高考数学总复习 优编增分练：高考填空题分项练4 不等式

高考填空题分项练4 不等式
1．(2018·江苏海安测试)关于x 的不等式x ＋a x
＋b ≤0(a ，b ∈R )的解集{x |3≤x ≤4}，则a ＋b
的值为________． 答案 5
解析
由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
3＋a
3＋b ＝0，
4＋a
4＋b ＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝12，
b ＝－7⇒a ＋b ＝5.
2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
y ≤x
2＋1，y ≥x ，
x ≥－3，
且有无穷多个点(x ，y )使得目标函数z ＝λx
＋2y 取得最大值，则实数λ的值为________．
答案 －1
解析 约束条件表示的可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)．
目标函数z ＝λx ＋2y 可化为y ＝－λ2x ＋z
2
，
因为有无穷多个点(x ，y )使得目标函数z ＝λx ＋2y 取得最大值，
分析可得，直线y ＝－λ2x ＋z 2与直线BC ：y ＝x
2＋1重合时目标函数取得最大值，
且有无穷多个点(x ，y )满足要求， 所以－λ2＝1
2
，解得λ＝－1.
3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥1，y ≤2x －1，
x ＋y ≤m ，
如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m
＝________. 答案 5
解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，
联立直线方程⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x －1，
y ＝－x ＋m ，
可得交点坐标为A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
m ＋13，2m －13， 由目标函数的几何意义可知，目标函数在点A 处取得最小值， 所以
m ＋13
－
2m －1
3
＝－1，解得m ＝5.
4．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋3y －5≥0，3x ＋2y －10≤0，
x －y ≤0，
则x －2y 的最大值为________．
答案 －1
解析
画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋3y －5≥0，
3x ＋2y －10≤0，
x －y ≤0
表示的平面区域，如图阴影部分所示(包含边界)，
平移直线z ＝x －2y ，由图可知，
目标函数z ＝x －2y 过点A 时取得最大值，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋3y －5＝0，
x －y ＝0，解得A (1,1)，
此时z ＝x －2y 取得最大值1－2＝－1.
5．设x ，y >0，且x ＋y ＝4，若不等式1x ＋4
y
≥m 恒成立，则实数m 的最大值为________．
答案 94
解析 1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋y 4＝14⎝
⎛
⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥14⎝
⎛⎭⎪⎪⎫5＋2
y x ·
4x y ＝1
4
(5＋2×2)＝9
4，
当且仅当y ＝2x ＝8
3时等号成立．
6．设
f (x )＝x 2＋x ＋1，
g (x )＝x 2＋1，则
f (x )
g (x )
的取值范围是________．
答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，32
解析
f (x )
g (x )
＝
x 2＋x ＋1x 2＋1
＝1＋
x
x 2＋1
，
当x ＝0时，
f (x )
g (x )
＝1；
当x >0时，f (x )
g (x )＝1＋1
x ＋
1x
≤1＋12＝3
2
；
当且仅当x ＝1时取等号．
当x <0时，x ＋1
x
＝－⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≤－2，
则f (x )g (x )＝1＋1
x ＋
1x
≥1－12＝1
2
. 当且仅当x ＝－1时取等号．
∴f (x )
g (x )∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，32. 7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x －y －1≤0，
2x －y －3≥0，
当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束
条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值是________．
答案 4
解析 方法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示．
由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝1，
所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝2
5，
a 2＋
b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.
方法二 由满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2
5.
又因为a 2＋b 2是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a 2＋b 2是原点到直线2a ＋b －
2
5＝0的距离时最小，所以
a 2＋
b 2的最小值是
|－25|
22＋12
＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4.
8．一批货物随17列货车从A 市以v km/h 的速度匀速到达B 市，已知两地铁路线长为400
km ，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭
⎪⎫
v 202 km(货车的长度忽略不计)，那么这批货物全
部运到B 市，最快需要________ h. 答案 8
解析 这批货物从A 市全部运到B 市的时间为
t ＝
400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫
v 202
v
＝
400v ＋16v
400
≥2 400v ·16v
400
＝8(h)， 当且仅当v ＝100时，取等号．
9．(2018·江苏南京金陵中学期末)若对满足x ＋y ＋6＝4xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围为________．
答案 ⎝
⎦⎥－∞，3
解析 因为4xy ≤(x ＋y )2，
又因为正实数x ，y 满足x ＋y ＋6＝4xy ， 解得x ＋y ≥3，
由x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0， 可求得a ≤x ＋y ＋
1x ＋y
，
根据双勾函数性质可知，当x ＋y ＝3时，x ＋y ＋
1
x ＋y 有最小值10
3， 所以a 的取值范围为⎝
⎛⎦⎥⎤
－∞，103.
