【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 第一章 常用逻辑用语综合检测 北师大版选修1-1

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第一章 常
用逻辑用语综合检测 北师大版选修1-1
(时间120分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知命题p ：所有的有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是( )
A ．(綈p )或q
B ．p 且q
C ．(綈p )且(綈q )
D ．(綈p )或(綈q )
【解析】 不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而只有(綈p )或(綈q )为真命题．故选D.
【答案】 D
2. (2012·杭州高二检测)下列说法错误的是( )
A ．如果命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题
B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”
C ．若命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋2x 0－3<0，则綈p ：对任意的x ∈R ，x 2＋2x －3≥0
D ．“sin θ＝12
”是“θ＝30°”的充分不必要条件 【解析】 对于D 选项，由sin θ＝12
，得θ＝30°＋k ·360°或θ＝150°＋k ·360°(k ∈Z )；若θ＝30°，则sin θ＝12.所以“sin θ＝12
”是“θ＝30°”的必要不充分条件． 【答案】 D
3. (2013·福建高考)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0, 即点P (2，－1)在直线l 上．点P ′(0，1)在直线l 上，但不满足x ＝2且y ＝－1，
∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P (x ，y )在直线l 上”的充分而不必要条件．
【答案】 A
4. 命题“若函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数，则log a 2<0”的逆
否命题是( )
A ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数
B ．若log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数
C ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数
D ．若log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数
【解析】 根据逆否命题与原命题的关系即可选出A 项正确．
【答案】 A
5. 以下四个命题中，是假命题的为( )
A ．“直线a ，b 是异面直线”的必要不充分条件是“直线a ，b 不相交”
B ．“直线a ∥直线b ”的充要条件是“直线a ，b 与同一平面α所成的角相等”
C ．“直线a ⊥直线b ”的充分不必要条件是“a 垂直于b 所在的平面”
D ．“直线a ∥平面α”的必要不充分条件是“直线a 平行于平面α内的一条直线”
【解析】 如正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等，但任意两条侧棱都不平行．
【答案】 B
6. 使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( )
A ．x <0
B ．x ≥0
C ．x ∈{－1，3，5}
D ．x ≤－12或x ≥3 【解析】 ∵2x 2－5x －3≥0，
∴(x －3)(2x ＋1)≥0.
∴x ≤－12
或x ≥3. 而{－1，3，5}{x |x ≤－12
，或x ≥3}． 【答案】 C
7. 若命题“若p ，则q ”为真，则( )
A ．q
p B ．綈p q C ．綈q p D ．綈q p
【解析】 由原命题和它的逆否命题为等价命题知选C.
【答案】 C
8. 由下列各组命题构成“p 或q ”“p 且q ”“綈p ”形式的命题中，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“綈p ”为真的是( )
A ．p ：3是偶数；q ：4是奇数
B ．p ：3＋2＝6；q ：5>3
C ．p ：a ∈{a ，b }；q ：{a }{a ，b }
D ．p ：Q R ；q ：N ＝Z
【解析】 由题意可知p 为假q 为真，故只有选项B 满足题意．
【答案】 B
9. 给出下列命题，其中真命题为( )
A ．对任意x ∈R ，x 是无理数
B ．对任意x ，y ∈R ，若xy ≠0，则x ，y 至少有一个不为0
C ．存在实数既能被3整除又能被19整除
D ．x >1是1x
<1的充要条件 【解析】 选项A 为假命题，例如4是有理数；选项B 是假命题，若xy ≠0，则x ，y
全都不为0；选项C 是真命题；选项D 中，x >1是1x
<1的充分不必要条件． 【答案】 C
10. 对任意x ∈R ，kx 2
－kx －1<0是真命题，则k 的取值范围是( )
A ．－4≤k ≤0
B ．－4≤k ＜0
C ．－4<k ≤0
D ．－4<k <0 【解析】 k ＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧k <0，k 2＋4k <0，解得－4＜k ≤0. 【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11. 命题p ：内接于圆的四边形对角互补，则p 的否命题是________，非p 是________．
【解析】 否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论．
【答案】 若四边形不内接于圆，则其对角不互补 内接于圆的四边形对角不互补
12. 已知p ：x 2
－x ≥6，q ：|x －2|≤3，且“p 且q ”与“綈q ”同时为假命题，则实数x 的取值范围为________．
【解析】 若p 真，则x ≥3或x ≤－2；若q 真，则－1≤x ≤5.
