函数连续性、导数及其应用

§1 函数的连续性定义：设函数y =f (x )在点x 0的某一邻域内有定义，如果那么就称函数f (x )在点x 0连续.)()(lim 00
x f x f x
x =→一、连续函数的概念
函数连续要满足三个条件
(1) 在x =x 0有定义；
(2)
存在；(3))(lim 0
x f x x →)()(lim 00
x f x f x
x =→
例1.
2sin 21
,0(),0ax
x e x f x x
a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩
在(-∞，+ ∞)上连续，
求的值
a 解：
定义：若函数ƒ(x)在开区间(a , b)内的每一点都连续, 则称函数ƒ(x)在开区间(a , b)内连续;
定义：若函数ƒ(x)在开区间(a , b)内连续, 且在左端点a右连续, 在右端点b 左连续, 则称函数ƒ(x) 在闭区间[a , b]内连续.
一个函数在定义域上连续，从图像上看是连
续不断的，“一笔”可以画出来的。

二、函数的间断点极其类型(1)在x =x 0没有定义；
(2)虽在x = x 0有定义，但不存在；(3)虽在x = x 0有定义，且存在,但则函数f (x )在点x 0为不连续，而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点.
)(lim 0
x f x
x →)(lim 0
x f x x →)()(lim 00
x f x f x x ≠→
x 1
A 2A 0
x 0
x 1
A 2A 0
x A
x 1
A 2A 0
x 1
A 0
x
间断点⎪
⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧振荡间断点极限为无穷的间断点无穷间断点第二类间断点存在，但不相等）跳跃间断点（左右极限相等）可去间断点（左右极限第一类间断点)(例2.解：
例3.解：
三、利用零点定理讨论方程的根
.,)(轴至少有一个交点线弧与则曲轴的不同侧端点位于的两个连续曲线弧x x x f y =几何解释:
a b 3
ξ2ξ1ξx
y
o
)
(x f y =123()0,()0,()0
f f f ξξξ===定理3(零点定理) 设函数)(x f 在闭区间 []b a ,上连续，且)(a f 与)(b f 异号(即0)()(<⋅b f a f ),那末在开区间()b a ,内至少有函数)(x f 的一个零点,即至少有一点ξ)(b a <ξ<，使0)(=ξf .
§2 导数的概念
一、导数概念的引例
例1变速直线运动的速度
?
)(0=t v )
(t s s =0
s
-
)
(0t t s ∆+t
t s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00时，0→∆t ()000000()()lim lim lim
t t t s t t s t s
v t v t t
∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆)
(0t v v →)
(0t s -
例2平面曲线的切线斜率
x x
x
o y
)
(x f y =C 如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.
极限位置即
.
0,0→∠→NMT MN ).
,(),,(00y x N y x M 设的斜率为割线MN 00tan x x y y --=ϕ,)
()(00x
x x f x f --=,
,0x x M N C
→−−−→−沿曲线的斜率为切线MT 000
()()
tan lim .x x f x f x k x x α→-==-α
T
ϕ
N M
二、导数的定义
,
)()(0);()()(0
0000000x x y x x f y x x f y x x y x f x x f y y x x x x x x x f y ='
==→∆∆∆-∆+=∆∆+∆=记为处的导数,在点并称这个极限为函数处可导,在点则称函数时的极限存在,比当之与如果增量取得相应地函数仍在该邻域内)时,点(处取得增量在当自变量内有定义,的某个邻域
在点设函数定义
x x dx
dy =,
)(0
x x dx
x df =或
x
x f x x f x y
y x x x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆=)()(lim
lim 00000即其它形式
.
)()(lim )(0
000x x x f x f x f x x --='→.
)
()(lim )(0000h
x f h x f x f h -+='→例3.0000()()
()lim =x f x x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆已知在处可导，则？
000()()2lim 2x f x x f x x x
∆→+∆--∆∆解：
'
02()f x =
例4.
证明：
三、可导和连续的关系及应用1.可导和连续的关系
定理凡可导函数都是连续函数，反之不一定.证明：设函数f (x )在点x 0处可导
()()0000
lim ()x x f x f x f x x x →-'=-则()()0
000lim[]()lim()
x x x x f x f x f x x x →→'-=-()()
0lim x x f x f x →=即.
连续在点函数0)(x x f ∴从图像上看，可导函数除了要求像连续函数那样“一笔”画完外还要求曲线是光滑的！