10．在R 上定义运算×：A ×B ＝A (1－B )，若不等式(x －a )×(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．
答案
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a ⎪⎪⎪
－12<a <32 解析 (x －a )×(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )] ＝－x 2＋x ＋a 2－a ， ∴－x 2＋x ＋a 2－a <1，
即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对x ∈R 恒成立． ∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＝4a 2－4a －3<0， ∴(2a －3)(2a ＋1)<0，即－12<a <32
.
11．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
g (x )＋x ＋4，x <g (x )，
g (x )－x ，x ≥g (x )，
则f (x )的值域是________．
答案 ⎣⎢⎦
⎥－4，0∪(2，＋∞)
解析 由x <g (x )，得x <x 2－2，则x <－1或x >2； 由x ≥g (x )，得x ≥x 2－2，则－1≤x ≤2.
因此f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，
x 2－x －2，－1≤x ≤2，
即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋7
4
，x <－1或x >2，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
－9
4
，－1≤x ≤2.
∵当x <－1时，f (x )>2；当x >2时，f (x )>8，
∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数f (x )的值域是(2，＋∞)． ∵当－1≤x ≤2时，－9
4
≤f (x )≤0，
∴当x ∈[－1,2]时，函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－94，0.
综上可知，函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－94，0∪(2，＋∞)．
12．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z
取得最大值时，2x ＋1y －2
z
的最大值
为________． 答案 1
解析 z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x >0，y >0，z >0)， ∴
xy z
＝
xy
x 2－3xy ＋4y 2＝
1
x y
＋
4y
x
－3≤
1
2x y ·
4y x
－3
＝
1
4－3
＝1.
当且仅当x y
＝
4y
x
，即x ＝2y >0时等号成立，
此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2， ∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－1y 2＋2y
＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1y －12＋1，
∴当y ＝1时，2x ＋1y －2
z
取得最大值1.
13．(2018·江苏扬州树人学校模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2ax －b ＋1(a ，b 为正实数)只有一
个零点，则1a ＋2a
b ＋1的最小值为________．
答案 52
解析 ∵函数f (x )＝x 2＋2
ax －b ＋1(a ，b 为正实数)只有一个零点，
∴Δ＝4a －4()
－b ＋1＝4a ＋4b －4＝0， ∴a ＋b ＝1.
∴1a ＋2a b ＋1＝1a ＋2a 2－a ＝2a 2－a ＋2－a 2＋2a ＝2a 2－4a ＋3a ＋2－a 2＋2a ＝－2＋3a ＋2－a 2＋2a . 令t ＝3a ＋2(t >2)，则a ＝
t －2
3
，
∴－2＋3a ＋2
－a 2＋2a ＝－2＋t －⎝
⎛⎭⎪⎫t －232＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －23＝－2－9t t 2－10t ＋16＝－2－9
t ＋16
t －10
≥－2－
92
t ·16
t
－10
＝52，当且仅当t ＝16t ，即t ＝4时等号成立，此时a ＝23，b ＝13
. ∴1a ＋2a b ＋1的最小值为5
2
.
14．若关于x 的不等式(ax －1)(ln x ＋ax )≥0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是________．
答案
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a ⎪⎪⎪
a ≤－1e 或a ＝e 解析 令f (x )＝ax －1，g (x )＝ln x ＋ax ， 则M (x )＝f (x )·g (x )(x >0)，
当a ≠0时，令g ′(x )＝a ＋1x
＝ax ＋1x ＝0，则x ＝－1a
.
(1)当a ＝0时，M (x )＝－ln x ，不符合题意；
(2)当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上恒为负，在⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a ，＋∞上恒为正；g (x )在(0，＋∞)上单调递增，
则需g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a ＝－ln a ＋1＝0，此时a ＝e ，符合题意；
(3)当a <0时，f (x )在(0，＋∞)上恒为负；g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，－1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单
调递减，故g (x )在x ＝－1
a
处取得极大值也是最大值，g (x )≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1a －1≤0，解得a
≤－1e
.
综上所述，实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a ⎪
⎪⎪
a ≤－1e 或a ＝e .。