流体力学第三章
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4v
d1
4qm1v
1
4 500 0.3816 0.052m 3600 25
同理求得： d 2 0.09m 3-13 解：由连续性方程得： 1 D 2 2 d 2 由几何关系得： tan
Dd 2l
联立以上二式： 2 51.6m / s
3-14 解：由连续性方程得：
2
2
pA
w
pB
w
2 9.8 0.3 1000 800 1.085m / s 1000
∴
2 pB p A
w
2 gH w
w
3-16 解：不计阻力损失，对 a-a 和 0-0 截面应用伯努利方程有：
12
2g
p1 2 p H 4 4 H4 g 2g g p1 2 p H 4 a 0 g 2g g p1 pa P H 0 H g g
a y y y 10 20 1 dy 0 a a a
25 a 3
qv 25 25 aa m/ s a 3 3
3-10 解：由连续性方程 0 A0
1 A1 2 A2 得：
0
qv
3-11
1 A1 2 A2
1 A1 2 A2 1 d12
4 2
d22
4
2
d2 20 2 1 1 2 2 32m / s 5 d2
油 =0.85 水 =850kg/m3
qm 油q v 850 32 3.14 0.052 53.5kg / s 4
ax
x x x y x z x t x y z
ay
y t
x
y x
y
y y
z
y z
az
z x z y z z z t x y z
2 2
分别求导后得： a x xz 2 xy 2 tz 1 a y yz x y tz 1 a z x 2 z y 2 z t ( y x ) 将 t 0 ， x 1 ， y 1 ， z 1 带入后得： ax 3 a y 1 az 2 3-5 解：对于一位流动管道截面上的速度分布
∴ 3-22 解：由连续性方程得：
pe p1 pa 5.89 10 4 pa
4
由伯努利方程得：
d121
4
d 2 21
12
2
又
p1
2 2
2
p2
p1 p2 gh Hg H 2O
联立以上三式并带入数据得： 1 3.49m / s ∴ qv
4
d 2 1.935m3 / s
3-25 解:由连续性方程得：
1 =
A2 d2 2 = 22 2 4.5m / s A1 d1
对进口和出口应用连续性方程得：
12
2g
∴
p1 2 2 p H + 2 （ p2 pa ） g 2g g
p1 p2 2 2 12 182 4.52 H 3.6 19.09 g 2g 2 9.8
1 3 y z xy 3
ax
x x x y x z x t x y z
ay
y t
x
y x
y
y y
z
y z
az
z x z y z z z t x y z
1 4 1 2 xy a y y 5 az xy 3 。 3 3 3 16 32 16 将（1,2,3）带入后得： ax ay az 。 3 3 3
分别求导后得： ax 3-3 (1) 属于三维流动。 (2) x 4 x 3 2 y xy
y 3x y 3 z
∴
1 (
qv
3-15
4
d121
4
2 gH m / 1
1/ d 1/ d
4 4 2 1
解：水在 4 C 下的密度 w 1000kg / m 3 ∴ w 0.8 800 kg / m 3 对 A,B 两点应用伯努利方程得：
3-19 解：由理想气体状态方程 p Rg T 得：
T1 2 T2 1
∴ 2
1T1
T2
1.29 273.15 0.523Kg / m3 273.15 400
∴
qm 4000 8.85m / s 2 A 3600 0.24 0.523
3-20 解：对 0-0 截面和 1-1 截面应用伯努利方程有
pa 2 pa H1 g 2g g
∴
2 gH 2 9.8 3m / s 1.7m / s
d 4qv 4 100 0.144m 3.14 3600 1.7
∴
对井 A 和上端管水平面应用伯努利方程得：
pa 2 p H1 z 1 g 2g g
A11 850
0.32
4
2 120.1kg / s
由连续性方程得： 1 A1 2 A2 代入数据得 2 18m / s 3-8 解：在极坐标中 x r cos
y r sin
则 x
4x 4r cos 4 cos 2 x y r2 r
0
而
pa p 2 0 0 1 1 空 g 空 g 2 g
p1 pa 水 gh
∴
1 = 2g
pa pa 水 gh pa p1 2g = 2gh 水 =61.65m/s 空 g 空 g 空
