近世代数题库

近世代数题库(总12页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
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群
一、填空题
1. 设4)(x x f =是复数集到复数集的一个映射, 则)1(1-f ={_______}.
2. 设τ=(134),σ=(13)(24), 则τσ=____________________.
3. 群G 的元素a 的阶是m ，b 的阶是n ，ba ab =，则≤ab ，如果),(m n = 1，则=ab
_____.
4. 设<a >是任意一个循环群.若|a |=∞，则<a >与________________同构；若|a |=n ，则<a >与
______________同构.
5. 设σ=（14）（235），τ=（153）（24），则|σ| = ____，στσ1- =______.
6. 设群G 的阶为m ，G a ∈，则=m a .
7. 设“～”是集合A 的一个关系，如果“～”满足_________________，则称“～”是A 的元素
间的一个等价关系.
8. 设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S 5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数
字的循环置换之积)， τ是 (奇、偶)置换.
9. 设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 .
10. 一个群G 的非空子集H 做成一个子群的充分必要条件是 .
11. 设G 为群，若对于任意的元G b a ∈,，都有ba ab =，则称群G 为 群.
12.n 次对称群n S 的阶是____________.
13.设G =<a >是10阶循环群，则G 的全部生成元有 ，G 的子群有 个，分别是 .
14.设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha .
15.设G =<a >是循环群，则G 与整数加群同构的充要条件是 .
16．在3次对称群3S 中，H ＝{(1),(123),(132)}是3S 的一个正规子群，则商群H S 3中的元素
(12)H ＝{}.
17．如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 .
18.设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A .
19. 凯莱定理说：任一个群都与一个 同构.
20. 设G =<a >是12阶循环群, 则G 的生成元集合为｛ ｝.
21. 一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数叫做H 在G 中的 .
22. 设G 是一个pq 阶群，其中q p ,是素数，则G 的子群的一切可能的阶数是 ____ .
23. 写出S 3的一个非平凡的正规子群_____.
24. 已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 .
25. 一个有限非可换群至少含有____________个元素.
26. 设G 是p 阶群（p 是素数），则G 的生成元有____________个.
27. 一个有限群中元素的个数叫做这个群的 .
28.设R 是实数集，规定R 的一个代数运算ab b a 2:= ，（右边的乘法是普通乘法），就
结合律、交换律而言，“ ”适合如下运算律： .
29. 设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=bH aH .
30. 写出三次对称群3S 的子群()(){}13,1=H 的一切左陪集 .
31. 如果G 是一个含有15个元素的群，那么，G 有 个5阶子群，对于∀∈a G ，则元素a 的阶只可能是___________.
32.设G 是一个pq 阶群，其中q p ,都是素数，则G 的真子群的一切可能的阶数
是 ，G 的子群的一切可能的阶数是 .
33. 已知群G 中的元素a 的阶等于n ，则k a 的阶等于n 的充分必要条件是 .
34. 设(G ，·)是一个群，那么对于∀∈b a ,G ，(ab )－1＝___________.
k
36．若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的方幂，则G 称为 .
37．5-循环置换)31425(=π，那么=-1π .
38．设G 为群，G N ≤，且对于任意的G a ∈，有 ，则N 叫做G 的正规子群.
39. 设G 为乘群，G a ∈，则能够使得e a m =的最小正整数m ，叫做a 的___________.
设G 为加群，G a ∈，则能够使得 的最小正整数m ，叫做a 的阶.
40．设τ＝(1243)(235)∈5S ，那么1-τ＝___ _.τ是 (奇、偶)置换.
41. 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：则a 所在的等价类
a ={ ｝.
42. 设A ={d c b a ,,,}，则A 到A 的映射共有________个，A 到A 的一一映射共有 ________个，A A ⨯到A 的映射共有________个（A 上可以定义 个代数运算）.
43. 设G 是6阶循环群，则G 的生成元有____________个.
44. 非零复数乘群*C 中由i -生成的子群是____________.
45. )125(=σ，)246(=τ，则στ的阶数等于 .
46．素数阶群G 的非平凡子群个数等于____________.
