三角恒等变换教案设计

教学过程

一、课堂导入

思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.

思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.

二、复习预习

复习三角函数值的计算及诱导公式（一）-（六）。

απαsin )2sin(=+k ， απαcos )2cos(=+k ， α

παtan )2tan(=+k （公式一） ， ， （公式二）

， ， （公式三）

ααπsin sin(=-） ， ααπ-cos cos(=-）， ααπtan tan(-=-） （公式四）

（公式五） （公式六）

三、知识讲解

考点1两角和的正弦、余弦、正切公式

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ

--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=

- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．

考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式

⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122α

ααα=-=+

⇒降幂公式2cos 21

cos 2αα+=，21cos 2sin 2α

α-=．

⑶22tan tan 21tan α

αα=-．

2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :222αααααα万能公式+-=+=

考点3 辅助角公式

把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =

A

．

四、例题精析

考点一 两角和的正弦、余弦、正切公式

例1已知α∈(4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4

π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．

【规解答】

∵α－4π＋43π＋β＝α＋β＋2π

，α∈(43,4ππ) β∈(0,1sin 311≤-≤-x ) ∴α－4π∈(0,2π) β＋43π∈(4

3π,π)∴sin(α－4π)＝54 cos(βπ+43)＝－1312 ∴sin(α＋β)＝－cos[2π＋(α＋β)]＝－cos[(α－4π)＋(βπ+4

3)]＝6556 【总结与反思】这道题主要考察了诱导公式及两角和的余弦公式，先通过诱导公式的变形然后带入余弦公式即可。

例2计算sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为()．

A．－

2

2 B.

2

2 C.

3

2D．1

【规解答】原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝2

2. 【总结与反思】本题考察了两角差的正弦公式，带入公式即可。

考点二二倍角公式的应用例3化简

【规解答】切化弦，合理使用倍角公式．原式＝

＝＝＝12cos 2x .

【总结与反思】

三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；

(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．

例4 化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)

sin 2α.

【规解答】原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2－2sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2＋2sin 2α24sin α2cos α2cos α

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2sin α2cos α2cos α

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2cos α＝cos αsin α2cos α2

cos α＝tan α2. 【总结与反思】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；

(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．