言表达 点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面α内 点A在平面α外 直线l在平面α内
解题技巧(证明点线共面问题的常用方法)
(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平 面内. (2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平 面内,再证明两个平面重合.
【跟踪训练2】 1、 空间两两相交且共点的三条直线,可以确定的 平面数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)1 或 3
如果一条直线上的 两点 在 基本事 一个平面内,那么这条直线
实2 在此平面内
A∈l,B∈l,且 A∈α,B∈α⇒l ⊂α
如果两个不重合的平面有 基本事 一个 公共点,那么它们
实3 有且只有一条 过该点 的 公共直线
P∈α,P∈β⇒ α∩β=l,且 P∈l
基本事实1的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
【跟踪训练1】
1、A,B,C 表示不同的点,n,l 表示不同的直线,α,β表示不同的平面,下列推理 表述不正确的是( )
(A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α (B)A∈α,A∈β,B∈β,B∈α⇒α∩β=直线 AB (C)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且 A,B,C 不共线⇒α 与β重合 (D)l∈α,n∈α,l∩n=A⇒l 与 n 确定唯一平面 2、如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.
解题技巧(证明多点共线、多线共点的常用方法)
(1)证明三线共点常用的方法: 先证明两条直线相交于一点,然后证明这个点在两个平面内,第三 条线是这两个平面的交线,于是该点在第三条直线上,从而得到三 线共点.也可以先证明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明 A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点. (2)类比线共点的证明方法,可得到三点共线的证明方法: ①首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的 公共点,根据公理3,可推知这些点都在交线上,即三点共线. ②选择其中两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直线 上.
图形语言表达
符号语言表达 A∈l , A∉l . A∈α . A∉α . l⊂α .
直线l在平面α外 平面α,β相交于l
l⊄α . α∩β=l .
3.平面的基本事实 文字语言
基本事 过 不在一条直线上 的三 实1 点,有且只有一个平面
图形语言
符号语言
A,B,C三点不共 线⇒存在唯一的 平面α,使A,B, C∈α
1
1
解析 连接 EF,D1C,A1B, 因为 E 为 AB 的中点,F 为 AA1 的中点,所以 EF
1 A1B. 2
又因为 A1B D1C,所以 EF 1 D1C, 2
所以 E,F,D1,C 四点共面, 可设 D1F∩CE=P. 又 D1F⊂平面 A1D1DA,CE⊂平面 ABCD, 所以点 P 为平面 A1D1DA 与平面 ABCD 的公共点. 又因为平面 A1D1DA∩平面 ABCD=DA, 所以据公理 3 可得 P∈DA,即 CE,D1F,DA 三线交于一点.
小试牛刀
1.下列说法: ①书桌面是平面;②8个平面重叠后,要比6个平面重叠后厚;③有一个平面 的长是100 m,宽是90 m;④平面是绝对平滑,无厚度,无限延展的抽象概念. 其中正确的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
答案 B
2. 三条直线两两相交,可以确定平面的个数是( )
(A)1个