2020-2021学年广东省深圳实验学校高中部高二下学期第一阶段考试数学试题 word版

深圳实验学校高中部2020-2021学年度第二学期第一阶段考试
高二数学
时间：120分钟 满分：150分 命题人：曾玉泉
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求.
1．用数字1,2,3组成允许有重复数字的两位数，其个数为( )
A ．9
B ．8
C ．6
D ．5 2．从3名男生与2名女生中选二人去参加同一个会议，要求至少有一名女生，选派的方法数为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．14 3．右图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，若,a b 是某行的前两个数，当7a =时，b =( )
A. 20
B. 21
C. 22
D. 23
4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则()2P X < 等于( ) A ．
115 B ．715 C ．815 D ．14
15
5．如右图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有( ) A ．36种 B ．24种 C ．12种 D ．9种
6．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思 不变，而且颇具趣味.相传清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联： “客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒 读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44,585,2662等；那么用数1,2,3,4,5,6
可以组成4位“回文数”的个数为( )
A ． 30
B ．36
C ．360
D ．1296 7．在561819(1)(1)(1)(1)x x x x -+-++-+-…的展开式中，含3x 的项的系数是( ) A ．3871 B ．3871- C ．4840 D ．4840- 8．224x y +≤表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为( )
A ．256
B ． 258
C ．260
D ．264
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．设随机变量ξ的分布列为()1,2,3,4,55k P ak k ξ⎛⎫
=
== ⎪⎝⎭
，则 ( ) A ．151a = B ．()0.50.80.2P ξ<<= C ．()0.10.50.2P ξ<<= D ．()10.3P ξ== 10．下列等式中，正确的是（ ）
A ．11m m m n n n A mA A -++=
B ．1
1r r n n rC nC --= C ．111111m m m m n n n n C C C C +--+--=++ D ．1
1m
m n n m C C n m
++=
- 11．已知n 为满足123
2727272727C C C C (3)S a a =++++
+能被9整除的正整数a 的最小值，
则1n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 第7项系数最大
B. 第6项系数最大
C. 末项系数最小
D. 第6项系数最小 12．关于多项式6
21x x ⎛-⎫
⎪⎝⎭
+的展开式，下列结论正确的是( )
A. 各项系数之和为1
B. 各项系数的绝对值之和为122
C. 不存在常数项
D. 3x 的系数为40
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知01122
112
C 3C 3C 3
C 3C 2n n n n n n n n n n ---+++++=，则n = .
14．已知随机变量ξ的分布列为：
若(
)
2
3
4
P x ξ≤=
，则实数x 的最小值为________. 15．如右图，机器人亮亮沿着单位网格从A 地移动到B 地，每次 只移动一个单位长度，则亮亮从点A 移动到点B 最近的走法共有 _________种.
16．将5个不同的小球全部放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法.
四、解答题: 本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10分）
有3名男生与4名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数(要求用数字作答). 1）全体排成一排，女生必须站在一起； 2）全体排成一排，男生互不相邻；
3）全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变. 18．（本题满分12分）
4()n x a x
+
的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，且前三项系数成等差数列.
1）求a 的值；
2）若3a <，展开式有多少有理项？写出所有有理项. 19．（本题满分12分）
长方体1111ABCD A B C D -如右图，已知2AB =，11AD AA ==，从该长方体的八个顶点中，任取两个不同的顶点.
ξ
2-
2
3
P
1
4
14
14
a
用随机变量X 表示这两点之间的距离. 1）求随机变量2>X 的概率； 2）求随机变量X 的分布列.
20.（本题满分12分）
现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学（要求用数字作答）. 1）若5本书完全相同，共有多少种分法；
2）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法； 3）若5本书仅有两本相同，按一人3本另两人各1本分配，共有多少种分法.
