安徽专升本概率测试题+答案

1、玻璃杯成箱出售，每箱20只。

已知任取一箱，箱中仅可能有0、1、2只残次品，其概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。

试求：（1）顾客买下该箱的概率α；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率β。

1、解：设事件A 表示“顾客买下该箱”，i B 表示“箱中恰好有i 件次品”，2,1=i , 则
8.0)(0=B P ，1.0)(1=B P ，1.0)(2=B P ，1)|(0=B A P ，
54)|(4204
191==
C C B A P ， 19
12
)|(4204182==C C B A P 。

(1)由全概率公式得
∑=⨯+⨯+⨯====2
94
.01912
1.0541.018.0)|()()(i i i B A P B P A P α(2)由贝叶斯公式
85.094
.01
8.0)()|()()|(000=⨯===A P B A P B P A B β。

2、已知50只铆钉中有3只是次品，将这50只铆钉随机地用在10个部件上。

若每个部件用3只铆钉，问3只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少？
2、解：S 为“每个部件装3个铆钉，从50只铆钉中取出三
十只装满十只部件”，设i A 表示事件“3个次品铆钉全装在了第i 个部件上”，10,,2,1 =i 。

设A 表示事件“3个次品铆钉全装在了同一部件上”。

由于从50只铆钉中任取3只装在第i 个部件上共有3
50C 种取法，而3个次品铆钉全装在了第i 个部件上只有一种取法，因此
1960011)3
50==C A P i （ ， 10,,2,1 =i
又 1021,,,A A A 两两互不相容，因此
1960
110211021=+++=⋃⋃⋃=）（）（）（）（）（A P A P A P A A A P A P
3、设有甲乙两袋，甲袋中装有m 只白球，n 只红球，乙袋中装有M 只白球,N 只红球。

今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问该球为白球的概率是多少？ 3、解：设事件A=“从甲袋中取出一白球”，事件B=“从乙袋中取出一白球”。

)()|()()|()(A P A B P A P A B P B P +=
)
)(1(111n m N M m Mm Mn n m m N M M n m n N M M +++++=
++++++++=
4、盒中有10张彩票，其中有一张是奖票，10人依次从盒中
各取一张，取后不放回，问第k 个人取到奖票的概率是多少？k=1,2,…，10
4、设k A ——第k 个人取到奖票
10
,3101)/()/()()(10
110991)()/()()(101)(1111122121 =====
⨯====---k A P A A A P A A A P A P A P A A P A A P A P A P k k k k k k 10,2,110
1
)( ==
k A P k
5、从5双尺码不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率： （1）所取的4只中没有两只成对；（2）所取的4只中只有两只成对（3）所取的4只都成对
5、（1）4
10
4
452
C C （2）1-
4
10425252C C C +（3）410
25
C C
6、设随机变量X 的分布列为
,2,1,2
}{===k A
k X P k
求：（1）参数A ；（2）}4{>X P ；（3）12+=X Y 的分布列。

6、解：(1)由12
1=∑∞
=k k A
，得A =1；
（2）∑∑===>∞
=∞=+505161
2
121}4{k l k k X P ；
（3）,...7,5,3,21
}2
1{}{2
1==-===-k k X P k Y P k
7、设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。

7、解：设这批种子发芽数为X ，则)9.0,1000(~B X ，由中心极限定理得所求概率为
)1
.09.010009
.01000880(1}880{⨯⨯⨯-Φ-=≥X P
9826.0)108.2()108.2(1=Φ=-Φ-=
8、设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。

已知每户每天用电量（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布。

现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？ 8、解：设第K 户居民每天用电量为k X 度，则[]20,0~U X k
，所
以()10=K X E ，()12
202
=
K X D ，设供应站需供应L 度电才能满足条
件，由中心极限定理得
99
.0)12
201000101000(
}{2
1000
1=⨯
⨯-Φ=≤∑=L L X P k k
即 33.23
/10000010000
=-L ， 则L=10426度。

9、已知),(Y X 的概率密度函数为
⎩⎨
⎧<<<<+=其它,
01
0,10,),(y x y x y x f ． (1) 求X 与Y 的相关系数XY ρ； (2) 试判断X 与Y 的独立性。

