(整理)偏微分方程word电子讲义.

偏微分方程
偏微分方程是一个非常广泛的课题，它包含分析的许多方面内容。

就我们现在的知识水平来说，我们只了解很少一点东西。

从十八世纪初开始，人们就开始结合物理、力学问题来研究偏微分方程，最早研究的几个方程是弦振动方程、热传导方程及调和方程，这部分理论已经被彻底地研究了，而且近乎完备，把它们称为偏微分方程的古典理论。

十八世纪后期在连续介质力学中研究流体的运动规律，在考虑流体的粘性时，描述运动规律的方程称为Navier-Stokes方程组，而在不计流体的粘性时，称为Euler方程组。

在此时期，描述弹性体运动规律的方程称为Saint Venant方程组。

到了十九、二十世纪，人们发现了描述电磁场运动规律的Maxwell方程组，描述微观粒子运动规律的Schrodinger方程及Dirac方程组，广义相对论中确定引力场的基本方程Einstein方程以及基本粒子规范场理论的基本方程Yang-Mills方程，在微分几何中研究极小曲面的极小曲面方程等等。

随着科学理论变得复杂，所提出的偏微分方程就愈多而且更加变化多端，可能出现的偏微分方程和方程组类型之多是出于想象的。

我们的目的是介绍现代偏微分方程理论中用到的一些技巧和方法。

众所周知，一本偏微分方程的书只能包括已有的基本材料的一小部分，因此我们必须作出选择，如何选择不是立足于逻辑基础上的，这种选择的主观性是相当明显的。

偏微分方程的内容是研究偏微分方程解的各种性质。

通常考虑以下问题
1．对单个方程或方程组，应配以怎样的初值条件与边值条件使之具有解，这是解的存在性问题。

在研究解的存在性时，要明确解赖以存在的函数类。

2．解的唯一性或究竟有几个解，要明确使解为唯一的函数类。

3．解的正则性或光滑性。

是否为古典解、强解还是弱解？解具有几阶可微性？
4．解的连续依赖性，必须明确是什么空间、什么范数实现的。

通常考虑的是解关于初、边值或关于方程系数，或在方程为线性时关于自由项的连续依赖性。

5．定解区域与影响区域。

6．解的间断线、激波线和激波面。

7．极值原理。

8．其它性质。

9．解如何逼近？如何计算？这属于微分方程与计算数学的边缘分支。

偏微分方程研究的重点是解的存在唯一性和正则性，这是最基本的内容。

从偏微分方程的发展来看，最初人们试图用研究常微分方程的一套方法来研究偏微分方程。

简单
的常微分方程总能通过积分来求得通解，复杂一些的常微分方程虽然不能简易地求得通解，但通解总是存在的。

对于带有初、边值条件的特解，可把条件代入通解中，决定出通解中任意常数而得到。

上述方法能否搬到偏微分方程的求解过程中去。

简单的偏微分方程可以求得通解，如0xx yy u u -=的通解为()()u F x y G x y =++-，, F G 为任意函数。

用这样的通解来定出满足初、边值条件的特解还是比较便于应用的。

一阶偏微分方程能套用常微分方程求通解再定特解的方法。

线性一阶方程用特征线解法，非线性一阶方程用特征带解法以及Hamilton-Jacobi 方法, 所以一阶偏微分方程的解法，常附在常微分方程的最后。

高阶方程开始也是按通解的想法研究。

代表性的成果是Cauchy-Kovaleskaya 定理，就二阶方程
0001(,,,,,,)
(,)()
(,)()
yy x y xx xy y
u F x y u u u u u u x y x u x y x ϕϕ=⎧⎪
=⎨⎪=⎩ 来说结果是：当01, , F ϕϕ均为解析函数时，这个问题有一解析解。