21．（本题满分12分）
2021年元旦某公司进行抽奖活动，
每位员工抽奖一次.规则如下：在一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、蓝、紫的小球各2个，分别对应1分、2分、3分、4分、5分、6分.员工从袋中一次性任取3个小球，按3个小球中最大得分的6倍计分，计分超过25分即为中奖（中奖者根据得分兑换相应礼品，员工抽完奖球立即放回盒中），每个小球被取出的可能性相等，用ξ表示某员工取出的3个小球中最大得分，求： 1）取出的3个小球恰有两个颜色相同的概率； 2）随机变量ξ的分布列； 3）该员工中奖的概率.
22．（本题满分12分）
已知数列{}n a （*n ∈N ）的通项公式为1n a n =-（*n ∈N ）. 1）求201(12)a x +的二项展开式中的系数最大的项； 2）记1
245
k a k d +=
⨯（*k ∈N ），求集合1{|,}k k x d x d x +<<∈Z 的元素个数（写出具体的表达式）.
深圳实验学校高中部2020-2021学年度第二学期第一阶段考试
高二数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 6; 14.; 4 15.; 80 16. 535.
8.解：由题意可得22
4x y +≤表示的平面区域内的整点共有13个，其中三点共线的情况有10种，
五点共线的情况有2种，所以从13个点中可以构成三角形的个数
为:333
13351022861020256C C C --=--=个．故选C ．
12.解：在6
21x x ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭中，令1x =，可得展开式中各项系数之和为62，所以A 不正确.
6
21x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的绝对值之和与6
21x x ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
的展开式中各项系数之和
相等.
在6
21x x ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
中，令1x =可得展开式中各项系数之和为122，故B 正确.
展开621x x
⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其含义是6个21x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭相乘，在6个相同因式21x x ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
中，每
个因子取2
1,,x x
-
三者其一乘到一起，所有情况相加再进行合并.
于是6个因式2
1,,x x
-各取两次时便得到常数项，故C 不正确
同理可得含3x 的系数为：3335144
63653(C (1)C (C )2)(C (1))014()-+-⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，
故D 正确.综上本题选BD.
（判断选项C ，D 是否正确也可以如下操作：
由6
6
2211x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的展开式的通项为162C (06,)r
r r T x r r x +⎛⎫=-≤≤∈ ⎪⎝⎭Z ，
2r
x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式的通项为12C ()(0,,)r k
k k k r T x k r r k x -+⎛⎫=-≤≤∈ ⎪
⎝⎭Z ，
所以6
21x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的通项为216
(1)C C (06,,)2k k r k r k r
r r T x k r r k '--+=-≤≤≤∈Z . 当20(06,,)k r k r r k -=≤≤≤∈Z 时为常数项，所以多项式6
21x x ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
的展开式中有常
数项，故C 不正确.
当23,06,,k r k r r k -=≤≤≤∈Z 时，3,3k r =⎧⎨=⎩或4,5,
k r =⎧⎨=⎩33304541
6365(1)C C 2(1)C C 240-+-=，
所以3x 的系数为40，故D 正确）.
16.解：四个盒子放球的个数如下:
1号盒子：{0，1} 2号盒子：{0，1，2} 3号盒子：{0，1，2，3} 4号盒子：{0，1，2，3，4}
结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下其放法如下： 5 = 1 + 4：1
53C 种 5 = 2 + 3：254C 种
5 = 1 + 1 + 3：31
526C C 种 5 = 1 + 2 + 2：22
536C C 种 5 = 1 + 1 + 1 + 2：211
5323C C C 种
∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有：1
53C +2
54C +31526C C +22536C C +211
5323C C C =535种 故答案为：535
四、解答题
17．有3名男生与4名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数(要求用数字作答). 1）全体排成一排，女生必须站在一起； 2）全体排成一排，男生互不相邻；
3）全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变.
解：1）（捆绑法）将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有44
A 种方法，再将4名女生进行全排列，也有44A 种方法，故共有44
44A A 576
⨯=种排法 …………………………………3分
2）（插空法）男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有44
A 种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有35
A 种方法，故共有43
45A A 1440
⨯=种排法. ……………6分 3）（定序法）从7个位置中选四个安排除甲，乙，丙以外的4个人，有4
7A 种方法，
剩下的三个位置从左至右依次安排甲，乙，丙，仅有一种安排，故共有4
7A =840种
排法. …………………………10分
18．
n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和128，且前三项系数成等差数
列.
