15导数的概念及计算

导数的概念及计算
一、知识概述
导数的概念及其基本运算是本周学习的重点内容，导数有着丰富的实际背景和广泛应用，通过对平均变化率的分析入手，层层深入,展现了从平均变化率到瞬时变化率的过程,指明了瞬时变化率就是导数，介绍了导数的一般定义．并借助函数图象,运用观察与直观分析阐明了曲线的切线斜率和导数间的关系．导数的计算主要包括两个方面，首先是几个常见函数的导数，然后是基本初等函数的导数公式和导数的运算法则,关键在于使用这些公式与法则求简单函数的导数．
二、重难点知识归纳
1．变化率与导数
(1）平均变化率
通常把式子称为函数f(x）从x1到x2的平均变化率．
令，,
则平均变化率可表示为
(2）导数的概念
一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
则称它为函数y=f(x）在x=x0处的导数（derivative)，记作或,即
当x变化时，便是x的一个函数,则称它为f(x)的导函数(derivative funtion）（简称导数），记作或,则．
（3)注意事项：
弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系，可以从以下几个方面来认识．
①函数在一点处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数．
②导函数（导数）是一个特殊的函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想，对于每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数，根据函数的定义，在某一区间内就构成了一个新函数,即导数．
③函数y=f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，即
＝．这也是求函数在x=x0处的导数的方法之一．
(4)导数的几何意义
函数y=f（x）在点x0处的导数就是曲线y=f（x）在点处的切线的斜率k，即．
2．导数的计算
(1)基本初等函数的导数公式
①若f(x)=c，则；
②若，则;
③若f（x）sinx，则；
④若f（x)=cosx，则；
⑤若f（x）,则(a>0）;
⑥若f（x），则；
⑦若f（x），则(a〉0，且a1）;
⑧若f（x），则.
（2)导数运算法则
①；
②；
③
(3)复合函数的求导法则(难点）
设函数在点x处有导数，函数y=f（u）在点x的对应点u处有导数或写作．
复合函数求导法则:复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数,即．
三、典型例题剖析
例1．利用导数的定义，求出函数y=x＋的导数,并据此求函数在x=1处的导数．
［解析］
例2．求等边双曲线在点处的切线斜率，并写出切线方程.
[解析］
例3．设f(x）是定义在R上的函数，且对任何x1，x2R都有f(x1＋x2）=f(x1)·f（x2）.若f(0）0，。

（1）求f(0）的值；
（2)证明:对任何x R，都有.
［解析］
例4．求下列函数的导数：
(1)；
(2);
(3)；
（4)．
[解析]
例5．求下列函数的导数:
（1)；
(2);
(3);
(4）。

[解析]
例一解析:利用导数的定义，结合求函数的导数的方法步骤进行计算．
，
从而．
总结：求函数y=f（x）的导数可分如下三步：
（1）求函数的增量；
（2)求函数的增量与自变量的增量的比值；
（3）求极限,得函数．
例二解：函数f（x)图象上点P处的切线方程的求解步骤：先求出函数在点处的导数（即过点P的切线的斜率），再用点斜式写出切线方程.
，
切线的斜率，
切线方程为y－2=－4（x－)，即4x＋y－4=0。

注:求导数也可以直接用公式，这里只是说明公式的推导过程.
例三解析:本题主要考查用导数的定义求函数的导数的方法，以及函数极限的运算。

(1）对任意都成立,
令,得f(0)=f2（0）．
．
（2),
对任何x R，都有．
例四解析：这些函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数,求导时，可直接利用四则运算法则和基本初等函数的导数公式求导．
(1）
（2）解法一:
解法二：
．
(3）
．
（4)，
．
例五解析：应用指数、对数函数的求导公式，结合函数四则运算的求导法则及复合函数的求导法则进行求导.
（1)
(2) 设,
则．
（3)
(4）方法一：
方法二：
．
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一、选择题
1．若函数f（x)=2x2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点，则（)
A．4B．4x
C．4＋2D．4＋2
2．物体运动方程为,则t=5时的瞬时速度为（)
A．5B．25
C．125D．625
3．设，则曲线y=f(x)在点处的切线（）
A．不存在B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直D．与x轴斜交
4．曲线在点(1，－1）处的切线方程为（）
A．y=3x－4B．y=－3x＋2
C．y=－4x＋3D．y=4x－5
5．与直线2x－y＋4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是（）
A．2x－y＋3=0B．2x－y－3=0
C．2x－y＋1=0D．2x－y－1=0
6．设f（x）=（2x+5）6，在函数中，x3的系数是（）
A．2000B．12000
C．24000D．非以上答案
7．设,则等于()
A．0B．
C．D．
8．函数y=cos(cosx）的导数为（）
A．=［sin(cosx）］sinx B．=－［sin(cosx)］sinx
C．=［cos（sinx)]sinx D．=－cos(sinx）
9．设f（x）＝且,则a的值为（）
A．1B．2
C．D．0
10．则等于（)
A．B．
C．D．
重 做提 示
B卷
二、填空题
11．若曲线f（x)=－x在点Ｐ处的切线平行于直线3x－y=0，则Ｐ点的坐标是________。