47. 设G 是一个n 阶交换群，a 是G 的一个m （n m ≤）阶元，则商群
><a G 的阶等于 .
48. 设σ是集合A 到集合B 的一个映射,则存在B 到A 的映射τ,使στσ⇔=A 1 为 ;
存在B 到A 的映射τ,使σστ⇔=B 1为 .
49. 若群G 中的每个元素的阶都有限,则称G 为 群. 若群G 中除了单位元外,其余元素的阶
都无限,则称G 为 群.
50. n 阶循环群有 个生成元,有且仅有 个子群.
51. 若n k ,则n 阶循环群>=<a G 必有k 阶子群,其k 阶子群为 .
52. 在同构意义下,4阶群只有两个,一个是4阶循环群,另一个是 .
53. 在同构意义下,6阶群只有两个,一个是6阶循环群,另一个是 .
54. 非交换群G 的每个子群都是其正规子群,则称G 为 群.
55. n 元置换)(21k i i i 的阶为 ，=-12121)])([(m k j j j i i i .
二、选择题
1. 设R B A == (实数集)，如果A 到B 的映射R x x x ∈∀+→,2:ϕ,则ϕ是从A 到B 的（ ）.
A) 满射而非单射; B) 单射而非满射;C) 一一映射; D) 既非单射也非满射.
2.3S 中可以与(123)交换的所有元素有（ ）.
A) (1),(123),(132); B) (12),(13),(23); C) (1),(123); D)3S 中的所有元素.
3.设15Z 是以15为模的剩余类加群，那么15Z 的子群共有（ ）个.
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8.
4. 设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ）.
A) 11--a bc B) 11--a c C) 11--bc a D) ca b 1-.
5. 设f 是复数集到复数集的一个映射. 如果对任意的复数x ，有4)(x x f =，则
))1((1f f -=( ).
A) {1，-1}; B) {i ，-i }; C) {1， -1，i ，-i }; D) 空集.
6. 设A ={所有实数}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是( ).
A) x x 10→ B) x x 2→ C) x x → D) x x -→.
7. 设G 是实数集，定义乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数,那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）.
A) 1和x -； B) 1和0； C) -k 和k x 2-； D)k -和)2(k x +-.
8.下面的集合对于给定的代数运算不能成为群的是( ).
A) 全体整数对于普通减法; B) 全体不为零的有理数对于普通乘法;
C) 全体整数对于普通加法; D) 1的3次单位根的全体对于普通乘法.
9. 设G 是群,c b a ,,是群G 中的任意三个元素, 则下面阶数可能不相等的元素对为( ).
A)ba ab , B) bac abc , C) 1,-bab a D) 1,-a a .
10. 设R 是实数集合,规定R 的元素间的四个关系如下,( )是R 的等价关系.
A)b a aRb ≤⇔; B) 0≥⇔ab aRb ; C) 022≥+⇔b a aRb ; D) ab aRb ⇔<0.
11.设G 是一个半群，则下面的哪一个不是做成群的充要条件( ).
A) G 中有左单位元，同时G 中的每个元素都有左逆元；
B) 对于G 中任意元素a 和b ，G 中恰好有一个元素x 满足a x =b ；同时G 中恰好有一个元素y
满足y a =b ；
C) G 中有单位元，同时G 中的每个元素都有逆元；
D) 在G 中两个消去律成立.
12.设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,. 如果子群H 的阶是6，那么G 的阶=G （ ）.
A) 6 B) 24 C) 10 D) 12
13. 三次对称群3S = {(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，那么下面关于3S 的四个论述中，正确的个数是( ).
(1) 3S 是交换群；(2) 3S 的2阶互异子群有三个；(3) 3S 的3阶互异子群有两个；(4) 3S 的
元素(123)和(132)生成相同的循环群.
A) 1 B ) 2 C) 3 D) 4
14. 设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（ ）个。

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8
15.指出下列那些运算是二元运算（ ）
A) 在整数集Z 上，ab b a b a += ； B) 在有理数集Q 上，ab b a = ；
C) 在正实数集+R 上，b a b a ln = ；D) 在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= .
16.设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,m ax = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z
中（ ）.
