高考数学椭圆及其性质全套复习课件

是( )
A.x32＋y42＝1
B.x22＋y44＝1
C.x42＋y22＝1
√D.x42＋y32＝1
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第九章 平面解析几何
15
解析：右焦点为 F(1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在 x 轴上；c＝1.又离心 率为ac＝12，故 a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x42＋y32＝1.
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第九章 平面解析几何
3
命题趋势 核心素养
考向预测 椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考 查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题 型主要以选择题、填空题为主，一般为中档题，椭圆 方程的求解经常出现在解答题的第一问.
直观想象、逻辑推理、数学运算
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第九章 平面解析几何
24
1．设 F1，F2 为椭圆x92＋y52＝1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1 的
中点在 y 轴上，则||PPFF21||的值为(
)
A.154
B.59
4 C.9
√D.153
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第九章 平面解析几何
25
解析：如图，设线段 PF1 的中点为 M，因为 O 是 F1F2 的中 点，所以 OM∥PF2，可得 PF2⊥x 轴，可求得|PF2|＝53，|PF1| ＝2a－|PF2|＝133，||PPFF21||＝153.故选 D.
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第九章 平面解析几何
27
椭圆的标准方程
(1)(多选)已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点 F1，F2 在 y 轴上，短
轴长等于 2，离心率为 36，过焦点 F1 作 y 轴的垂线交椭圆 C 于 P，Q 两点，
则下列说法正确的是( )
√A．椭圆 C 的方程为y32＋x2＝1
B．椭圆 C 的方程为x32＋y2＝1
19
椭圆的定义及应用
(1)(多选)椭圆1x62＋2y52 ＝1 上的一点 P 到椭圆焦点的距离的乘积为 m，
当 m 取最大值时，点 P 的坐标不可能为( )
√ A．(4，0)
B．(0，5)
√ C．(－4，0) D．(0，－5)
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第九章 平面解析几何
20
(2)(2021·普通高等学校招生全国统一考试模拟)椭圆m2x＋2 1＋my22＝1(m>0)的
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第九章 平面解析几何
29
【解析】 (1)由已知得，2b＝2，b＝1，ac＝ 36，
又 a2＝b2＋c2，解得 a2＝3.
所以椭圆方程为 x2＋y32＝1.
如图．
所以|PQ|＝2ab2＝
2 ＝2 3
3
3，△PF2Q
的周长为
4a＝4
3.
故选 ACD.
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第九章 平面解析几何
( √)
(4)ay22＋xb22＝1(a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆．
(× )
(5)xa22＋by22＝1(a>b>0)与ay22＋xb22＝1(a>b>0)的焦距相同．
(√ )
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第九章 平面解析几何
14
2．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，离心率为12，则 C 的方程
4．讨论直线与椭圆的位置关系时不要忽略直线斜率不存在的情形．
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第九章 平面解析几何
13
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )
(2)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．
(× )
(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．
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第九章 平面解析几何
32
方
法
三
(
待
定
系
数
法
)
：
设
所
求
椭
圆
方
程
为
y2 a2
＋
x2 b2
＝
1(a>b>0)
．
由
题
意
得
aa522＋ －bb322＝ ＝116，，解得ab22＝ ＝240. ， 所以所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.
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第九章 平面解析几何
33
(1)用定义法求椭圆的标准方程 先根据椭圆的定义确定 a2，b2 的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中 常用的关系有： ①b2＝a2－c2； ②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于 2a； ③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长 a.
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第九章 平面解析几何
22
(2)由题可知，a2＝m2＋1，b2＝m2.
π 因为∠F1AF2＝ 3 ，所以∠F2AO＝30°，所以
cos∠F2AO＝ba，即
cos
30°
＝ mm2＋2 1，解得 m＝ 3或 m＝－ 3(舍去)．故选 C.
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第九章 平面解析几何
23
√C．|PQ|＝2
3 3
√D．△PF2Q 的周长为 4 3
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第九章 平面解析几何
28
(2)(一题多解)过点( 3，－ 5)，且与椭圆2y52 ＋x92＝1 有相同焦点的椭圆的标
准方程为( )
A.2x02 ＋y42＝1
B.2x25＋y42＝1
√C.2y02 ＋x42＝1
D.x42＋2y25＝1
则m4 ＝12，解得 m＝8，所以 m＝2 或 m＝8.故选 AD.
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第九章 平面解析几何
17
4．(易错题)平面内一点 M 到两定点 F1(0，－9)，F2(0，9)的距离之和等于 18，则点 M 的轨迹是________． 解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，但|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|， 所以点 M 的轨迹是一条线段． 答案：线段 F1F2
第九章 平面解析几何
第5讲 椭 圆 第1课时 椭圆及其性质
数学
第九章 平面解析几何
1
01
走进教材 自主回顾
02
考点探究 题型突破
03
知能提升 分层演练
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第九章 平面解析几何
2
最新考纲 1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题 中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单 几何性质.