1）求a 的值；
2）若3a <，展开式有多少有理项？写出所有有理项.
解：1）因为偶数项的二项式系数之和为128，所以12128n -=，解得8n =， ……………1分
所以二项展开式为：8
第一项：
8
41018
T T C x +===，系数为1，
第二项：
1
13
7
1
42118
8T T C x a
+===，系数为8a ，
第三项：
2
5
6
2
23218
228T T C x a +===，系数为
228
a
， ………………………………4分 由前三项系数成等差数列得：2828
21a a
⨯=+，解得2a =或
14a = .…………………………… 6分
2）若3a <，由1）得2a =
，故二项展开式为：8，
其通项是：
16388418
2r
r
r
r
r
r r C T C x --+==，其中0,1,2,8r =⋯
由于
1633r
=444
r --，要1r T +成为有理项，则0,4,8r = ……………………8分
0r =时0
4
4
18
T C x x ==； 4r =时485435
28
C T x x ==；8r =时
822
89812256
C T x x --==…………11分
从而展开式有3项为有理项，分别是0
4
4
18
T C x x ==，48543528
C T x x ==，
822
89812256
C T x x --==.
…………………………………………
……………12分
19．长方体1111ABCD A B C D -如右图所示，已知2AB =，11AD AA ==，从该长方体的八个顶点中，任取两个不同的顶点，用随机变量X 表示这两点之间的距离.
1）求随机变量2>X 的概率； 2）求随机变量X 的分布列.
解：1）由于从长方体的八个顶点中，任取两个不同的顶点的取法总共有2
828C =种，
又2>X 的情况有两类：
当5X =时，即取矩形ABCD 或矩形1111D C B A 或矩形11AA B B 或矩形11CC D D 的对角线的两个端点，每个矩形有2种取法，共有428⨯=种取法； 当6X =
时，取长方体1111ABCD A B C D -的体对角线的两个端点，共有4种取法，
故随机变量2>X 的概率是
()()()
843
256287
P X P X P X +>==+==
=； ……………4分 2）依题意，随机变量X 的所有可能取值为1、2、2、5、6，
当1X =时，即取正方形11AA D D 和正方形11BB C C 的边所对棱的两个端点，共有8种取法，
则()821287
P X ==
=；
当=X 11AA D D 和正方形11BB C C 的对角线的两个端点，每个正方形有2种取法，
共有224⨯=
种取法，则(
41287
P X =
=
=； 当2X =时，即取棱长为2的棱的两个端点，共有4种取法，则
()41
2287
P X ==
=；…………10分 由（1
）知，(82287P X ==
=
，(41287
P X ===. 故随机变量X 的分布列为：
………………………………12分
20.现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学（要求用数字作答）. 1）若5本书完全相同，共有多少种分法；
2）若5本书都不相同，每个同学至少分一本书，共有多少种分法； 3）若5本书仅有两本相同，按一人3本另两人各1本分配，共有多少种分法. 解：1）先借三本相同的书一人给一本，保证每人至少分得一本，再将8本书排成一排，中间有7个空
位，在7个空位中任选2个插入隔板，有2721C =种情况，即有21种不同的分
法；……………4分
2）分2步进行： ①将5本书分成3组，
若分成1、1、3的三组，有3152
2
210C C A =种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有122542
2
2
15C C C A =种分组方法， 从而分组方法有101525+=种；
②将分好的三组全排列，对应3名学生，有3
36A =种情况，
根据分步计数原理，故共有256150⨯=种分法. …………………………………………………8分 3）记这5本书分别为A 、A 、B 、C 、D, 5本书取其三本分配时 ①不含A 时仅有一种分组，再分配给3人,有3种方法
②仅含一个A 时，分组的方法有23C 种，再分配给3人，共有3
33
218A C ⨯=种方法 ③含两个A 时，分组的方法有13C 种，再分配给3人，共有13
3
318A C ⨯=种方法 从而共有18+18+3=39种分
法. ……………………………………………………12分
21．2021年元旦某公司进行抽奖活动，每位员工抽奖一次.规则如下：在一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、蓝、紫的小球各2个，分别对应1分、2分、3分、4分、5分、6分.员工从袋中一次性任取3个小球，按3个小球中最大得分的6倍计分，计分超过25分即为中奖（中奖者根据得分兑换相应礼品，员工抽完奖球立即放回盒中），每个小球被取出的可能性相等，用ξ表示某员工取出的3个小球中最大得分，求： 1）取出的3个小球恰有两个颜色相同的概率； 2）随机变量ξ的概率分布； 3）求该员工中奖的概率.