A) 不适合交换律；B)适合结合律；C) 存在单位元；D)每个元都有逆元.
17. 设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）.
A) f 的同态核是1G 的不变子群； B) 2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；
C) 1G 的子群的象是2G 的子群； D) 1G 的不变子群的象是2G 的不变子群.
18. 设G G ,是两个带有乘法的非空集合，且G ～G ，则下列结论不正确的是( ).
A) G 是群时，G 也是一个群； B) G 是群时，G 也是一个群；
C) G 是交换群时，G 也是交换群； D) G 的单位元的象是G 的单位元.
19. 设A 为实数集，B 位正实数集，如果A 到B 的映射x x 2:→ϕ，∈∀x A ，则ϕ是从A 到B 的（ ）.
A ）满射而非单射; B) 单射而非满射; C) 一一映射; D)既非单射也非满射.
20. 设G 是实数集，定义乘法1:-+=b a b a ，那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）.
A) 1和1x -； B) 1和x -2； C) 0和x -2； D) -1和1-x .
21. 设N 是群G 的正规子群，且G 关于N 的商群N G
为五阶群. 如果子群N 的阶是6，那么群G 的阶=G （ ）.
A) 6 B) 36 C) 30 D)25.
22. 设集合A 含有n 个元素，那么A 的子集共有( )个.
A) n ! B) 2n C) n 2 D) 2
)1(+n n . 23. 下列法则，( )是集合A 的代数运算. A) A =b a b a N -= , B) A =2,ab b a Z =
C) A =b
a b a Q = , D) A =π+=a b a R ,. 24. 设S
则S 关于所给代数运算作成的代数系统中的单位元和可
逆元素分别为( ).
A) c ，a 与b B) c ，b 与c
C) b ，c 与d D) a ，d 与a .
25. p (素数)阶有限群的子群个数为( ).
A) 0 B) 1 C) 2 D) p
26. 6元置换（23）（1356）的阶数为（ ）
A) 2 B) 4 C) 5 D) 8
27. M 是正有理数集合，下列规定不是M 的关系的是（ ）
A) b a aRb +⇔是整数； B) 1<++⇔c
a d
b
c
d R a b 4 C) 1>-⇔b a aRb 5 D) 0<⇔ab aRb
28. 设集合A 含有n 个元素，那么A 的代数运算共有( )个.
A) n ! B) 2n C) n n D ) 2n n
三、判断题
（ ）1. 设N 是正整数集，N b a ∈∀,规定b a aRb ⇔，则R 是N 的元间的一个等价关系.
（ ）2. 如果群G 中的每个元素都满足方程e x =2，则G 必是交换群.
（ ）3. 一个非交换群至少要有6个元素．
（ ）4. 群G 的任意个子群的交仍是G 的一个子群.
（ ）5. 四次交代群中存在6阶子群.
（ ）6. 设M 是非空集合，则M M ⨯到M 的每个映射都叫作M 上的二元运算.
（ ）7. f 是A 到A 的单射，则f 有唯一的逆映射1-f .
（ ）8. 如果循环群>=<a G 中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构.
（ ）9. 如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群.
（ ）10. 群G 的子群H 是正规子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,.
（ ）11. 阶为两个互异素数乘积的交换群一定是循环群．
（ ）12. 集合A 的一个关系可以决定A 的一个分类． （ ）13. 有限群G 的任一元素的阶整除G 的阶．
（ ）14. 整数集按照普通乘法可以构成一个群.
（ ）15. 循环群=G ﹤a ﹥中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构． （ ）16. 有限群G 的任一子群N 的阶都能整除G 的阶．
（ ）17. G 是一个群，N 是G 的正规子群，则G a ∈∀与N 中元素相乘可交换． （ ）18. 在一个群G 中，消去律不一定成立.
（ ）19. 任何一个-k 循环置换的阶是k .
（ ）20. 集合A 的一个分类决定A 的元间的一个等价关系；反之，集合A 的元间的一个等价关
系也决定A 的一个分类.