12．设,则不等式的解集为_________．
13．设f（x）=,且,则a=______，b＝______。

14．若曲线与直线y=3x＋1相切，则常数a的值为_________。

[答案]
三、解答题
15．求曲线y=cosx在点A处的切线方程．
［答案］
16．已知曲线，直线,且直线l与曲线C相切于点求直线l的方程及切点方程．
［答案］
17．直线l与m都是抛物线的切线，l过点P(3,2）且斜率小于１，，求l，m的直线方程．
［答案]
18．求下列函数的导数：
（1);
（2）．
[答案]
第1题答案错误! 正确答案为 C
第2题答案错误! 正确答案为 C
第3题答案错误! 正确答案为 B
第4题答案错误! 正确答案为 B
第5题答案错误！正确答案为 D
第6题答案错误！正确答案为 C
第7题答案错误！正确答案为 C
第8题答案错误! 正确答案为 A
第9题答案错误! 正确答案为 B
第10题答案错误！正确答案为 D
提示:
1．解析：．
2．解析:．
3．解析：,即切线的斜率为０．
4．解析：本题主要考查导数的几何意义．由题意可知，当x=1时，则过点(1，－1)的切线方程为y＋1=－3(x－1)，即为y=－3x＋2．
5．解析:由题意可知上的点为(1，1)，则所求的切线方程为y－1=2（x－1),即为2x－y－1=0．
6．解析:，根据二项式定理，则含有x3项为
．
7．解析：，．
8．解析:．
9．解析：，又．
可得，解得a=2．
10．解析：．
答案：
11．（1，0）．
12．（－1，3)．
13．a=0，b=－1．
14．．
15．解：,,
在点Ａ处的切线方程为．
16．解：直线l过原点，则，
由点在曲线C上，得，
．．又．
整理得．
此时，
因此直线l的方程为,切点坐标为．17．解：,设l与抛物线相切于点Q，
则．
因Q在抛物线上，故．又点P（3,2)，
,即，
于是．当时，；
当时，（舍去）．
则l的方程为，即x－2y＋1=0．
由于,故m的斜率k=－2，从而,
即，所以切点为, 故m的方程为，即16x＋8y＋1=0．18．解:
（1)
(2）设则
．
高考解析
1.（2009年全国卷)已知直线y=x＋1与曲线y=ln(x＋a)相切，则a的值为()
A．1B．2C．－1D．－2
答案：B
解析：
对y=ln（x＋a）求导得,
设切点为（m，n)，则切线斜率为=1，m＋a=1,
n=ln（m＋a）=ln1=0,
再由（m,n)在直线y=x＋1上得m=－1,
从而得a=2。

故选B.
2.（2009年湖北卷)已知函数f（x）=cosx＋sinx,则f()的值为_______. 答案：1
解析:
从而有
3．（湖北省高考试题）某日中午12时整，甲船自A处以16km/h的速度向正东行驶,乙船自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间的距离对时间的变化率是________km/h．
解析：
本题主要考查导数的几何意义，设时刻t时，甲到C处,乙到D处，此时两船的距为y，则
,
两边同时求导可得
答案：－1.6
4．(全国高考试卷III试题)已知直线为曲线在点(1，0)处的切线，为该曲线的另一条切线，且。

（1)求直线的方程；
（2）求由直线，和x轴所围成的三角形的面积．
解析:
本题主要考查导数的几何意义、两条直线垂直的性质，以及分析问题和综合运算的能力．解答本题的思路是：先利用导数的几何意义求出切线的方程,然后利用斜率之积等于－1求出的方程．
（1）,则直线的方程为y=3x－3．
设直线过曲线上的点Ｂ，则的方程为y=（2b+1)x －b2－2．
因为,则有2b+1=，b=,所求直线的方程为．
(2）解方程组得，
所以直线和的交点坐标为．
直线，与x轴的交点坐标分别为(1，0)，,
所以所求三角形的面积为S=．。