∴
q v 1 A 1
同理： 2 4.950m / s 测压管水头线：
2
3 7.128m / s
H1
ห้องสมุดไป่ตู้12
2g
p0 H g p0 2 147150 11.1382 H 1 5 13.67mH 2O g 2 g 1000 9.8 2 9.8
H1
同理： H 2 18.75mH 2O , H 3 17.41mH 2O 3-17 解：由连续性方程得：
2
y
4y 4r sin 4 sin 2 x y r2 r
2
x2 y 2
流量 qv
4 r
dA r 2 rdr 8
A A
4
即通过任意一个原点为圆心的同心圆的流量都相等。 3-9 解： qv
dA
a 0
x dy
3-18 解： T t 273.15 100 273.15K 373.15K 由理想气体状态方程得：
p 5 105 kg / m3 4.669kg / m3 Rg T 287 373.15
∴
qm qm 0.5 54.57m / s 2 2 0.05 A d 3.14 4.669 4 4
x
qv A( x) x y x z x x y z
x x
定常流动的加速度 ax x
x
qv q dA( x) 2v A( x) A ( x) dx
3-6 解： vx
qv2 dA （x） 3 A ( x) dx
y x vy 2 2 2 ( x y ) 2 ( x 2 y 2 )
3-12 解： qm 0 200kg / h
5 1 kg / s 9 v
qm 0 0 A0
4
d 0 2 0
5 4 0.3816 4qm 0 9 0 27m / s 2 2 d0 0.1 qm1 1 A1
d121
4
d121
4
d 2 22
由伯努利方程得：
12
2
g ( z1 )
p1
2
2
g ( z2 )
p2
由 U 形挤压器可得： p1 gH p2 g ( z1 z2 ) w gH
2 gH (
联立以上各式得： 1
w )
d1 4 ) d2
0
∴
4 2
2g
4
2 p0
2 gH
2 147150 2 9.8 5 19.801m / s 1000
qv A44
d42
4
4
0.0752
4
19.801 0.087m / s
1 d 4 ∵ ∴ 1 11.138m / s 4 d1
z
y z
az
z x z y z z z t x y z
分别求导后得： a x 2 x 3 y 2 3 x 2 y a y 9 y a z 8 z 3 。 将(3,1,2)带入后得： ax 27 a y 9 az 64 。 3-2 （1） 属于二维流动。 （2） x xy 2 y -
ax
x x x y x z x t x y z
ay
y t
x
y x
y
y y
z
y z
分别求导并将（2,2,3）带入后得： ax 2004 a y 108 。 3-4 （1） 由于 x ， y 是关于 t 的函数，所以为非定常流动。 （2）
3-1 (1) 属于三维流动，因为有 x，y，z 三个变量。 (2) x x 2 y y 3 y z 2 z 2
ax
x x x y x z x t x y z
ay
y t
x
y x
y
y y
4
d121
3.14 0.152 3.49 62 L / s 4
3-23 解：对 1-1，2-2 分别应用连续性方程和伯努利方程得：
4
D 21
4
d 22
12
2
另有
p1
2 2
2
p2
p1 p2 gh 酒 空
联立以上三式并带入数据有： 2 =42.11m/s 3-24 解：取吸水玻璃管处为过流断面 1-1，在吸入口之前的一定距离。此处空气未受到干扰，取 为过流断面 0-0，其压力为大气压力，空气流速近似为 0。对断面 0-0 和 1-1 应用伯努利方 程得：
2
2
其中：
gH pv
2
2
4qv 4 3 102 1.7 m / s d2 0.152
∴ pv
gH
1000 1.7 2 9.8 7 1000 70087 pa 7.147 mH 2O 2
3-21 解：对井 A,井 B 水平面应用伯努利方程得：
因为流动为二维定常流动，所以流线的微分方程为
dx dy vx v y
将已知的速度分量代入上式有
x y 2 2 2 ( x y ) 2 ( x 2 y 2 )
整理得
xdx ydy C
上式积分得
x2 y 2 C
即流线簇为圆心在坐标原点的同心圆。 3-7 解： qm
A0
0.4125
4
d 00 1.296 10 4 m3 / s
由伯努利方程 z1
12
2g
p1 2 p z2 2 2 得： g 2g g
p p1 z2 0 a g g
00