（ ）21．阶为素数的群一定是循环群，循环群的阶也一定是素数. （ ）22．群G 的子群H 在G 中的指数为2，则H 一定是G 的正规子群. （ ）23．设φ为集合A 到A 的满射，则：若S 是S 的逆象,S 一定是S 的象;若
S 是S 的象，S 也一定是S 的逆象. （ ）24．N 是群G 的正规子群，H 是N 的正规子群，则H 是群G 的正规子群. （ ）25．一个群同它的每一个商群同态.
（ ）26．一个群G 的子群H 的左陪集个数和右陪集个数不一定相同. （ ）27．群G 的两个正规子群的交集还是正规子群.
（ ）28．循环群的子群也一定是循环群. （ ）29．全体有理数作成的集合对于普通乘法来说做成一个群.
（ ）30. 设G 为群，它的两个正规子群的交和乘积还是正规子群.
（ ）31. 一个循环群一定是一个交换群.
（ ）32. 一个群的两个不同的子集一定不会生成相同的子群.
（ ）33. 有理数加群与非零有理数乘群同构.
（ ）34. 无限循环群可与任何循环群同构.
（ ）35. 设ϕ是集合X 到集合Y 的任意一个映射,A 为X 的非空子集,则
A A =-))((1ϕϕ.
（ ）36. 设ϕ是集合X 到集合Y 的任意一个映射,B 为Y 的非空子集,则
B B =-))((1ϕϕ.
（ ）37. 设ϕ是集合X 到集合Y 的任意一个映射,A ，B 为X 的两个非空子集,则
)()()()2();()()()1(B A B A B A B A ϕϕϕϕϕϕ⋂⊆⋂⋃=⋃.
（ ）38. G 为一个群,G b G a ∈∈,为有限阶元,ba ab =,则b a ab ≤.
（ ）39. G 为交换群,且G 中所有元素有最大阶m ,则G x ∈∀有e x m .
（ ）40. G 为一个群, G b G a ∈∈,为有限阶元,则ab 为有限阶元.
（ ）41. 在一个有限群里,阶大于2的元素个数必为偶数.
（ ）42. 偶数阶群必有2阶元.
（ ）43. 设C B A ,,是群G 的3个子群,则AC AB C B A ⋃=⋃)(.
（ ）44. 设C B A ,,是群G 的3个子群,则AC AB C B A ⋂=⋂)(.
（ ）45. 交换群中所有有限阶元作成一个子群.
（ ）46. 群G 中所有有限阶元作成一个子群.
（ ）47. 任何群都不能是两个真子群的并.
（ ）48. 任何群都不能是三个真子群的并.
（ ）49. 有限群的元素的阶都有限.
（ ）50. 无限群至少有一个无限阶元.
（ ）51. 集合M 的变换群G 含有M 的单射变换,则G 必为双射变换群.
（ ）52. 集合M 的变换群G 可能既含有M 的双射变换,又含有M 的非双射变换.
（ ）53. 2≥M ,集合M 的全体非双射变换关于变换的乘法作成一个变换群.
（ ）54. 互不同构的n 阶群只有有限个.
（ ）55. 不相连的置换相乘可交换.
（ ）97. 置换))((32121i i i i i 的阶为6]3,2[=.
（ ）56. 当3≥n 时,n 次对称群n S 为无中心群.
（ ）57.G 为一个群,,...},,{,c b a A G H =≤为G 关于H 的一个左陪集代表系,则A 也是G 关于H
的一个右陪集代表系.
（ ）58.设G 为一个群,,,G K G H ≤≤):(),:(K G H G 有限，则
（ ）59.设G 为一个有限群,},{,,e K H G K G H =⋂≤≤则K H HK =.
（ ）60.G 为n 阶群,n k ,则G 必有k 阶子群.
（ ）61.pq 阶(q p ,为互异素数)交换群必为循环群.
（ ）62.设ϕ为群G 到G 的同态满射,G a ∈与G a ∈)(ϕ有相同的阶.
（ ）63.设G 与G 各有一个代数运算,且G ～G , G 是群,则G 也是群.
（ ）64.素数阶群是单群.
（ ）65.设ϕ是群G 到群G 的一个同态映射,G H ≤,则H H =-))((1ϕϕ.
