高等教育自学考试 概率论与数理统计期末自学 复习重要知识点

概率论与数理统计期末复习重要知识点
第二章知识点：
1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。

2.常用离散型分布：
（1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x p p ====-<<，
则称X 服从
12,x x 处参数为p 的两点分布。

两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x p
p ====-<<
两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-
（2）二项分布：
若一个随机变量X 的概率分布由式
{}(1),0,1,...,.k k
n k n P x k C p p k n -==-=
给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。

记为X~b(n,p)(或B(n,p)).
两点分布的概率分布：
{}(1),0,1,...,.k k n k
n P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-
（3）泊松分布：
若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...
!
k
P X k e
k k λ
λλ-==>=，则称X 服从参
数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)
泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...
!
k
P X k e
k k λ
λλ-==>=
泊松分布的期望：
()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=
4.连续型随机变量：
如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数
()f x ，使得对于任意实数x ，有
(){}()x
F x P X x f t dt
-∞
=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称
()f x 为X 的概率密度函数，
简称为概率密度函数。

5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：
若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,
0,1)(b
x a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服
从均匀分布，记为X~U(a,b)
均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,
0,1
)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a b
E X +=
；均匀分布的方差：
2()()12b a D X -= （2）指数分布：
若连续型随机变量X 的概率密度为
00
()0x
e x
f x λλλ-⎧>>=⎨
⎩，则称X 服从参数为
λ的指数分布，记为X~e (λ)
指数分布的概率密度：
00
()0x
e x
f x λλλ-⎧>>=⎨
⎩
指数分布的期望：1
()E X λ=
；指数分布的方差：
21
()D X λ=
（3）正态分布：
若连续型随机变量X
的概率密度为
22
()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞
则称X 服从参数为
μ和2
σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)
正态分布的概率密度：
22
()2()x f x x μσ--
=
-∞<<+∞
正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2
()D X σ=
（4）标准正态分布：
2
0,1μσ==
，
222
2
()()x t x
x x e dt
ϕφ-
-
-∞
=
标准正态分布表的使用： （1）
()1()x x x φφ<=--
（2）
~(0,1)
{}{}{}
{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-
（3）
2~(,),~(0,1),
X X N Y N μ
μσσ
-=
故
(){}{
}()X x x F x P X x P μμμ
φσσσ---=≤=≤=
{}{
}(
)(
)
a b b a P a X b P Y μ
μ
μ
μ
φφσ
σ
σσ
----<≤=≤≤
=-
定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μ
σ-=
6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。

分布函数的重要性质：
12212112120()1
{}{}{}()()()()()1,()0
F x P x X x P X x P X x F x F x x x F x F x F F ≤≤<≤=≤-≤=-<⇒<+∞=-∞=
7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布 （1）由X 的概率分布导出Y 的概率分布步骤： ①根据X 写出Y 的所有可能取值； ②对Y 的每一个可能取值
i y 确定相应的概率取值；
③常用表格的形式把Y 的概率分布写出
（2）由X 的概率密度函数（分布函数）求Y 的概率密度函数（分布函数）的步骤： ①由X 的概率密度函数()X f x 随机变量函数Y=g(X)的分布函数()Y F y
②由
()Y F y 求导可得Y 的概率密度函数
（3）对单调函数，计算Y=g(X)的概率密度简单方法： 定理1 设随机变量X 具有概率密度
()
(,)X f x x ∈-∞+∞，又设y=g(x)处处可导且恒
有'()0g x >（或恒有'()0g x <），则Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为
'[()]|()|,()0
Y f h y h y y f y αβ
⎧<<=⎨
⎩；其中
()x h y =是y=g(x)的反函数，且
min((),()),max((),())g g g g αβ=-∞+∞=-∞+∞
练习题：
2.4 第7、13、14
总习题 第3、6、9、10、11、13、14、17、18、19
第三章重要知识点：
1.离散型二维随机变量X 与Y 的联合概率分布表：
（1）要会由X与Y的联合概率分布，求出X与Y各自概率分布或反过来；类似P63 例2（2）要会在X与Y独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余数据；
类似P71 例3
（3）要会根据联合概率分布表求形如
{,}
P a X b c Y d
<<<<
的概率；
（4）要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。