∵“p 且q ”与“綈q ”同为假命题，∴q 为真命题，p 为假命题，
∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3，－1≤x ≤5，即－1≤x <3. 【答案】 [－1，3)
13. 已知命题：“存在x ∈[1，2]，使x 2
＋2x ＋a ≥0”为真命题，则a 的取值范围是________．
【解析】 由x 2＋2x ＋a ≥0得a ≥－x 2－2x ，
由题意知a ≥(－x 2－2x )min ，
又－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1，x ∈[1，2]，
∴(－x2－2x)min＝－8.
∴a≥－8.
【答案】[－8，＋∞)
14. 如果p：a＋b≠5，q：a≠2或b≠3，则p是q的______条件．
【解析】命题“如果a＋b≠5，
那么a≠2或b≠3”的逆否命题为“如果a＝2且b＝3，那么a＋b＝5”，
显然是真命题，
∴p q，
即有：p是q的充分条件．
同理：p不是q的必要条件，
∴p是q的充分条件，但不是必要条件．
【答案】充分不必要
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (12分)写出下列命题的否定形式“綈p”，并判断它们的真假．
(1)p：对任意的x，x2＋4x＋4≥0；
(2)p：存在x，x2－4＝0.
【解】(1)綈p：存在x，x2＋4x＋4<0.
因为x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0恒成立，
所以“綈p”为假命题．
(2)綈p：对任意的x，x2－4≠0，
因当x＝2时，22－4＝0，
所以“綈p”为假命题．
16. (12分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的命题，并判断它们的真假．
(1)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相平分．
(2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同；q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．
【解】(1)p或q：平行四边形的对角线相等或互相平分；
p且q：平行四边形的对角线相等且互相平分；
綈p：平行四边形的对角线不相等．
由于p假q真，
所以p或q真，p且q假，綈p真．
(2)p或q：方程x2－16＝0的两根符号不同或绝对值相等；
p且q：方程x2－16＝0的两根符号不同且绝对值相等；
綈p：方程x2－16＝0的两根符号相同．
由于p 真q 真，所以p 或q 为真，p 且q 为真，綈p 为假．
17. (12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝aq n
＋b (a ，b ，q 都是常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1)．求证：数列{a n }是等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.
【证明】 (1)充分性：由已知，得S n ＝aq n ＋b .∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，∴S n ＝aq n －a . 当n ＝1时，a 1＝S 1＝aq 1－a ＝a (q －1)．
当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －a －(aq
n －1－a )＝aq n －aq n －1＝a (q －1)q n －1. 显然a 1＝a (q －1)满足上式，故n ∈N *时，a n ＝a (q －1)q n －1
. 所以{a n }是以a 1＝a (q －1)为首项，以q 为公比的等比数列．
(2)必要性：因为数列{a n }是等比数列，设首项为a 1，公比为q (q ≠1)．
所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－q
q n ，对比式子S n ＝aq n ＋b 可知， a ＝－a 1
1－q ，b ＝a 1
1－q ，∴a ＋b ＝0. 综合(1)(2)知，{a n }是等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.
18. (14分)已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若条件p 是条件q 的充分条件，求实数a 的取值范围．
【解】 A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}．
①当3a ＋1≥2，即a ≥13
时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； ②当3a ＋1<2，即a <13
时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}． ∵p 是q 的充分条件，
∴A
B ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥13
，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2， 或⎩⎪⎨⎪⎧a <13
，a 2
＋1≤2，2a ≥3a ＋1， 解得1≤a ≤3，或a ＝－1.
故a 的取值范围为{a |1≤a ≤3，或a ＝－1}．。