（ ）66.设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射,则G 的含ϕker 的子群与G 的子群之间存在一一对
应关系.
（ ）67.任意一个无限集合可以与它的一个真子集之间建立一一对应关系.
（ ）68.存在有限集合可以与它的一个真子集之间建立一一对应关系.
（ ）69.两个有限集合之间存在双射的充要条件是它们的元素个数相等.
（ ）70.设G 为群，它的两个子群的交和乘积还是子群.
（ ）71.有限群中每个元素的阶都有限，无限群中必有无限阶元.
（ ）72.一个置换群中要么都是偶置换，要么奇偶置换各半.
（ ）73.设G G ,是两个群，且G ～G ，如果G 是有限群，则G 必是有限群，而且G 整除G . （ ）74. 整数加群和它的任意一个非零子群同构.
（ ）75.在同构意义下,无限循环群只有一个.
（ ）76.在同构意义下,n 阶循环群只有一个.
环与域复习题
一、填空题
1. 模12的剩余类环Z 12的特征是_______，它的全部单位为___________.
2. 设R 是有单位元的环,a 是R 中任一元素, 则由a 生成的主理想<a > =_____.
3. 模8的剩余类环8Z 上的二次多项式12-x 在8Z 内的所有根为____________.
4. 设R 是交换环，a 是R 的任意一个元素，则由a 所生成的主理想<a >的元素表达形式为______.
5. 设高斯整数环{}Z b a bi a i Z ∈+=,][，其中2i ＝－1，则][i Z 中的所有单位______.
6. 设Z 6＝{5,4,3,2,1,0}是模6的剩余类环，则Z 6中的所有零因子是_____.
7.若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么I
R 是一个域当且仅当I 是 .
8. 设R 是一个无零因子的环，其特征n 是一个有限数，那么n 是______.
9. 除环的理想共有____________个.
10．一个无零因子的 称为整环.
11. 设][x Z 是整系数多项式环，><x 是由多项式x 生成的主理想，则><x ＝_ _.
12. 设F 是一含有4个元的域，则F 的特征是 .
13. 剩余类环Z 6的子环S ={0, 2, 4}的单位元是____________.
14. 一个环R 的一个不等于R 的理想U 叫做一个 ，假如除了R 同U 自己外，没有包含
U 的理想.
15. 一个交换除环叫做一个 .
16. 实数域R 的全部理想是 .
17. 一个环R 的非空子集S 做成一个子环的充分必要条件 .
18. 剩余类环Z 7的零因子个数等于__ __， Z 12的零因子个数等于____________.
19. 当R 是有单位元的交换环时,R a ∈生成的主理想><a = .
20．整环R 的一个元ε叫做R 的一个 ，假如ε是一个有逆元的元.
21．一个整环I 叫做一个 ，假如I 的每一个理想都是一个主理想.
22．设R 为环，R b a ∈,，0,0≠≠b a ，且0=ab ，则a 叫做环R 的 ，b 叫做环R 的
___________________.
25. 一个无零因子环R 的非零元相同的（对于加法）阶，叫做环R 的 . .
26. 设F 是一个含有2p 个元的域，则F 的特征是 .
27. 剩余类环6Z 的子环S ={3,0},则S 的单位元是____________.
28. R 是一个特征为p 的环，,a b R ∈,则()p a b +=____________.
29. R 是一个单环，则R 有 时，R 是一个域.
30. N 是环R 的理想，R N 是单环的充分必要条件是 . 31. R 是有单位元的整环, ，则R 有子环与整数环同构； ，则R 有子环与模p 剩余类环同构。

32. R 是一个无零因子环，2R k =，则R 的特征必为____________.
二、选择题
1. 下列集合关于所给的运算不作成环的是（ ）.
A ）整系数多项式全体][x Z 关于多项式的加法与乘法;
B ）有理数域Q 上的n 阶矩阵全体n n Q ⨯关于矩阵的加法与乘法;
C ）整数集Z 关于数的加法和新给定的乘法“ ”：∀0,,=∈n m Z n m ;
D ）整数集Z 关于数的加法和新给定的乘法“ ”： ∀1,,=∈n m Z n m .