2. 二维连续型随机变量X与Y的联合概率密度:
设（X,Y）为二维随机变量，F(x,y)为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使对
任意实数（x,y），有
(,)(,)
y
x
F x y f s t dsdt
-∞-∞
=⎰⎰
，则称（X,Y）为二维连续型随机变量。

(1)要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限；
(2)要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F(x,y)，以及形如
{}
P X Y
<
等联合概
率值;P64 例3
(3)要会根据联合概率密度求出,x y
的边缘密度;类似P64 例4
(4)要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。

3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质：
（1）
1
ij
i j
p=
∑∑
；（2）
(,)1
f x y dxdy
+∞+∞
-∞-∞
=
⎰⎰
要会根据这些性质解类似P68 第5，6题。

4.常用的连续型二维随机变量分布
二维均匀分布：设G是平面上的有界区域，其面积为A。

若二维随机变量（X,Y）具有概率密
度函数
1(,)
(,)
A x y G
f x y
∈
⎧
=⎨
⎩，则称（X,Y）在G上服从均匀分布。

5.独立性的判断：
定义：设随机变量（X,Y）的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数为
()
X
F x
，
()
Y
F y
，若对任
意实数x,y ，有
{,}{}{}P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤≤
（1）离散型随机变量的独立性： ①由独立性的定义进行判断； ②所有可能取值
(,)
i j x y ，有
(,)()()i j i j P X x Y y P X x P Y y =====，
..ij i j
p p p =则
X 与Y 相互独立。

（2）连续型随机变量的独立性： ①由独立性的定义进行判断； ②联合概率密度
(,)f x y ，边缘密度()X f x ，()Y f y
,x y ∀有(,)()()X Y f x y f x f y =几乎处处成立, 则X 与Y 相互独立。

(3)注意与第四章知识的结合
X 与Y 相互独立
⇒ ()()()()()()(,)0
XY
E XY E X E Y D X Y D X D Y Cov X Y ρ
=±=+==
因此()()()()()()(,)0
XY E XY E X E Y D X Y D X D Y Cov X Y ρ≠±≠+≠≠⇒ X 与Y 不独立。

6．相互独立的两个重要定理
定理1 随机变量X 与Y 相互独立的充要条件是X 所生成的任何事件与Y 生成的任何事件独立，即，对任意实数集A ，B ，有
{,}{}{}P X A Y B P X A P X B ∈∈=∈∈
定理2 如果随机变量X 与Y 独立，则对任意函数1()g x ，2()g y 相互独立。

（1）要求会使用这两个定理解决计算问题
练习题：
习题2-3 第3、4题 习题2-4 第2题
习题3.2 第5，7，8题
总习题三 第4，9（1）-（4）， 12,13
第四、五章知识点
设总体密度函数如下，12,,...n x x x 是样本，试求未知参数的矩估计值，最大似然估计值。