9、解：（1）)
()(),cov(Y D X D Y X XY =
ρ
⎰⎰=
+=⎰⎰=
+
=101
0101
0127)()(127
)()(dxdy y x y Y E dxdy y x x X E ⎰⎰=+=101
03
1)()(dxdy y x xy XY E
144
1
12712731),cov(-
=⨯-=∴Y X ⎰⎰=+
=10102
2
125
)()(dxdy y x x X E
144
11
)127(125)()(12
5)()(2101022
=
-==∴⎰⎰=
+=Y D X D dxdy y x y Y E
故11
1
-=XY ρ
（2）0≠XY ρ ∴X 与Y 不独立。

10、设二维随机变量),(Y X 在区},|),{(2
x y x y y x G ><= 上服从均匀分布。

(1) 求),(Y X 的联合概率密度； (2) 求),(Y X 关于X 、Y 的边缘概率密度； (3)判断X 与Y 的独立性。

10、解：（1）区域G 的面积为
6
1
)(1
02
102
=⎰-
=
⎰⎰=
⎰⎰dx x x dy dx dxdy x
x G
),(Y X 的联合概率密度为
⎩⎨
⎧<<<<=其它,0
,10,6)(2x
y x x x f
（2）X 的边缘概率密度为⎰=∞
∞-dy y x f x f X ),()(
⎩⎨
⎧<<⎰=其它,0
1
0,62x dy x x =⎩⎨⎧<<-其它,0
1
0),(62x x x
Y 的边缘概率密度为 ⎰=∞
∞-dx y x f y f Y ),()(
⎩⎨⎧<<⎰=其它,0
10,6y dx y y =⎩⎨⎧<<-其它,010),(6y y y
（3）显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不独立。

11、设随机变量),(Y X 具有密度函数
⎩⎨
⎧<<<=其它
,
01
0,,
1),(x x y y x f
求()X E ，()Y E ，()Y X Cov ,
11、解：3
2
2)()(10
210=⎰=⎰⎰=-dx x dx
xdy X E x
x
0)()(10=⎰⎰=-dx ydy Y E x x ，⎰⎰==-100)()(x
x dx xydy XY E 0(=-=）（）（）（）、Y E X E XY E Y X COV
12、设),(~2
σμN X ，023.0}96{,72=≥=X P μ。

求
（1）}8460{≤≤X P （2）X Y 21-=的概率密度 12、（1）023.0)24
(1}96{1}96{=Φ-=<-=≥σ
X P X P
所以 )0.2(997.0)24
(Φ≈=Φσ
进而 12=σ
)
12
()12(}1212
{
}8460{σ
σσσ
μ
σ
-Φ-Φ=≤-≤
-=≤≤X P X P 6826
.08413.021)1(21)12
(2=⨯=-Φ=-Φ=σ
（2）)12,72(~2
N X 所以 )242,143(~N Y
∞<<∞-⨯+-=y x y f Y ,}24
2)143(exp{2241
)(2
2
π
13、设连续型随机变量X 的概率密度为
⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤<<-=其它2110,0,2,)(x x x Ax x f ，求：(1)系数A ；(2)X 的分布函
数。

13、解：
(1)1)1(2
1
)2()(2110=⎰+=-
+⎰=
⎰∞
+∞-A dx x Axdx dx x f
1=∴A
(2)⎰=∞-x
dt t f x F )()(
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≥<≤<≤≤⎰-+⎰⎰=221100,1,)2(,
,01100x x x x dt t tdt tdt x
x
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤--<≤≤=2,12
1,121210,20,022
x x x x x x x
14、设X 服从],[ππ-上的均匀分布，X Y sin =，求Y 的数学期望和方差。

14、解：X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,
0,21
)(π
ππ
x x f X ， 则 0sin 21
)(sin )(=⎰==-π
ππ
xdx X E Y E 21sin 21)(sin )(2
2
2
=⎰==-π
ππ
xdx X E Y E
5.0)]([)()(2
2=-=Y E Y E Y D
15、设随机变量X 、Y 相互独立，且都服从参数为λ的泊松分布，求Y X U +=2与Y X V -=2的相关系数UV ρ。

15、解：λ3)()(2)2()(=+=+=Y E X E Y X E U E
λ
=-=-=)()(2)2()(Y E X E Y X E V E )()(4)]2)(2[()(22Y E X E Y X Y X E UV E -=-+=
22233)]()([)]()([4λλ+=+-+=Y E Y D X E X D
λ5
D
=Y
=
X
V
U
D
+
D
D
)
(
)
(
4
)
(
)
(=
λ3
E
U
E
UV
=V
U
V
E
Cov
)
)
(
)
(
(
(=
,
)
-。