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第九章 平面解析几何
31
方法二(待定系数法)： 设所求椭圆方程为25y－2 k＋9－x2k＝1(k<9)， 将点( 3，－ 5)的坐标代入，可得（2－5－5k）2＋（9－3）k 2＝1， 解得 k＝5 或 k＝21(舍去)， 所以所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.
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10
(3)与椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)有共焦点的椭圆方程为a2x＋2 λ＋b2y＋2 λ＝1(λ>－b2)． (4)焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点 F1，F2 构成的△PF1F2 叫做 焦点三角形．若 r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2 的面积为 S， 则在椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)中：
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第九章 平面解析几何
11
①当 r1＝r2，即点 P 为短轴端点时，θ 最大； ②S＝12|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点 P 为短轴端点时，S 取得最大 值，最大值为 bc； ③△PF1F2 的周长为 2(a＋c)． (5)若 M(x0，y0)是椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的弦 AB(AB 不平行 y 轴)的中点，则 有 kAB·kOM＝－ba22.
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第九章 平面解析几何
26
2．已知点 F1，F2 分别为椭圆 C：x42＋y32＝1 的左、右焦点，若点 P 在椭圆 C 上，且∠F1PF2＝60°，则 S△F1PF2＝________． 解析：由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2， 得 3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，则 S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝12×4sin 60°＝ 3. 答案： 3
长轴 A1A2 的长为__2_a_____
短轴 B1B2 的长为___2_b____
|F1F2|＝___2_c____
c e＝___a_____，e∈(0，1)
c2＝__a_2－__b_2__
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第九章 平面解析几何
8
3.点与椭圆的位置关系 已知点 P(x0，y0)，椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)，则 (1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔xa202＋by202<1； (2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔xa202＋by202＝1； (3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔xa202＋by202>1.
对称中心：(0，0)
A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0第九章 平面解析几何
标准方程
轴
性
焦距
质 离心率
a，b，c 的关系
7
xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)
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第九章 平面解析几何
9
常用结论 椭圆的常用性质 (1)若点 P 在椭圆上，F 为椭圆的一个焦点，则 ①b≤|OP|≤a； ②a－c≤|PF|≤a＋c. (2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长 lmin＝2ab2.
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第九章 平面解析几何
焦点为 F1，F2，上顶点为 A，若∠F1AF2＝π3，则 m＝(
)
A．1
B. 2
√C. 3
D．2
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第九章 平面解析几何
21
【解析】 (1)记椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，则有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10， 所以 m＝|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋2 |PF2|2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点 P 位于椭圆的短轴的顶点处时，等号成立．所以点 P 的坐标为(－4，0)或(4， 0)，故选 BD.
椭圆定义的应用技巧 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是明确平面内与两定点有关的轨迹是否 为椭圆；二是当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2 组成的三角形通常 称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求 |PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．
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第九章 平面解析几何
16
3．(多选)已知椭圆 mx2＋4y2＝1 的离心率为 22，则实数 m 的值可能为(
)
√A．2
8 B.3
C．6
√D．8
解析：若焦点在 x 轴上，则 a2＝m1 ，b2＝14，由 e＝ac＝ 22，得ac22＝12，即a2－a2b2
＝12，所以ba22＝12，即m4 ＝12，解得 m＝2；若焦点在 y 轴上，则 a2＝14，b2＝m1 ，
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第九章 平面解析几何
18
5．(易错题)若方程5－x2k＋k－y2 3＝1 表示椭圆，则 k 的取值范围是________． 5－k>0，
解析：由已知得k－3>0， 解得 3<k<5 且 k≠4. 5－k≠k－3.
答案：(3，4)∪(4，5)
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第九章 平面解析几何
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第九章 平面解析几何
12
常见误区
1．若 2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段 F1F2；若 2a<|F1F2|，则动点的轨迹 不存在．
2．关于离心率的取值范围问题，一定不要忘记椭圆离心率的取值范围为(0， 1)． 3．判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程形式中 x2 和 y2 的分母大 小．
标准方程
xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
5
ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)
图形
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第九章 平面解析几何
6
标准方程 范围
性
对称性
质
顶点
xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)
－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
对称轴：___x_轴__、__y_轴_______
第九章 平面解析几何
4
1．椭圆的定义
条件
平面内的动点 M 与平面内的两个定点
F1，F2
|MF1|＋|MF2|＝2a 2a＞|F1F2|
结论 1
结论 2
M 点的 轨迹为
椭圆
_F__1，__F__2 _为椭圆的焦点 __|F__1F__2|__为椭圆的焦距
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第九章 平面解析几何
2.椭圆的标准方程和几何性质
30
(2)方法一(定义法)：椭圆2y52 ＋x92＝1 的焦点为(0，－4)，(0，4)，即 c＝4. 由 椭 圆 的 定 义 知 ， 2a ＝ （ 3－0）2＋（－ 5＋4）2 ＋
（ 3－0）2＋（－ 5－4）2，解得 a＝2 5. 由 c2＝a2－b2，可得 b2＝4. 所以所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.