解：1）取出的3个小球“恰有两个颜色相同”与“颜色互不相同”互为对立事件
记“取出的3个小球颜色互不相同”的事件为A ，则311162223
128
()11
C C C C P A C ⋅⋅⋅== 故取出的3个小球恰有两个颜色相同的概率为：
83
1()11111
P A -=-
= ……………3分 （若用直接法，列式则为：
()(
)12116
22
3152
3=11
C
C C C C ⋅⋅⋅）
2）由题意ξ有可能的取值为：
2,3,4,5,6. ……………………………………………4分
211222223
121
(2)55
C C C C P C ξ⋅+⋅===； 2112
42423
124
(3)55
C C C C P C ξ⋅+⋅===； 2112
62623
129
(4)55
C C C C P C ξ⋅+⋅===； 2112
82823
1216
(5)55
C C C C P C ξ⋅+⋅===； 2112
1021023
125
(6)11
C C C C P C ξ⋅+⋅=== ……………………………………………………………9分
所以随机变量ξ的概率分布为:
…………………………………………………
…………10分
3）记“该员工中奖”的事件为C ，则：
()( 5 6)(5)(6)516541
11555
P C P P P ξξξξ=====+==
+=或 …………………………12分
22．已知数列{}n a （*n ∈N ）的通项公式为1n a n =-（*n ∈N ）. 1）求201(12)a x +的二项展开式中的系数最大的项； 2）记1
245
k a k d +=
⨯（*k ∈N ），求集合1{|,}k k x d x d x +<<∈Z 的元素个数（写出具体的表达式）. 解：1）
2012001200(12)(12)2a r
r r r x x T C x ++=+∴=⋅
设二项展开式中的系数最大的项数为1,[0,200],r r r N +∈∈
则1120020011
20020012(200)
22133134133,1342(201)22
r r r r r
r r r r r C C r r r r C C ++--⎧+≥-⋅≥⋅⎧⇒⇒≤≤∴=⎨⎨-≥⋅≥⋅⎩⎩， 因此二项展开式中的系数最大的项为133133
200(2)
C x ，
134
134200(2)C x ………………………6分
2）1224455k a k
k d Z +=
⨯=⨯∉ 11
11222
(51)(555(1))(1)55
5
k k k k k k k k k d C C ---=⨯-=⨯-+
+⨯⨯-+-
112
112
2[55(1)](1)5
k k k k k k k C C ----=-+
+⨯-+- ……………………………
………………8分
所以当k 为偶数时，集合1{|,}k k x d x d x +<<∈Z 的元素个数为：
11
112
11112[55
(1)]2[55(1)]1k k k k k k k k k k k k C C C C -----++-++⨯---+
+⨯--
12261
[(51)1][(51)1]145555
k k k +=-+----=⋅- 当k 为奇数时，集合1{|,}k k x d x d x +<<∈Z 的元素个数为：
11
112
11112[55
(1)]2[55(1)]1k k k k k k k k k k k k C C C C -----++-++⨯---+
+⨯-+
12261
[(51)1][(51)1]145555
k k k +=----++=⋅+ 综上，元素个数为
1
64(1)5
k k +⋅+- ……………………………………………………………12分。