这是一个类似于通解的解，结果是十分一般的，但用处不大。

以后发展到分型研究，我们主要介绍典型的二阶方程，即椭圆、双曲、抛物型线方程，这方面的研究是很深入的，可以说是已经基本成熟了。

设自变量为12,,
,(2)n x x x n ≥，未知函数为
12(,,,)n u u x x x =，则关于u 的偏微分方程的一般形式是
1(,
,,,,
,)0N n F x x u Du D u =
其中F 是其变元的已知函数，Du 简记u 的一阶偏导数
1
(
,,
)n
u
u Du x x ∂∂=∂∂， 而一般地(2,
,)k
D u k N =简记u 的k 阶偏导数
11211(,,,,0n
k k
n n k k n
u
D u k k k k k k x x ∂=+++=≥∂∂为整数）
在偏微分方程中所含未知函数u 的偏导数的最高阶数，称为偏微分方程的阶。

如果在一个偏微分方程（组）中，所有的未知函数及其一切偏导数都是线性地出现的，则称这个偏微分方程（组）为线性偏微分方程（组），否则称为非线性偏微分方程（组）。

如果所考察的非线性偏微分方程（组）对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的，则称其为拟线性偏微分方程（组）。

对于拟线性方程（组），其含有未知函数的一切最高阶偏导数的部分，即主部，除了可能依赖于自变量外，还可能依赖于未知函数及其较低阶的偏导数。

特别，若这些系数只是自变数的函数，而和未知函数及其偏导数无关，则称此偏微分方程（组）为半线性偏微分方程（组）。

对二阶线性偏微分方程
2,11n
n
ij i
i j i i j i u u a b cu f x x x ==∂∂++=∂∂∂∑∑ 其中,(,1,,)ij i a b i j n =，c 及f 是n 维空间12(,,
,)n x x x 的某区域Ω中的函数，(,1,
,)ij a i j n =不
同时为零，且不失一般性可设ij ji a a =. 引入二次型
,1
()n
ij
i
j
i j Q a λλλ
==
∑
若在区域Ω中的一点0
01(,
,)n p x x ，二次型()Q λ为正定或负定，则称方程在p 点为椭圆型；若二次
型()Q λ在p 点为退化，且其特征值只有一个为零，而其余特征值有同一符号，则称方程在p 点为抛物型；若二次型()Q λ在p 点不退化，又不为正定或负定，且有1n -个特征值具有同一符号，则称方程在p 点为双曲型。

还可能出现更复杂的情况。

二次型()Q λ在p 点既不退化，又不正定或负定，而正、负特征值的个数都不止一个，这时方程称为在p 点为超双曲型；二次型()Q λ在p 点退化，但有好几个特征值为零，而其余的特征值同号，这时方程在p 点为超抛物型。

如果考察整个区域Ω，就有：（1）若在Ω中的每一点，方程都是双曲型，称方程在区域Ω中为双曲型。

（2）若在Ω中的每一点，方程都是抛物型，就称方程在区域Ω中为抛物型。

（3）若在Ω中的每一点方程都是椭圆型，就称在Ω中方程为椭圆型。

（4）若在Ω中的一部分区域方程为双曲型，在另一部分区域上方程为椭圆型，在区域的分界线上，方程为抛物型，这种类型的方程称为混合型方程。

例如
22
222
0 (0)u u a a t x ∂∂-=>∂∂ 2
220 (0)u u a a t x ∂∂-=>∂∂ 22220u u
x y
∂∂+=∂∂ 在平面区域Ω上分别为双曲型、抛物型、椭圆型方程。

而Tricomi 方程
22220u u
y x y
∂∂+=∂∂ 在上半平面0y >为椭圆型，在下半平面0y <为双曲型，而在0y =为抛物型，它在整个平面上就是一个混合型方程。

分型研究在偏微分方程研究上是进了一步。

研究偏微分方程的方法是很多的，例如 1．位势论 2．积分方程法 3．变分法 4．差分法
5．闸函数法 6．上、下解的方法 7．连续延拓法 8．泛函方法
我们不可能介绍所有的方法，只能侧重于主观上认为重要的部分。

在偏微分方程分型研究后发现了无解方程，在偏微分方程的基础理论上，又跨进了一步。

偏微分方程的通解是难求的，但长期以来，对各类偏微分方程求若干特解是并不困难的，因此，在一段时期
里人们相信，除了属于无意义的情况，如22
10x y u u ++=无实解外，每一偏微分方程有一大类解是不成
问题的，特别是相信一般线性方程
||()()()m
a x D u x f x ααα
≤=∑ 其中1||1121, ||, (,,
,)n n n
n
D x x αα
ααααααααα∂==++=∂∂，总有一大类解。