1
(;,),,0x p x e
x μ
θ
θμμθθ
--
=
>>
（1）
02
2
2
2
2
22
1
1
1
()1
1
1
1
1
()()
222x t
t
x t
t
t
t
E X x e
dx t
e dt e dt E X x
e
dx t e dt t
e dt t e dt e dt μ
θ
θ
θμ
μ
θ
θ
θ
θ
θ
μ
μθμ
θ
θ
θ
μμμ
θμθμθ
θ
θ
θ
θ
--
-
-
+∞
+∞
+∞
--
-
-
-
-
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
==+=+==+=++=++⎰
⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰
222()()[()]D X E X E X θ=-=
，由此可推出()E X θμ==
从而参数θ，μ的矩估计值为,s x s θμ∧
==- （2）似然函数为：(1)
1
1
1
()()exp{()},n
n
i
i L x x
θμμθθ
==-
->∑
其对数似然函数为：1
()
ln (,)ln n
i
i x L n μθμθθ
=-=--
∑
由上式可以看出，ln (,)L θμ是μ的单调增函数，要使其最大，μ的取值应该尽可能的大，由于限制(1)x μ>，这给出的最大似然估计值为(1)x μ∧
= 将ln (,)L θμ关于θ求导并令其为0得到关于θ的似然方程
1
2
()ln (,)0n
i i x d L n d μθμθθθ=-=-+=∑，解得1
(1)()
n
i
i x x x n
μθ∧
∧=-=
=-∑
第四章重要知识点：
1.随机变量X 数学期望的求法： （1）离散型 1
()i i
i E X x p ∞
==
∑ ；
（2）连续型 ()()E X xf x dx +∞
-∞
=⎰
2.随机变量函数g(X) 数学期望的求法： （1）离散型 1()()i i i E X g x p ∞
==
∑；
（2）连续型 ()()()E X g x f x dx +∞
-∞
=⎰
3.二维随机向量期望的求法： （1）离散型 11
[(,)](,)i
j
ij
j i E g X Y g x y p
∞∞
===
∑∑；
（2）连续型 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy +∞+∞
-∞
-∞
=⎰⎰
4.随机变量X 方差的求法：
（1）简明公式 222()[()]()()D X E X E X E X E X =-=- （2）离散型 2
1
()[()]
i
i i D X x E X p ∞
==
-∑
（3）连续型 2()[()]()D X x E X f x dx +∞
-∞
=
-⎰
5. 随机变量X 协方差与相关系数的求法：
（1）简明公式 (,){[()]}{[()]}()()()Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y =--=- （2）离散型 ,(,)[()][()]i
j
ij i j
Cov X Y x E X y
E Y p =--∑
（3）连续型 (,)[()][()](,)Cov X Y x E X y E Y f x y dxdy +∞+∞
-∞
-∞
=--⎰⎰
（4）
XY ρ=
6.数学期望、方差、协方差重要的性质： (1) 1212()()()E X X E X E X +=+
(2) 设X 与Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =
(3) ()()()2{[()][()]}()()2(,)
D X Y D X D Y
E X E X Y E Y D X D Y Cov X Y ±=+±--=+±
若X 与Y 相互独立，则()()()D X Y D X D Y ±=+ (4) 2
()()D CX C D X =
(5) 1212(,)(,)(,)Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+ （6）(,)(,)Cov aX bY abCov X Y = 若X 与Y 相互独立，则(,)0Cov X Y =
(7) 若（X,Y ）服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立，当且仅当0XY ρ= 7.
n 维正态分布的几个重要性质：
（1）n 维正态变量（12,,...,n X X X ）的每个分量
i X （1,2,...i n =）都是正态变量，反之，
若12,,...,n X X X 都是正态变量，且相互独立，则（12,,...,n X X X ）是n 维正态变量。

（2）n 维随机向量（12,,...,n X X X ）服从n 维正态分布的充分必要条件是12,,...,n X X X 的任意线性组合均服从一维正态分布1122...n n l X l X l X +++均服从一维正态分布（其中
12,,...n l l l 不全为零）。

（3）若（12,,...,n X X X ）服从n 维正态分布，设12,,...,k Y Y Y 是(1,2,...)j X j n =的线性函数，则（12,,...,k Y Y Y ）服从k 维正态分布。

（4）设（12,,...,n X X X ）服从n 维正态分布，则“12,,...,n X X X 相互独立”等价于“12,,...,n X X X 两两不相关” 练习题：
1. 设（X,Y ）的联合密度函数为24(1),01,0(,)0
x y x y x
f x y -<<<<⎧=⎨⎩，求(,)Cov X Y 及XY ρ
解：1
1
30003()(,)24(1)12(1)5
x
E X xf x y dxdy x xydydx x x dx +∞
+∞
-∞-∞=
=-=-=
⎰⎰⎰
⎰⎰ 11222
40002()(,)24(1)12(1)5
x E X x f x y dxdy x x ydydx x x dx +∞+∞-∞-∞==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰
222231
()()()()5525
D X
E X E X =-=-=
同理
12002
()(,)24(1)5x
E Y xf x y dxdy x y dydx +∞
+∞
-∞-∞==-=
⎰
⎰⎰
⎰
12
3001()(,)24(1)5
x E Y xf x y dxdy x y dydx +∞+∞-∞-∞==-=⎰⎰⎰⎰
又因1004
()[24(1)]15
x E XY xy x y dydx =-=⎰⎰
从而462(,)()()()152575Cov X Y E XY E X E Y =-=-=
2752
1253
XY ρ=
==
2. 习题4.3第10题 8.中心极限定理
（1）定理4（棣莫佛—拉普拉斯定理） 设随机变量
12,,...,...n X X X 相互独立，
并且都服从参数为p 的两点分布，则对任意实数x ，
有2
2
lim }()n
t i
x
n X
np
P x dt x -→∞
-≤==Φ∑⎰
（2）定理3（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量
12,,...,...n X X X 相互独立，服从同一分布，且
2
(),()(1,2,...),i i E X D X i μσ
===
则2
2
lim }n
t i
x
n X
n P x dt μ
-→∞
-≤=∑⎰
练习题：习题4-4 11题 12题 总习题四 24，25，26题
第五章重要知识点
确定或求证统计量所服从的分布 1.三大分布
（1）2
χ分布：：设12,,...n X X X 是取自总体N(0,1)的样本，称统计量222212...n X X X χ=+++服从自由度为n 的2χ分布。