2.左右导数（单侧导数）
右导数:
左导数:0000000
()()()()
()lim lim ;
x x x f x f x f x x f x f x x x x ---→∆→-+∆-'==-∆0000000()()()()
()lim lim ;x x x f x f x f x x f x f x x x x
++
+→∆→-+∆-'==-∆函数)(x f 在点0x 处可导⇔左导数)(0x f -'和右
导数)(0x f +
'都存在且相等. ★
3.利用函数可导或连续解题
例5.
解：
连续
可导
§3 函数微分的概念一、微分的定义
定理：y =f(x )在可微的充分必要条件是f (x )在处
可导，且当f (x )在点可微时，其微分一定是
0x 0x 0x x
x f dy ∆'=)(0(1) 必要性,
)(0可微在点x x f ),(x o x A y ∆+∆⋅=∆∴,
)
(x x o A x
y ∆∆+=∆∆∴x
x o A x y
x x ∆∆+=∆∆→∆→∆)(lim lim 00则.A =).
(,)(00x f A x x f '=且可导在点即函数证明
),()(0x x x f y ∆⋅α+∆⋅'=∆从而,)(0α+'=∆∆x f x
y 即,
)(0可导在点函数x x f ),(lim
00x f x
y
x '=∆∆∴→∆),
0(0→∆→αx ),
()(0x o x x f ∆+∆⋅'=.
)(,)(00A x f x x f ='且可微在点函数 ).
(.
0x f A '=⇔∴可微可导(2) 充分性
()()dy d x x x x
'==∆=∆?y x dy ==已知函数，求例1
处的微分
和在求函数312
===x x x y 解：处的微分
在函数12==x x y 1
()2;x dy x x x ='
=∆=∆处的微分
在3=x x
x x dy x ∆=∆'
==6)(3
2
例2解：
由例2我们把微分常记为
0()x x dy
f x dx
='=()dy f x dx
'=二、可微与可
导的关系
两者是等价的
三、微分的几何意义
.
,,MN MP M x 可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当∆x
y
o
)
(x f y =0
x M
T
）
αN x
x ∆+0y
∆x ∆P
Q
0()dy f x x '=∆tan x α=∆PQ
=dy
)
(x o ∆
§4 导数的计算
(1) (C)'=0,
(2) (xμ)'=μxμ-1,
(3) (sin x)'=cos x,
(4) (cos x)'=-sin x,
(5) (tan x)'=sec2x,
(6) (cot x)'=-csc2x,
(7) (sec x)'=sec x⋅tan x,
(8) (csc x)'=-csc x⋅cot x,
(9) (a x)'=a x ln a,
(10) (e x)'=e x,
(11)
a
x
x a
ln
1
)
(log=',
(12)
x
x1
)
(ln=',
(13)
2
1
1
)
(arcsin
x
x
-
=',
(14)
2
1
1
)
(arccos
x
x
-
-
=',
(15)
2
1
1
)
(arctan
x
x
+
=',
(16)
2
1
1
)
cot
arc
(
x
x
+
-
='.一
、
基
本
初
等
函
数
的
导
数
公
式
2
11
(17)()
x x
'=-1
(18)()
2
x
x
'=
二、反函数求导法则
)
(1
])([1y f x f '='-.
1(),()x f y y f x -==设函数其反函数为定理则.
log 的导数求x y a =,0ln )(≠='a a a y
y 且)(1)(log '
='y a a x a a y ln 1=.
ln 1
a x = 是y a x =的反函数x y a
log =.
的导数求x
a y =,0ln 1)(log ≠=
'a
y y a 且)(log 1)('
='y a a x a
y ln 11=.
ln a a x
= y 是a x log =的反函数x
a y =
arctan y x =求的导数tan arctan x y y x ==是的反函数2(tan )sec 0,
y x '=≠且1(arctan )(tan )x y '='21sec y =2
1
sec (arctan )
x =tan(arctan )x x
=22
sec (arctan )1tan (arctan )x x =+2
1x =+2
1
(arctan )1x x
'=+
三、函数求导的四则运算法则及复合函数求导
这部分知识都是我们高中时学过的内容，这里不再介绍，我们通过几个典型的例题加以复习巩固
例1
解：
例2解：
四、隐函数的求导
1. 函数的表示法
直接表示:
解析式y=f(x) x∈D, 这样描述的函数称为显函数把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化.
一般地,如果变量x 和y 满足一个方程F (x ,y )=0,在一定条件下当x 取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在,那么就说方程F (x ,y )=0在该区间内确定了一个隐函数
2. 隐函数定义极其求解
有的隐函数可以化成显函数去求导数，但是并不是所有的隐函数都可以显化的，如：sin 0
xy xy +=虽然不可以显化，但是求导函数是可以的，方法就是方程两边同时关于x （或y ）求导，一般来说，导函数往往是含有x 和y 的解析式。