但是，事实并非如
此，例如
2222
2222
2222
11exp(), 0;1[()()]4 0, 0.
t x y x y u t t x y t y x t t t ⎧->⎧⎫∂∂∂∂∂∂∂⎪++++-+=⎨⎬⎨∂∂∂∂∂∂∂⎩⎭⎪≤⎩ 没有任何实解，不仅没有古典解，也没有任何强解和弱解，参见：
1．L. H örmander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963. 2．M. Schechter, Modern Methods in Partial Differential Equations, Mcgraw-Hill, 1977. 3．陈亚浙，吴兰成，二阶椭圆型方程与椭圆型方程组，科学出版社，1991.
4．D. Gilbarg and N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, 1983.
第一章 线性椭圆方程的Schauder 理论
我们讨论Dirichlet 问题
() |()
n
L u f x R
u x ϕ∂Ω⎧=Ω⊂
⎨
=⎩于有界区域 （1.1）
古典解的存在性，其中L 为线性椭圆算子
()()()ij ij i i Lu a x D u b x D u c x u =++
这里先用下面的定理来引出要做的主要事情。

定理1.1（连续性方法）设B 是Banach 空间，V 是线性赋范空间，0L 和1L 是V →B 的有界线性算子，对于[0,1]t ∈，令
01(1)t L t L tL =-+
如果存在常数c 使得对于[0,1]t ∈成立
t V u c Lu u ≤∀∈B B
则1:L V →B 为满射的充要条件是0:L V →B 为满射 证明：只须证明：存在常数
0δ>，使对任意[0,1]s ∈，只要s L 是满射，则对
[,][0,1]t s s δδ∈-+，t L 是满射。

假设对某[0,1]s ∈，s L 是满射的，由s V u
c L u ≤B
知s L 是单射的，于是s L 是双射，存在逆映
射1
:s L V -→B 。

要证对v V ∀∈以下方程有解u ∈B ：
t L u v =
此方程等价于
01()()()s s t L u v L L u v t s L u t s L u =+-=+---
等价于
11
01()()s s u L v t s L L L u Tu --=+--≡
而
()1121
1
2
||s
Tu Tu t s L L
L u u
--≤-+-
可见当
()
101
||2t s c L L δ-≤=
+
则t L 在[,][0,1]s s δδ-+是满射的。

证毕 设在（1.1）0ϕ≡如取0L =∆，并考虑
|0u f u ∂Ω
∆=Ω⎧⎨=⎩于 （1.2）
而取1L 为（1.1）中方程左端的算子，则从定理1.1，为建立问题（1.1）的可解性，需要 1．适当地选取空间B 和V 2．对t L 建立先验估计, t V u
c Lu u ≤∀∈B
B
3．证明0:L V →B 为满射，即建立Poisson 方程Dirichlet 问题（1.2）的可解性。

我们适当选取的空间B 和V 实际上都属于所谓的H ölder 空间。

定义1.1引入半范
0,0,[]||sup |()|u u u x ΩΩΩ
==
,,|()()|
[]sup
, 01||x y x y
u x u y u x y αα
αΩ∈Ω
≠-=<≤- 如,[]u αΩ<∞，则称u 在Ω上具有指数为α的H ölder 连续性，,[]u αΩ称为u 的H ölder 系数。

1,0,||[]||, (,
,)n m m
u D u ββ
βββΩΩ
==
=∑为多重指标
,,,||[][]m m
u D u βααβ
ΩΩ
==
∑
定义1.2对非负整数k 和实数(0,1]α∈，引入以下空间 ,,0
(){:||[]
}k
k
k m m C u u u ΩΩ
=Ω==
<∞∑
,,,,,,(){:||||[]}k k k k C u u u u αααΩΩΩΩ==+<∞
一般记0()(
)C C Ω=Ω，0,()()C C α
αΩ=Ω. 显然()k C Ω和,()k C αΩ都是Banach 空间，并且
,1()()()k k k C C C α+Ω⊃Ω⊇Ω。