（2）t 分布：设X~N(0,1), 2~()Y n χ，且X 与Y
相互独立，则称t =n 的t 分布。

（3）F 分布：设22~(),~()X m Y n χχ，且X 与Y 相互独立，则称//X m
F Y n
=服从自由度为（m,n ）的F 分布。

2.三大抽样分布
（1）设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ是取自X 的一个样本，X 为该样本的样本均值，
则有
2~(,/)X N n μσ
，~(0,1)X U N =
（2）定理2设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ，是取自X 的一个样本，X 与2
S 为该样本的样本均值与样本方差，则有2
2
222
2
1
1
1
()~(1)n
i
i n S X
X n χ
χσσ=-=
=
--∑，
X 与2S 相互独立
（3）定理3 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ，是取自X 的一个样本，X 与2
S 为该样本的样本均值与样本方差，则有2
2221
1
()~()n
i i X n χμχσ
==-∑
，~(1)X T t n =-
练习题：
1.设122,...n X X X 是来自正态总体~(0,1)X N 的样本，求统计量
Y =
的分布。

解：因为21321...~(0,)n X X X N n σ-+++
~(0,1)N
~(0,1),1,2, (2i)
X N i n σ
=
由样本的独立性及2χ分布的定义，有222222
4
(
)(
)...(
)~()n
X X X n χσ
σ
σ
+++
再由样本的独立性以及t 分布的定义，有
~()Y t n =
=
2． 总习题五 14题
3.求样本函数相关的概率问题
练习题：习题5-3 2 总习题五 16、17
第六章重要知识点：
1.矩估计的求法： 设总体X 的分布函数
1(;,...,)k F x θθ中含有k 个未知参数的函数1,...,k θθ，则
（1）求总体X 的k 阶矩
1,...k
μμ它们一般都是
是这k 个未知参数的函数，记为1(,...),1,2,...i i k g i k μθθ==
（2）从（1）中解得1,...(),1,2,...j j k h j k
θμμ==
（3）再用
(1,2,...)i i k μ=的估计量i A 分别代替上式中的i μ，
即可得(1,2,...)j
j k θ=的估计量：
^
1,...(),1,2,...j j k h A A j k
θ==
注：求1
,...,k v v ，类似于上述步骤，最后用
1,...,k B B ，代替1,...,k v v ，求出矩估计
^
(1,2,...)
j j k θ=
2.最大似然估计的求法：
求最大似然估计的一般方法：
（1） 写出似然函数
12()(,,...;)n L L x x x θθ=
（2） 令()0
dL d θθ=或ln ()0d L d θθ=，求出驻点
（3）判断并求出最大值点，在最大值点的表达式中，用样本值代入就得参数的最大似然估
计值。

比如P154 例4—6。

3. 估计量的优良性准则 （1）无偏性
定义1 设
^
1(,...)n X X θ是未知参数θ的估计量，若
^
()E θθ=,则称^
θ为的无偏估计量。

（2）有效性
定义 2 设
^
^
111(,...)n X X θθ=和^
^
221(,...)n X X θθ=都是参数θ
的无偏估计量，若
^
^
12()()D D θθ<,则称^
1θ较^
2θ有效。

4 置信区间
（1）双侧置信区间:
设θ为总体分布的未知参数，
12,,...n X X X 是取自总体X 的一个样本，
对给定的数1α-，
01α<<，若存在统计量12(,,...)
n X X X θθ--=，
12(,,...)n X X X θθ-
-
=，使得_
{}1P θθθα-
<<=-，则称随机区间
_
(,)
θθ-
为θ的
1α-双侧置信区间，称1α-为置信度，又分别称_θ
与θ-
为θ的双侧置信下限与双侧置
信上限。