2. 设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列结论错误的为（ ）.
A) 若a 是零元，则b 是零元； B) 若a 是单位元，则b 是单位元；
C) 若a 不是零因子，则b 不是零因子；D) 若2R 是不交换的，则1R 不交换.
3. 整数环Z 中，可逆元的个数是( ).
A) 1个 B) 2个 C) 4个
D) 无限个.
4. 设F 是一个四元域, 则域F 的特征为( ).
A) 1 B) 2 C) 4 D) 0.
5.下面的四个群中,不是循环群的是( ).
A) 模12的剩余类加群; B) 整数加群; C) U(Z 17); D) U(Z 8).
6. 下面哪一个环必定是域( ).
A) 整数环; B) Z 37; C) Z 10; D) 四元数除环.
7. 模10的剩余类环10Z 上二阶全阵环)(102z M 中以下元素可逆的是（ ）． A) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5375； B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7857； C) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3327； D)⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛2325． 8. 以下命题中，正确的是( ).
A) 任意一个环R ，必含有单位元;
B) 环R 中至多有一个单位元;
C) 环R 有单位元，则它的子环也有单位元;
D) 一个环与其子环都有单位元，则两个单位元一定相同.
9.下列理想不是偶数环R 的素理想的是（ ）
A)〈4〉; B)〈6〉; C)｛0｝; D) R .
10.下列命题正确的个数为（ ）
A)1; B)2; C)3; D) 4.
①整数环Z 的非平凡素理想都是极大理想；
②整数环Z 上的一元多项式环[]Z x 的非平凡素理想都是极大理想；
③数域F 上的一元多项式环[]F x 的主理想〈x 〉是极大理想；
④R 是一个有单位元的交换环，N 是R 的理想，R N
是域，则N 是R 的极大理想.
三、判断题 （ ）1. 除环是单环.
（ ）2. 有限除环必为域.
（ ）3. 一般的环R 中以下运算规则成立：R b a b ab a b a ∈∀++=+,,2)(222.
（ ）4. 域和其子域有相同的单位元.
（ ）5. 除环R 是无零因子环.
（ ）6. 如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠.
（ ）7. 若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子.
（ ）8．一个环的理想必是一个子环，子环未必是理想.
（ ）9．一个环没有零因子，则它的同态象也没有零因子． （ ）10．一个环R 有单位元，则它的子环也有单位元． （ ）11．如果环R 没有右零因子，则在环R 上左消去律成立． （ ）12．N 是环R 的理想，I 是N 的理想，则I 必是环R 的理想． （ ）13．R 是整数环，R 的理想{}R r r ∈4等于由4生成的主理想﹤4﹥． （ ）14．如果环R 没有左零因子，则在环R 上右消去律成立． （ ）15．一个环R 的两个子环S 都有单位元，则它们的单位元必定一致． （ ）16．域{}Q b a bi a i Q ∈+=,）（与域{}
Q b a b a Q ∈+=,22）
（同构． （ ）17．R 是偶数环，R 的理想{}R r r ∈4等于由4生成的主理想〈4〉. （ ）18．设R 是整数环，则<2，x >是[]x R 的一个主理想． （ ）19．设R 是有理数环，则<2，x >是[]x R 的一个主理想． （ ）20．除环F 的所有非零元集关于F 的乘法构成一个群． （ ）21. 设R 为整数环，p 为素数，则><p R 为域. （ ）22. 若无零因子环R 的特征是有限整数n ，则n 一定是素数.
（ ）23. 除环或域里一定没有零因子. （ ）24. 一个除环一定是一个整环. （ ）25. 一个环R 中可能没有单位元，但若有单位元，则单位元必是唯一的.
（ ）26. 若有单位元(0≠)的交换环R 除了零理想同单位理想以外没有其它的理想，那么R 一
定是一个域． （ ）27. ><x 是][x Q 的极大理想.
（ ）28. ><x 是][x Z 的极大理想.
（ ）29.R 是有单位元的交换环,则n n R ⨯中方阵A 在n n R ⨯中可逆的充要条件是A 在R 中可逆.