p1 pa p 1.7 104 z2 1.73m g g 103 9.8
d1
4qm1v
1
4 500 0.3816 0.052m 3600 25
同理求得： d 2 0.09m 3-13 解：由连续性方程得： 1 D 2 2 d 2 由几何关系得： tan
Dd 2l
联立以上二式： 2 51.6m / s
3-14 解：由连续性方程得：
2
2
pA
w
pB
w
2 9.8 0.3 1000 800 1.085m / s 1000
∴
2 pB p A
w
2 gH w
w
3-16 解：不计阻力损失，对 a-a 和 0-0 截面应用伯努利方程有：
12
2g
p1 2 p H 4 4 H4 g 2g g p1 2 p H 4 a 0 g 2g g p1 pa P H 0 H g g
a y y y 10 20 1 dy 0 a a a
25 a 3
qv 25 25 aa m/ s a 3 3
3-10 解：由连续性方程 0 A0
1 A1 2 A2 得：
0
qv
3-11
1 A1 2 A2
1 A1 2 A2 1 d12
4 2
d22
4
2
d2 20 2 1 1 2 2 32m / s 5 d2
油 =0.85 水 =850kg/m3
qm 油q v 850 32 3.14 0.052 53.5kg / s 4
ax
x x x y x z x t x y z
ay
y t
x
y x
y
y y
z
y z
az
z x z y z z z t x y z
2 2
分别求导后得： a x xz 2 xy 2 tz 1 a y yz x y tz 1 a z x 2 z y 2 z t ( y x ) 将 t 0 ， x 1 ， y 1 ， z 1 带入后得： ax 3 a y 1 az 2 3-5 解：对于一位流动管道截面上的速度分布
∴ 3-22 解：由连续性方程得：
pe p1 pa 5.89 10 4 pa
4
由伯努利方程得：
d121
4
d 2 21
12
2
又
p1
2 2
2
p2
p1 p2 gh Hg H 2O
联立以上三式并带入数据得： 1 3.49m / s ∴ qv
4
d 2 1.935m3 / s
3-25 解:由连续性方程得：
1 =
A2 d2 2 = 22 2 4.5m / s A1 d1
对进口和出口应用连续性方程得：
12
2g
∴
p1 2 2 p H + 2 （ p2 pa ） g 2g g
p1 p2 2 2 12 182 4.52 H 3.6 19.09 g 2g 2 9.8
1 3 y z xy 3
ax
x x x y x z x t x y z
ay
y t
x
y x
y
y y
z
y z
az
z x z y z z z t x y z
1 4 1 2 xy a y y 5 az xy 3 。 3 3 3 16 32 16 将（1,2,3）带入后得： ax ay az 。 3 3 3
分别求导后得： ax 3-3 (1) 属于三维流动。 (2) x 4 x 3 2 y xy
y 3x y 3 z
∴
1 (
qv
3-15
4
d121
4
2 gH m / 1
1/ d 1/ d
4 4 2 1
解：水在 4 C 下的密度 w 1000kg / m 3 ∴ w 0.8 800 kg / m 3 对 A,B 两点应用伯努利方程得：
3-19 解：由理想气体状态方程 p Rg T 得：
T1 2 T2 1
∴ 2
1T1
T2
1.29 273.15 0.523Kg / m3 273.15 400
∴
qm 4000 8.85m / s 2 A 3600 0.24 0.523
3-20 解：对 0-0 截面和 1-1 截面应用伯努利方程有
pa 2 pa H1 g 2g g
∴
2 gH 2 9.8 3m / s 1.7m / s
d 4qv 4 100 0.144m 3.14 3600 1.7
∴
对井 A 和上端管水平面应用伯努利方程得：
pa 2 p H1 z 1 g 2g g
A11 850
0.32
4
2 120.1kg / s
由连续性方程得： 1 A1 2 A2 代入数据得 2 18m / s 3-8 解：在极坐标中 x r cos
y r sin
则 x
4x 4r cos 4 cos 2 x y r2 r
0
而
pa p 2 0 0 1 1 空 g 空 g 2 g
p1 pa 水 gh
∴
1 = 2g
pa pa 水 gh pa p1 2g = 2gh 水 =61.65m/s 空 g 空 g 空
∴
q v 1 A 1
同理： 2 4.950m / s 测压管水头线：