（2）单侧置信区间：
设θ为总体分布的未知参数，12,,...n X X X 是取自总体X 的一个样本，
对给定的数1α-，
01α<<，若存在统计量12(,,...)n X X X θθ--=，
满足
{}1P θθα
-
<=-，则称
(,)
θ-+∞为θ
的置信度为1α-的单侧置信区间，称θ-为
θ的单侧置信下限；若存在统计量
12(,,...)n X X X θθ-
-
=，满足{}1P θθα-
<=-
则称
(,)θ-
-∞为θ
的置信度为1α-的单侧置信区间，称θ-
为θ的单侧置信上限。

5.寻求置信区间的方法： 一般步骤：
（1） 选取未知参数θ
的某个较优估计量θ∧
（2）围绕θ∧
构造一个依赖于样本与参数θ的函数12(,,...,)n U U X X X θ=
（3）对给定的置信水平1α-，确定
1λ与2λ，使12{}1P U λλα≤≤=-
通常可选取满足1{}2P U α
λ≤=
与
2{}2P U α
λ≥=
的1λ与2λ，在常用分布情况下，这可由分位
数表查得。

（4）对不等式12U λλ≤≤作恒等变形后化为{}1P θθθα-
-<<=-
则
(,)
θθ-
-
就是θ的置信度1α-为的双侧置信区间。

6.置信区间的公式：
(1)0-1分布参数的置信区间：
222
211
(
((22(),2(),()b b a a
a n u
b nX u
c n X αα--=+=--=
(2)设总体
2
~(,)X N μσ，其中2σ已知，μ而为未知参数，12,,...n X X X 是取自总体X 的一个样本。

均值
μ
的1α-置信区间为：（
2
X n ασ
μ-，
2
X n ασ
μ+）
(3)设总体2~(,)X N μσ，其中μ，2σ未知， 12
,,...n X X X 是取自总体X 的一个样本。

均值
μ的1α-置信区间为：
（
2(1)
S X t n n α--，2(1)S
X t n n α+-）
(4)设总体2~(,)X N μσ，其中μ，2σ未知，
12,,...n X X X 是取自总体X 的一个样本。

方差2
σ的1α-置信区间为：
22
22212(1)(1)(,)(1)(1)
n S n S n n ααχχ-----
σ的1α-
置信区间为：
练习题：
习题6-2 第1，2，5，6题习题6-3 第3，4，5，6题习题6-4 第4题 总习题六 第7，8，9，10，16，17，18，20，21题
概率统计考试范围参考第一章随机事件与概率
概率的性质
古典概率与几何概率
条件概率与乘法公式。

全概率公式、Bayes公式，独立性，二项概率。

第二章一维随机变量及其分布
分布函数及性质。

离散型随机变量, 分布列。

常用的离散型分布及性质。

连续型随机变量，密度函数。

常用的连续型分布及性质。

随机变量函数的分布等。

第三章随即向量及其分布
二维随机向量联合分布函数概念及性质。

二维离散型随机向量，联合分布列、边缘分布列。

二维连续型随机向量，联合分布密度，边缘分布密度。

常用的离散型和连续型分布。

边缘分布。

随机变量的独立性。

条件分布不要求。

二维随机向量函数的分布。

连续型随机向量的卷积公式不要求。

第四章随机变量的数字特征
随机变量数学期望、方差、矩的计算和性质
随即向量协方差、相关系数的计算和性质。

条件期望及性质不要求。

第五章大数定律和中心极限定理
切比雪夫不等式。

切比雪夫大数定律、辛钦大数定律、伯努利大数定律。

Levy-Lindberg定理、De Moivre-Laplace定理。

强大数定律以及以概率1收敛不要求
第六章数理统计的基本概念
基本概念（总体、样本、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差、样本矩、顺序统计量。