（ ）30.R 是有单位元的环,1是R 的单位元,则1对加法的阶数就是R 的特征.
（ ）31. 设R 是一个环,2≥R ,对0,,≠∈∀a R b a ,方程b ax =在R 中有解,则R 为一个除环.
（ ）32.设R 是有单位元的环,且2≥R ,则R 是单环的充要条件是全阵环n n R ⨯ 是单环.
（ ）33.R 为偶数环,><4是R 的极大理想,从而><4R 是一个域.
（ ）34.R 为偶数环,R 的极大理想只有p p ,2><为素数.
（ ）35.R 为偶数环,R 的素理想只有R ,0和><4.
（ ）36.整数环的每个理想都是主理想.
（ ）37.域上的多项式环的每个理想都是主理想.
（ ）38.整数环上的多项式环的每个理想都是主理想.
（ ）39.一个环与它的子环都有单位元，则它们的单位元一致. （ ）40.一个域和他的子域有相同的单位元.
（ ）41.一个环的同态象没有零因子，则这个环没有零因子.
（ ）42.有限环的特征必有限，无限环的特征必无限.
（ ）43.R 是一个有单位元的交换环，n n R A ⨯∈，当0≠A 时，A 可逆.
（ ）44. 整数环和它的任意一个非零子环同构. （ ）45. 剩余类环6Z 的子环S ={3,0}是有单位元的环.
（ ）46.在[]16Z x 中, 因为24x -(2)(2)x x =-+, 所以24x -只有两个根2,2-.
（ ）47.有单位元交换环的极大理想必为素理想.
（ ）48. 域F 的所有非零元集合关于F 的乘法构成一个交换群．
（ ）49.环R 的中心必是环R 的理想.
（ ）50．一个域不一定是一个整环. （ ）51．域F 的所有非零元集合关于F 的乘法构成一个交换群． （ ）52．除环F 的所有非零元集关于F 的乘法构成一个群． （ ）53. 当3≥n 时,n 次交代群n A 是一个2-n 重传递群.
（ ）54.循环群的同态象必为循环群，循环环的同态象必为循环环.
（ ）55. 设G G ,是两个群，φ是G 到G 的同态满射，则G 与G 的子群之间可以建立保持包含关
系的双射.
回答说明题
（下列题均需给出肯定或否定的回答，并说明理由或给出反例）
1.设X 、Y 都是有理数集合，法则:b a b a
ϕ→+是否X 到Y 的映射？
2.X 是数域F 上全体n 阶方阵做成的集合，C 为F 上一个取定的可逆n 阶方阵，法则1()A CAC τ-=是否X 的双射变换？
3.X 是数域F 上全体n （＞1）阶方阵做成的集合，法则:A A ϕ→是否X 到Y 的满射？
4.X 是数域F 上全体n 阶方阵做成的集合，法则A B A B =是否X 的满足结合律的代数运算？
5.集合M 的变换的乘法是否满足交换律？
6.设(,),(,)M M 是两个代数系统且M M ,当满足交换律时，是否也满足交换律？
7.设(,),(,)M M 是两个代数系统且M M ,当满足交换律时，是否也满足交换律？
8. 设X 是有理数集合，X 的关系aRb a b Z ⇔+∈是否X 的等价关系？
9. 设X 是实数集合，X 的关系0aRb ab ⇔≥是否X 的等价关系？
10.ϕ是集合X 到集合Y 的映射，,A B 分别是X 、Y 的非空子集合，1(())A A ϕϕ-=是否一定成立？
11.ϕ是集合X 到集合Y 的映射，,A B 分别是X 、Y 的非空子集合，1(())B B ϕϕ-=是否一定成立？
12.,στ分别是集合A 到B 和集合B 到C 的映射，τσ是满射，τ是否一定是满射？
13.,στ分别是集合A 到B 和集合B 到C 的映射，τσ是单射，σ是否一定是单射？
14.G 为一个有限半群且在G 两个消去律成立，G 是不是一个群？
15.G 为一个群，它的每个元素都满足方程2x e =，G 是一个交换群吗？
16.G 为一个有限群，它的每个元的阶是否都有限？