需要注意的是：当关于x 求导时要把y 看成是复合函数；关于y 求导时要把x 看成是复合函数！
例3
原方程变形为
解：
方程两边同时关于x求导得
整理，得
即
注：隐函数求导一般有两种类型的题目，一种是求导函数，另一种是求具体某一点处的导数值，从本质上说两者没有什么区别，前者需要求出导函数的解析式
（有时候整理化简过程很繁琐），后者可以在前者的基础上带入具体点的坐标就可以了。

不过在求解具体点的导数值这类题目可以不用把导函数的解析式求出来，把已知点直接带入还没有整理化简的方程中，这样具体的数值取代了繁琐的公式符号，然后再把导数值求出来就相对简单多了！
带入
得
即
五、对数求导法
1.对数求导法
2.适用范围求幂指函数和多个函数相乘的导数.
)
()
(x v x u
例4
解：等式两边取对数得
1
ln ln(1)ln(1)2ln(4)3
y x x x x
=++--+-112113(1)4
y y x x x '=+--+-+3
2(1)1112
[1]13(1)4(4)x
x x y x x x x e
+-'∴=+--+-++3
2(1)1
,.(4)x
x x y y x e
+-'=+求上式两边关于x 求导得
例5
解法一：
等式两边取对数得上式两边关于x求导得即解法二：
解法一与解法二没有本质的区别，相比而言解法二较直接，但需要对复合函数的求导熟练掌握
例6
解：等式两边取对数得
上式两边关于x求导得
即
六、高阶导数
1.如果的导数存在，称为的二阶导数
记作：，或
)(x f y =)(x f y '='22
dx
y
d )(dx dy dx d y ''y ''2. 仍是x 的函数，还可以进一步考虑有三阶导数或，
四阶导数或，……n阶导数
或.y '''33
dx y
d )
4(y 4
4dx
y d )
(n y
n
n
dx
y d
七、参数方程所确定函数的导数
()
()()
x t y f x y t ϕψ=⎧=⎨=⎩由参数方程所确定
()()
dy dy t dt dx t dx dt
ψϕ'=='2
2
()dy d d y
dx dx dx
dt
=参数方程求导问题是历年必考的重点题型，但却不是难点，主要是公式的应用，归结到底还是考查一般函数求导问题。