）
样本均值与样本方差的数字特征。

2
分布、t分布和F分布。

分位数概念并会查表计算。

正态总体的抽样分布
第七章参数估计
矩估计。

最大似然估计。

估计量的评价标准：无偏性、有效性、相合性。

单个和两个正态总体参数的区间估计。

单个正态总体参数的联合区间估计和非正态总体参数的区间估计不要求。

第八章假设检验
假设检验的基本概念、两类错误。

单个正态总体均值及方差的检验，仅要求双边检验。

单边检验不要求。

两个正态总体均值及方差的检验，仅要求双边检验。

单边检验不要求。

非正态总体均值的假设检验和非参数假设检验不要求。

《概率论与数理统计》试题（A 卷）
注意： (1.67)0.9525(2.33)0.99(1.45)0.926Φ=Φ=Φ=
()()0.9750.950.9750.95(7) 2.3646
7 1.8946(8) 2.3060
8 1.8595
t t t t ====
220.950.05220.950.05(7)14.067(7) 2.167(8)15.507(8) 2.733χχχχ====
一、填空题（每空3分，共15分）。

1、设X 服从参数为λ的泊松分布，且1)]2)(1[(=--X X E ，则λ= 1
2、设
()
12,,
,2n X X X n ≥为来自总体
()
0,1N 的简单随机样本,X 为样本均值,2
S 为样本
方差,则
()2
12
2
1n
i
i n X X
=-∑服从的分布是 .
()()
2
122
1~1,1n
i
i n X F n X
=--∑
3、设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则{max{,}P X Y 1}≤=
1/9 .
4、设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,则根据契比雪夫不等式
{}6_____
P X Y +≥≤
{}1
612
P X Y +≥≤
5、设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服从正态分布N
（0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 46 二、（10分）从5双尺码不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率：
（1）所取的4只中没有两只成对；（2）所取的4只中只有两只成对（3）所取的4只都成对
（1）44
54102821C C =（2）1-2445541021221C C C +=（3）
254
101
21C C = 三、(10分)玻璃杯成箱出售，每箱20只。

已知任取一箱，箱中0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。

试求：（1）顾客买下该箱的概率 ；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率 。

解：设事件A 表示“顾客买下该箱”，
i B 表示“箱中恰好有i 件次品”
，2,1,0=i 。

则
8.0)(0=B P ，1.0)(1=B P ，1.0)(2=B P ，1)|(0=B A P ，54
)|(4204191=
=C C B A P ，1912
)|(4204
182=
=C C B A P 。

由全概率公式得
2
0412
()()(|)0.810.10.10.94
519i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯=∑
由贝叶斯公式
000()(|)0.81
(|)0.85
()0.94P B P A B B A P A ⨯=
==
四、（15）设二维随机变量的概率分布为
-1 0 1
-1
0 0.2
0 0.1 0.2 1 0 0.1
其中、、为常数，且的数学期望,,记.
(),X Y Y X a b c a b c X 0.2EX =-{}
000.5
P Y X ≤≤=Z X Y =+
求 (1)
、、的值; (2)的概率分布; (3).
解 (1)由概率分布的性质可知, ,即. 由,可得.
再由
,解得.
解以上关于、、的三个方程可得, . (2)的所有可能取值为-2,-1,0,1,2.则
所以的概率分布为
-2 -1 0 1 2 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1
(3)
.
五、（15）设随机变量X 的概率密度为
()1
1021
0 2
4
0 X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩当当其他
a b c Z {}P X Z =0.61a b c +++=0.4a b c ++=0.2EX =-0.1a c -+=-{}{}{}0,00.1
000.5
00.5
P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤=
==≤++0.3a b +=a b c 0.2,0.1,0.1a b c ===Z {}{}21,10.2
P Z P X Y =-==-=-={}{}{}11,00,10.1
P Z P X Y P X Y =-==-=+==-={}{}{}{}01,11,10,00.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==-+==={}{}{}11,00,10.3P Z P X Y P X Y ====+==={}{}21,10.1
P Z P X Y =====Z Z P {}{}000.10.10.10.2
P X Z P Y b ====++=+=
令2
Y X =,(),F x y 为二维随机变量
(),X Y 的分布函数.
求(1)Y 的密度函数
()
Y f y ; (2)
()
cov ,X Y ;
(3) 1,42F ⎛⎫
- ⎪⎝⎭.
解 (1)Y 的分布函数为
(){}{}
2Y F y P Y y P X y =≤=≤ 当0y ≤时,
()()0,0
Y Y F y f y ==.
当01y <<时,
(
){
{
}{
00Y F y P X P X P X =≤≤
=≤<+≤≤
=
(
)Y f y =
当14y ≤<时,
(){
}{
11002Y F y P X P X =-≤<+≤≤
=
+(
)Y f y =
当4y ≥时,
()()1,0
Y Y F y f y ==.
所以Y 的概率密度为
(
)01140
Y y f y y <<⎪=≤<⎪⎩
当当其他
(2)
()0
210111
244X EX xf x dx xdx xdx +∞
-∞
-==+=
⎰
⎰⎰
()0
2
2
2115
46X EY EX x f x dx x dx +∞
-∞-====
⎰
⎰
()023********
248X EXY EX x f x dx x dx x dx +∞-∞-===+=
⎰⎰⎰
故
(3)
六、（10分）设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。