17.G 为一个无限群，它是否必有无限阶元？
18.G 为一个群，G 的中心()C G 是否一定是一个子群？
19.G 为一个群，,,A B C 是G 的三个子集合，()()()A B C AB AB ⋃=⋃是否成立？
20.G 为一个群，,,A B C 是G 的三个子集合，()()()A B C AB AB ⋂=⋂是否成立？
21.,a b G ∈均为有限阶元，ab 是否为有限阶元？
22.G 为一个偶数阶群，G 是否一定有一个2阶元？
23.G 为一个群，它能否表成它的两个真子群的并？
24.G 为一个群，,H K 是它的两个子群，HK 是否G 的子群？
25.G 为一个群，,H K 是它的两个正规子群，HK 是否G 的正规子群？
26.设N 是G 的正规子群，N n G a ∈∈∀,，是否一定有an na =成立？
27.设G 的阶数为n ，k 为n 的因数，G 是否一定存在k 阶子群？
28.G 为集合M 的变换群，如果G 含有M 的单射变换，它是否必为双射变换群？
29.G 为集合M 的变换群，如果G 含有M 的满射变换，它是否必为双射变换群？
30.循环群的子群是否循环群？
31.循环群的商群是否循环群？
32.循环群的同态象是否循环群？
33.{},,,A a b c =是群G 关于子群H 的左陪集代表系，它是否也是群G 关于子群H 的右陪集代表系？
34.循环置换乘积的阶是否为各因子的阶的最小公倍数？
35.指数为2的子群是否一定是正规子群？
36.G 为一个群，H 是它的子群，b aH ∈，是否一定有aH bH =
37.设,p q 是两个素数且p q <，pq 阶群最多有一个q 阶子群吗？
38.设,p q 是两个素数且p q <，pq 阶交换群一定是循环群吗？
39.在群的同态映射下，一个元素与它的同态象的阶数是否一定相等？
40.四阶群G 不是循环群，它一定与Klein 四元群同构吗？
41.正规子群的正规子群还是原群的正规子群吗？
42.阶为素数的群一定是单群吗？ 43.,G G 是两个有限群，G G ,G 的阶数是否一定是G 的阶数的因数？
44.一个环的左单位元一定是单位元吗？
45.一个环没有单位元，它的子环是否也没有单位元？
46.一个环的两个子环都有单位元，它们的单位元是否一定相等？
47.环R 上的n 阶方阵A 的行列式不为零，A 是否一定可逆？
49.有限无零因子环的特征一定是素数吗？
50.一个有单位元的环的特征一定等于单位元关于加法的阶数吗？
51.除环中有零因子吗？
52.环R 有零因子，它的同态象一定有零因子吗？
53.环R 没有零因子，它的同态象一定没有零因子吗？
54.模47的剩余类环47Z 有没有零因子？
55.域{}(),Q i a bi a b Q =+∈与域{}
,Q a b Q =+∈是否同构？
56.整数环与偶数环是否同构
57.两个n 阶循环环是否一定同构？
58.一个环的子环是否一定是它的理想？
59.理想的理想是否一定是原环的理想？
60.含有单位的理想一定是单位理想吗？
61.整数环是主理想环吗？
62.整数环上的一元多项式环是主理想环吗？
63.数域上的一元多项式环是主理想环吗？
64.由素数p 生成的理想是整数环的素理想吗？
65.由素数p 生成的理想是整数环的极大理想吗？
66.环R 是一个有单位元的可换环，如果还R 是单环，它一定是一个域吗？
67.设{}5,4,3,2,1,06=Z 是模6的剩余类环，且[]x Z x g x f 6)(),(∈. 如果)(x f 的次数记作))((x f ∂，
))()((x g x f ∂ ))(())((x g x f ∂+∂=是否成立？
68.设Z 是整数环，<2>∪<3>是Z 的理想吗？
69.环R 上的n 次多项式的根的个数不超过n 吗？
70.高斯整环[]{},Z i a bi a b Z =+∈的单位只有1,i ±±吗？。