石家庄市2011～2012学年度第一学期期末考试试卷

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石家庄市2011～2012学年度第一学期期末考试试卷
高二数学(文科)
(时间l20分钟，满分150分)
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线y 2
=8x 的焦点坐标是
A ．(2，0)
B ．(4，0)
C ．(0，2)
D ．(0，4) 2．“x =1”，是“(x-1)(x +2)=0”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件 c ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．曲线Y=x 3
—2x+1在点(1，0)处的切线方程为 A ．Y=x-l B ．Y=-x+1 C ．Y=2x-2 D ．Y=-2x+2 4．右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是
A ．62
B ．63
C ．64
D ．65
5．由点P(2，3)向圆x 2
+y 2
=9引切线，则切线长为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
6．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是
A. 81
B.83 c. 85 D ．8
7
7．执行右图所示的程序框图，输出的S 值是 A ．13 8．14 C ．15 D ．16
8．椭圆5x 2
+y 2
=5的一个焦点是(0，2)，那么k= A ．-l B ．1 c ．5 D ．-5
9．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥 而不对立的两
个事件是
A ．至少有一个黑球与都是黑球
B ．至少有一个黑球与都是红球
C ．至少有一个黑球与至少有一个红球
D ．恰有一个黑球与恰有两个黑球 l
10．已知样本9，10，11，x ，y 的平均数是l0，标准差是2，则xy= A ．95 B ．96 C ．97 D ．98
11．若F 1、F 2为双曲线C ：x 2
-y 2
=1的左、右焦点，点P 在曲线C 上，∠F 1PF 2 =600
，则 ∣PF 1∣∙∣ PF 2∣=
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
12．圆x 2
+2x +y 2
+4y 一3=0上到直线x+y+1=0的距离等于2的点共有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题“0932,2 +-∈∃ax x R x ”为假命题，则实数a 的取值范围为 .
14．某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知抽取高一年级学生75人，抽取高二年级学生60人，则高中部共有学生的人数为 . 15．函数y=3x+2cosx 在区间[0，
2
π
]上的最大值是 . 16．过抛物线y 2
=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，∣AF ∣=2， 则∣BF ∣= .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题．
(I)在79．5～89．5之间的频率、频数分别是多少? (Ⅱ)估计这次环保知识竞赛的及格率(60分及以上为及格)．
18．(本小题满分12分)
动圆C 截直线3x-y=0和3x+y=0所得弦长分别为8、4，求动圆圆心C 的轨迹方程．
19．(本小题满分12分)
已知函数c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0，1)，且在x=1处的切线方程是y=x-2．
(I)求函数)(x f 的解析式； (Ⅱ)求函数)(x f 的单调递增区间．
20．(本小题满分12分)
一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验．收集数据如下：
(I)请画出上表数据的散点图；
(Ⅱ)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程
a x
b y
+=；
(Ⅲ)现需生产20件此零件，预测需用多长时间?
(注：用最小二乘法求线性回归方程系数公式x b y a x
n x y
x n y x b n
i i n
i i
i
-=--=
∑∑==,1
2
2
1)
21．(本小题满分12分) 已知a ∈(0，6)，b ∈(0，6) (I)求∣a-b ∣≤1的概率；
(Ⅱ)以a ，b 作为直角三角形两直角边的边长，则斜边长小于6的概率．
22．(本小题满分12分)
已知椭圆C ：)0(12222 b a b y a x =+的离心率为36
，右焦点为(2，0)．
(I)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)若过原点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 交于A ，B 两点，求证：点O 到直线AB 的距离为定值．
石家庄市2011～2012学年度第一学期期末考试高二数学（文科答案） 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1～5 AAACA 6～10 DCBDB 11～12 BC 二、
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分..
13. [－22，22]； 14．3700； 15． 3π
2； 16．2 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17.(本小题满分10分)
解：（Ⅰ）频率为0.025×10＝0.25;………………3分 频数为60×0.25＝15.
所以在79.589.5之间的频率、频数分别是0.25和15.……………5分 （Ⅱ）0.015×10＋0.025×10＋0.03×10＋0.005×10＝0.75 所以估计及格率为0.75. …………………10分 18. .(本小题满分12分)
解：设点C (x ，y )，圆C 的半径为r ， 则点C 到直线30x
y -=的距离为1d =
， ……………3分
点C 到直线30x
y +=的距离为2d =
,…………6分
依题意
2
2
164+=+ ……………9分 化简整理，得x y ＝10.
动圆圆心C 的轨迹方程为x y ＝10. ………………12分 19. .(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）c bx ax x f ++=2
4
)(的图象经过点(0,1)， 则1c =，………………2分
'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=…………4分 切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)- 得591,,22
a b c a b ++=-=
=-得 42
59()122
f x x x =
-+.……………………6分 （Ⅱ）因为'3()109f x x x =-，
3109x x -
0,>…………………9分
解得0,1010
x x -
<<>或
所以函数(f x ）
单调递增区间为(,0),()1010
-+∞.………………12分 20. .(本小题满分12分)
解： （Ⅰ）散点图略…………………4分
（Ⅱ）1234
2.54
x +++=
=；
23584.5
4
y +++==…………………6分 4
1
4
2
2
1
42+6+15+32-4 2.5 4.5
=2(14916)4 2.5 2.5
4i i
i i
i x y
xy
b x
x ==-⨯⨯=
=+++-⨯⨯-∑∑（）.
ˆa
y bx =-＝4.5－2×2.5＝－0.5 所以ˆ20.5y
x =-.……………9分 （Ⅲ）因2200.539.5y =⨯-=(小时)
所以生产20件此零件，预测需用39.5小时.………12分
21. .(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）若点)6,0(,∈b a ，则点位于正方形OABC 内（不含边界）；……2分
若1≤-b a ，点)6,0(,∈b a 位于直线a -b =1和 a +b =1之间（含边界）.……4分
所以满足1≤-b a 的概率为1
552
2511
211363636.
⨯⨯⨯--=
………………6分 （Ⅱ）由已知a 2＋b 2＜36, )6,0(,∈b a ,
则满足题意的点位于阴影部分（不含边界），……………9分
则2
1
64=.364
⨯π⨯π
以b a ,作为直角三角形两直角边的边长，
斜边长小于６的概率为.4
π
……………12分
22. .(本小题满分12分)
解：
（Ⅰ）由已知2223.c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪
=⎨⎪-=⎪⎪⎩ ……………2分
解得 1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
所以，所求椭圆方程为
2
213
x
y +=.…………………4分 （Ⅱ） 设11()A x y ，，22()B x y ，， 若k 存在，则设直线AB ：y ＝kx ＋m.
由22
33
y kx m
x y =+⎧⎨+=⎩，得 222(13)6330k x kmx m +++-=
△ ＞0，122
2
1226133313km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………7分 有OA ⊥OB 知x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(k x 1＋m ) (k x 2＋m ) ＝(1＋k 2) x 1x 2＋k m (x 1＋x 2)
＝0 ………………………9分
代入，得4 m 2＝3 k 2＋3 原点到直线AB 的距离d
=
.………………………10分 当AB 的斜率不存在时，11x y =,
可得1x d =
=，依然成立． 所以点O 到直线AB
的距离为定值2
．………………12分。