已知每户每
天用电量（单位：度）在[0，20]上服从均匀分布。

现要以0.99的概率满足该地区居民供应电量的需求，问供电站每天至少需向该地区供应多少度电？ 解：设第K 户居民每天用电量为
k X 度，1000户居民每天用电量为X 度， =k EX 10，
12202
=
k DX =。

再设供应站需供应L 度电才能满足条件，则
99
.0)12
201000101000(
}{2
=⨯
⨯-Φ=≤L L X P
即
33
.23
/10000010000
=-L ，则L=10425度。

七、（10分）化肥厂用自动打包机装化肥，某日测得8包化肥的重量（斤）如下： 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 101.4 100.5
已知各包重量服从正态分布N （2
,σμ）
（1）是否可以认为每包平均重量为100斤（取05.0=α）？ （2）求参数2
σ的90%置信区间。

解、需要检验的假设
0:100H μ= 1:100H μ≠
检验统计量为
X t =
，
计算可得：
99.98, 1.05,0.063
n x x S t ===
=-
()2cov ,3X Y EXY EX EY =-⋅=
2111,4,4,4222F P X Y P X X ⎛⎫⎧⎫⎧⎫
=≤-≤=≤-≤⎨⎬⎨⎬
⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭1111,22212224P X X P X P X ⎧⎫⎧⎫⎧
⎫=≤-≤≤=-≤≤-=-≤≤-=
⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩
⎭
()0.97512
(1)7 2.3646
t
n t α
-
-== ，
)
1(2
-≤n t t α 故接受原假设。

（2）1.0=α ，n=8 查表得2
0.95
(7)14.067χ=，2
0.05(7) 2.167χ=
2 1.102n S = 故置信区间为
22
22122,[0.627,4.068]
(1)(1)n n
nS nS n n ααχχ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
八、（15分） 设总体X 的密度函数是θ
θθ|
|21);(x e
x f -=，其中θ 00是参数。

样本n X X X ,...,,21来自总体X 。

(1) 求θ的矩估计
ˆM θ；
(2) 求θ的最大似然估计ˆL θ；
(3) 证明ˆL θ是θ的无偏估计，且ˆL θ是θ的相合估计（一致估计）。

解：（1）0
21|
|==⎰∞
+∞--dx xe EX x θ
θ，
20
20000202|
|22
22222121θθθθθθθθθθθθθ
=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-===∞
+-∞+-
∞
+-∞
+-∞
+-∞+-∞
+∞--⎰⎰⎰⎰x
x
x
x
x x
x e dx e e x dx
xe e x dx
e x dx e x EX ，
ˆM
θ=或：
()22
2
2θ=-=EX EX DX ，*22ˆ2n S DX θ∧
===
，
*
ˆM θ= （2）似然函数：∏=-=n
i x i e L 1|
|21θ
θ，()∑==-
n
i i x n
e L 1|
|21θθ，
∑=--=n i i x n L 1
1)2ln(ln θθ
()∑=+-=n i i x n L d d 121
ln θ
θθ， 令，0ˆ1ˆ12=+-∑=n i i x n θθ，11ˆn L i i X n θ==∑ （3）θθθθθθθ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+∞
-∞+-+∞-∞+-⎰⎰
00001x x x x e dx e xe dx xe X E 11ˆn L i i E E X E X n θθ====∑，ˆL θ是θ的无偏估计， 2
222θ==EX X E ，
()222222θθθ=-=-=X E EX X D ，()n n X D X n D n i i 21
1θ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑= {}
22ˆˆ1L L P E n θθθεε-<≤→，ˆL θ是θ的相合估计。