例7解：
八、微分中值定理
关于微分中值定理，不是目前我们学习的重点，但要做到基本了解，知道它们的几何意义，会求满足定理条件的点即可。

1.罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数)(x f 在闭区间 ],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,且在区间端点的函数值相等，即)()(b f a f =,那末在),(b a 内至少有一点)(b a <ξ<ξ,使得函数)(x f 在该点的导数等于零， 即0)('
=ξf
)
1()2()
3(
罗尔定理几何解释:
a
b
1ξ2
ξx
y
o )
(x f y =.,水平的在该点处的切线是点上至少有一在曲线弧C AB C
例8
32)(2
--=x x x f ).
1)(3(+-=x x ,]3,1[上连续在-,)3,1(上可导在-,
0)3()1(==-f f 且))
3,1(1(,1-∈=ξ取.
0)(=ξ'f ),
1(2)(-='x x f
2.拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数f (x )在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,那末在
),(b a 内至少有一点)(b a <ξ<ξ，使等式
))(()()('
a b f a f b f -ξ=- 成立.
)
1()
2().
()(:b f a f =去掉了与罗尔定理相比条件中注意).
()
()(ξ'=--f a
b a f b f 结论亦可写成
a
b
1
ξ2ξx
o y
)
(x f y =A
B
C
D
拉格朗日中值定理几何解释：
.,AB C AB 线平行于弦在该点处的切一点上至少有
在曲线弧()()
f b f a -b a
-例9解：
利用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理作辅助函数
)].
()
()()([)()(a x a
b a f b f a f x f x F ---+-=(),()()
F x F a F b =满足罗尔定理的条件可以验证.
0)(,),(=ξ'ξF b a 使得内至少存在一点则在0
)
()()(=---ξ'a
b a f b f f 即).
)(()()(a b f a f b f -ξ'=-或注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数)(x f 及)(x F 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,且
)('
x F 在),(b a 内每一点处均不为零，那末在),(b a 内至少有一点)(b a <ξ<ξ,使等式
)
()
()()()()(''
ξξF f a F b F a f b f =--成立.
3.柯西中值定理
,
)(x x F =当,
1)(,)()(='-=-x F a b a F b F )()()()()()(ξ'ξ'=--F f a F b F a f b f ).()()(ξ'=--f a
b a f b f 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况：
九、导数的应用（利用导数研究函数的性质）
单调,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率
*
1.函数的单调性
x
y
o
)(x f y =x
y
o )
(x f y =a
b
A
B
()0
f x '>()0
f x '<a
b B
A
1(,)()0()[,](2)(,)()0()[,].
a b f x y f x a b a b f x y f x a b '>='<=（）如果在内，那末函数在上单调增加；
如果在内，那末函数在上单调减少
注：
（1）求函数单调区间就是解导数不等式
（2）证明方程根的个数最经典的方法就是结合函数单调性利用零点定理
2.函数的极值
关键字：极值、极大值、极小值、极值点、驻点、不可导点
简单地说，所谓极值，就是在某一点的“附近”它
的函数值是最大（小）的，则该点就称为函数的一个
极值点，函数值称为极大（小）值，极大值与极小值
统称为极值。

驻点是指一阶导数等于零的点，即满足的点
不可导点是一阶导数不存在的点，即无意义的点
驻点与不可导点我们习惯上统称为“极值可疑点”
)
(x f y x
o y
导数为零不是驻点
不可导点不是极值点
两个特例
函数极值的性质与判定
◆性质（必要条件）
(),f x 所以，可导函数的极值点必定是它的驻点但函数的驻点却不一定是极值点。

◆判定（充分条件）（1）第一充分条件
①对于在x 0处连续的函数，如果在x 0附近的左侧f ’(x )>0，右侧f ’(x )<0，那么f (x 0)是极大值；
②如果在x 0附近的左侧f ’(x )<0，右侧f ’(x )>0，那么f (x 0)是极小值．
x
y o
x
y
o
x 0
x +-
-
+
x
y
o
x
y
o
x 0
x +
-
-
+求极值的步骤:);
()1(x f '求导数(2);
求驻点及不可导点(3)(),;f x '检查在驻点或不可导点左右的正负号判断极值点.
)4(求极值
例10解：
.
2
3833
238
的极值与极值点求x x
y -
=
所给的函数定义域为.
),(+∞-∞)1(2313
13
5-=-='-
-x
x x x y .)
1)(1(3
x
x x -+=.
,0.1,1021不存在处在，得驻点令y x x x y '==-=='1
–10
不存在0y
x y '(0,1)(–1,0))
,1(+∞)1,(--∞–
+
+
–
极小值
极大值
极小值
8
9-0
8
9-
（2）第二充分条件
注：
①利用第一充分条件判定极值一般都需要列表讨论，这样
比较直观，关键步骤是判定驻点或不可导点左右导数的正负性（常把一阶导数解析式进行因式分解以方便判断正负）
②第二充分条件多用于具有二阶导数的函数（多项式函
数），使用起来简单快捷，但是当函数不满足条件，或者即使满足条件却不易求出二阶导数的解析式时就不能使用这种方法了。