(新教材学案)第5章5.45.4.3正切函数的性质与图象含答案

5.4.3 正切函数的性质与图象

学 习 任 务

核 心 素 养

1．能画出正切函数的图象．(重点) 2．掌握正切函数的性质．(重点、难点)

3．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点)

1．借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养．

2．通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养．

学习了y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质后，明确了y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值．

问题：类比y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质． (1)y ＝tan x 是周期函数吗？有最大(小)值吗？ (2)正切函数的图象是连续的吗？ 知识点 正切函数的图象与性质 解析式 y ＝tan x

图象

定义域

⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x ⎪

⎪⎪

x ∈R ，且x ≠

π

2＋k π，k ∈Z

值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 对称中心 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

k π2，0，k ∈Z 单调性

在每一个区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 上都单调递增 正切函数在整个定义域上都是单调递增的吗？

[提示] 不是．正切函数在每一个区间⎝ ⎛

⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是单调递增

的．但在整个定义域上不是单调递增的．

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R .( )

(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．( ) (3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x ＝k π±π

2，k ∈Z .( ) [答案] (1)× (2)√ (3)×

2.函数y ＝tan 2x 的定义域为________，周期为________．

⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

x ≠π4

＋k π

2，k ∈Z

π2 [由2x ≠π2＋k π可知x ≠π4＋k π2，k ∈Z ，T ＝π

2.]

类型1 正切函数的奇偶性与周期性

【例1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫－4x ＋π3的最小正周期为( )

A ．π

4 B ．π

2 C ．π

D ．2π

(2)函数f (x )＝sin x ＋tan x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数

D ．既是奇函数又是偶函数

(1)A (2)A [(1)T ＝π|－4|＝π

4，故选A.

(2)由题意可知，自变量x

的取值范围为⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

x ≠π

2＋k π，k ∈Z

. 又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，故选A.]

1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法

(1)定义法．

(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π

|ω|.

(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．

2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法

先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．

[跟进训练] 1．(1)函数f (x )＝tan x

1＋cos x

( )

A ．是奇函数

B ．是偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．既不是奇函数也不是偶函数

(2)若函数y ＝3tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期是π2，则ω＝________.

(1)A (2)±2 [(1)由题意可知， ⎩⎪⎨⎪⎧

x ≠π2＋k π，k ∈Z

cos x ＋1≠0，∴x ≠π

2＋k π，且x ≠π＋2k π，k ∈Z .

又f (－x )＝

tan (－x )1＋cos (－x )＝－tan x

1＋cos x

＝－f (x )，

∴f (x )为奇函数，故选A. (2)由π|ω|＝π

2可知ω＝±2.] 类型2 正切函数的单调性

【例2】 (1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________． (2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π4－2x 的单调区间．

(1)当变量α，β不在同一单调区间时，如何比较tan α与tan β的大小关系？ (2)求y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的单调区间时应注意哪些问题？

(1)tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1 [y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2，3π2上是单调增函数，且

tan 1＝tan(π＋1)，

又π2＜2＜3＜4＜π＋1＜3π

2， 所以tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1.]

(2)[解] y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x －π4，

由－π2＋k π＜2x －π4＜π

2＋k π，k ∈Z 得， －π8＋k π2＜x ＜3π8＋k π

2，k ∈Z ，

所以y ＝3tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π4－2x 的单调递减区间为－π8＋k π2，3π8＋k π2，k ∈Z .

1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω≠0，且A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法

(1)若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是单调递增的，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π

2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．

(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．

2．运用正切函数单调性比较大小的步骤

(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．

提醒：y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)只有增区间；y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＜0，ω＞0)只有减区间．