2022-2023上海市杨浦区高三数学二模试卷及答案

2023年上海市杨浦区高考数学二模试卷

本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分） 【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】

1、集合{

}

2

230A x x x =−−=，{}

24,B x x x R =≤≤∈，则A B =____________.

2、复数

3434i

i

+−的虚部是____________. 3、已知等差数列{}n a 中，37a =，73a =，则通项公式为n a =____________. 4、设5543

54310(21)x a x a x a x a x a +=+++⋅⋅⋅++，则3a =____________.5、函数ln(23)y x =−的导数是y '=____________.

6、若圆锥的侧面积为15π，高为4，则圆锥的体积为____________.

7、由函数的观点，不等式3lg 3x

x +≤的解集是____________.

8、某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计：学生的平均成绩为____________分.

9、ABC ∆内角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ，若3a =，6b =3

A π∠=

，则B ∠=

____________.

10、1F 、2F 分别是双曲线22

221x y a b

−=的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别

交于A 、B 两点.若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为____________.

11、若存在实数ϕ，使函数1

()cos()2

f x x ωϕ=+−（0ω>）在[],3x ππ∈上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为____________.

12、已知非零向量a 、b 、c ，满足5a =，2b c =，且()()

0b a c a −⋅−=，则b 的最小值是____________.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13、14题每题4分，15、16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.】

13、已知a 、b R ∈，则“a b >”是“3

3

a b >”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

14、对成对数据11(,)x y 、22(,)x y 、…、(,)n n x y 用最小二乘法求回归方程是为了使（ ）

A.

()1

0n

i

i y y =−=∑

B.

()1

ˆ0n

i i y y

=−=∑ C.

()1

ˆn

i i y y

=−∑最小 D.

()2

1

ˆn

i i y y

=−∑最小

15、下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)−∞上严格递减的是（ ）

A.2

x

y = B.ln()y x =− C. 2

3

y x

−

= D. y =

16、如图，一个由四根细铁杆PA 、PB 、PC 、PD 组成的支架（PA 、PB 、PC 、PD 按照逆时针排布），若3

APB BPC CPD DPA π∠=∠=∠=∠=

，一个半径为1的球恰好放

在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心O 到点P 的距离是（ ）

32

C.2

D.

3

2

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】 17、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知一个随机变量的分布为：678

9100.10.20.3a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭

.

（1）已知43

()5

E X =

，求a 、b 的值； （2）记事件A ：X 为偶数；事件B ：8X ≤.已知1

()2

P A =，求()P B 、()P A B ，并判断A 、B 是否相互独立？

四边形ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于O点，PA⊥平面ABCD，且二面角−−的大小为45︒.

P BC A

（1）求点A到平面PBD的距离；

（2）求直线AC与平面PCD所成的角.

如图，某国家森林公园的一区域OAB 为人工湖，其中射线OA 、OB 为公园边界，已知OA OB ⊥，以点O 为坐标原点，以OB 为x 轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米），曲线AB 的轨迹方程为：2

4y x =−+（02x ≤≤）.计划修一条与湖边AB 相切于点P 的直路l （宽度不计），直路l 与公园边界交于C 、D 两点，把人工湖围成一片景区OCD ∆. （1）若P 点坐标为(1,3)，计算直路CD 的长度（精确到0.1千米）；

（2）若P 为曲线AB （不含端点）上的任意一点，求景区OCD ∆面积的最小值（精确到0.1平方千米）.

已知椭圆22

22:143x y C a a

+=（0a >）的右焦点为F ，直线:40l x y +−=.

（1）若F 到直线l 的距离为22，求a ；

（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且ABO ∆的面积为

48

7

，求a ； （3）若椭圆C 上存在点P ，过点P 作直线l 的垂线1l ，垂足为H ，满足垂线1l 和直线FH 的夹角为

4

π，求a 的取值范围.