2
3 7.128m / s
H1
ห้องสมุดไป่ตู้12
2g
p0 H g p0 2 147150 11.1382 H 1 5 13.67mH 2O g 2 g 1000 9.8 2 9.8
H1
同理： H 2 18.75mH 2O , H 3 17.41mH 2O 3-17 解：由连续性方程得：
2
y
4y 4r sin 4 sin 2 x y r2 r
2
x2 y 2
流量 qv
4 r
dA r 2 rdr 8
A A
4
即通过任意一个原点为圆心的同心圆的流量都相等。 3-9 解： qv
dA
a 0
x dy
3-18 解： T t 273.15 100 273.15K 373.15K 由理想气体状态方程得：
p 5 105 kg / m3 4.669kg / m3 Rg T 287 373.15
∴
qm qm 0.5 54.57m / s 2 2 0.05 A d 3.14 4.669 4 4
x
qv A( x) x y x z x x y z
x x
定常流动的加速度 ax x
x
qv q dA( x) 2v A( x) A ( x) dx
3-6 解： vx
qv2 dA （x） 3 A ( x) dx
y x vy 2 2 2 ( x y ) 2 ( x 2 y 2 )
3-12 解： qm 0 200kg / h
5 1 kg / s 9 v
qm 0 0 A0
4
d 0 2 0
5 4 0.3816 4qm 0 9 0 27m / s 2 2 d0 0.1 qm1 1 A1
d121
4
d121
4
d 2 22
由伯努利方程得：
12
2
g ( z1 )
p1
2
2
g ( z2 )
p2
由 U 形挤压器可得： p1 gH p2 g ( z1 z2 ) w gH
2 gH (
联立以上各式得： 1
w )
d1 4 ) d2
0
∴
4 2
2g
4
2 p0
2 gH
2 147150 2 9.8 5 19.801m / s 1000
qv A44
d42
4
4
0.0752
4
19.801 0.087m / s
1 d 4 ∵ ∴ 1 11.138m / s 4 d1
z
y z
az
z x z y z z z t x y z
分别求导后得： a x 2 x 3 y 2 3 x 2 y a y 9 y a z 8 z 3 。 将(3,1,2)带入后得： ax 27 a y 9 az 64 。 3-2 （1） 属于二维流动。 （2） x xy 2 y -
ax
x x x y x z x t x y z
ay
y t
x
y x
y
y y
z
y z
分别求导并将（2,2,3）带入后得： ax 2004 a y 108 。 3-4 （1） 由于 x ， y 是关于 t 的函数，所以为非定常流动。 （2）
3-1 (1) 属于三维流动，因为有 x，y，z 三个变量。 (2) x x 2 y y 3 y z 2 z 2
ax
x x x y x z x t x y z
ay
y t
x
y x
y
y y
4
d121
3.14 0.152 3.49 62 L / s 4
3-23 解：对 1-1，2-2 分别应用连续性方程和伯努利方程得：
4
D 21
4
d 22
12
2
另有
p1
2 2
2
p2
p1 p2 gh 酒 空
联立以上三式并带入数据有： 2 =42.11m/s 3-24 解：取吸水玻璃管处为过流断面 1-1，在吸入口之前的一定距离。此处空气未受到干扰，取 为过流断面 0-0，其压力为大气压力，空气流速近似为 0。对断面 0-0 和 1-1 应用伯努利方 程得：
2
2
其中：
gH pv
2
2
4qv 4 3 102 1.7 m / s d2 0.152
∴ pv
gH
1000 1.7 2 9.8 7 1000 70087 pa 7.147 mH 2O 2
3-21 解：对井 A,井 B 水平面应用伯努利方程得：
因为流动为二维定常流动，所以流线的微分方程为
dx dy vx v y
将已知的速度分量代入上式有
x y 2 2 2 ( x y ) 2 ( x 2 y 2 )
整理得
xdx ydy C
上式积分得
x2 y 2 C
即流线簇为圆心在坐标原点的同心圆。 3-7 解： qm
A0
0.4125
4
d 00 1.296 10 4 m3 / s
由伯努利方程 z1
12
2g
p1 2 p z2 2 2 得： g 2g g
p p1 z2 0 a g g
00
p1 pa p 1.7 104 z2 1.73m g g 103 9.8