定义1.3（1）称
2
11
(), 0(2)||n n x x n n x ω--Γ=
≠-
为Laplace 方程0u ∆=的基本解，其中n ω是, 3n
R n ≥，内单位球的体积。

（2）设f 是有界可积的，则
()()()u x x y f y dy Ω
=Γ-⎰
称为f 的Newton 位势。

有关Γ的事实为 （1）1
(), 0||i i
x n n x x x n x ωΓ=
≠
（2）21(), 0||||i j ij
i j x x n n n nx x x x n x x δω+⎛⎫Γ=-≠ ⎪⎝⎭
（3）()0, 0x x ∆Γ=≠
定理1.2（1）若f 在Ω内连续，∂Ω分片光滑，则1
()()u x C ∈Ω且
()()(), 1,2,,, i i x x u x x y f y dy i n x Ω
=Γ-=∈Ω⎰
（2）若()f x 在Ω内是H ölder 连续的（指数为α，01α<≤），则2
()()u x C ∈Ω且
()()[()()]()()cos(,)i j i j i x x x x x j u x x y f y f x dy f x x y v y ds Ω
∂Ω
=Γ---Γ-⎰⎰
这里∂Ω分片光滑，v 为∂Ω的外法线方向。

（3）在（2）的条件下()u x 满足
()(), u x f x x ∆=∈Ω
证明（1）p n ∀<，积分
1
||p dx x Ω⎰收敛，其中Ω为包含原点的有界区域。

这样f 在Ω连续时，
()()i x x y f y dy Ω
Γ-⎰
一致收敛，这样有
()()()i i x x u x x y f y dy Ω
=Γ-⎰
（2）取l j ≠，记{:||}l l y x y εεΩ=∈Ω-≥，因
()lim ()()i i x D u x x y f y dy ε
εΩ→=Γ-⎰
我们形式地有
0()l i m ()()()i
i j j x
D u
x D x y f y d y
x ε
εετΩ→=Γ-≡⎰
（1.3）
为了使（1.3）式确实成立。

只须证明积分()x ετ对x 是局部一致收敛的。

对x '∀∈Ω⊂⊂Ω
()()[()()]()()i j i j x x x x x x y f y f x dy f x x y dy εε
ετΩΩ=
Γ--+Γ-⎰
⎰
{:||}
()[()()]()
()cos(,)i j i l l x x x j y x y x y f y f x dy f x x y v y ds ε
εΩ∂Ω-≥=Γ---Γ-⎰
⎰
12εεττ=+ 积分1ετ是一致收敛的，因为
[]||()(()())||i j x x n
c f y x x y f y f x x y α
α-Γ--≤-
积分2ετ无奇性，因为x ∈Ω，y ∈∂Ω，从而（1.3）式确实成立，这样
()()(()())()()cos(,)i j i j i x x x x x j u x x y f y f x dy f x x y v y ds Ω
∂Ω
=Γ---Γ-⎰⎰
(3) 因为
()()(()())()()cos(,)i x i u x x y f y f x dy f x x y v y ds Ω
∂Ω
∆=∆Γ---Γ-⎰⎰
上式左端第一项为零。

为计算第二项中的曲面积分，注意
()
()
0()()cos(,)()cos(,)i i y y i y i B x B x x y dy x y v y ds x y v y ds ρρΩ-∂Ω
∂=∆Γ-=Γ--Γ-⎰
⎰
⎰
而在球面上
()
()cos(,)1i y i B x x y v y ds ρ∂Γ-=-⎰
所以
()()u x f x ∆=
定理1.3（内部估计）设0
1()R B B x =，0
22()R B B x =，2
2()f C B ∈，01α<<，()u x 是f 的
Newton 位势，则2,1()u C
B α
∈，且
1222,,0,,[](,)([][])B B B u C n R f f αααα-≤+
证明：对1,x x B ∈，设||x x δ=-，则只须证
220,,|()()|(,)()[][]ij ij B B D u x D u x C n f f R αααδαδ⎛⎫
-≤+ ⎪⎝⎭
取2
x x
ξ+=
则由定理1.2有 ()
()
()()()(()())()(()())i j i j ij ij x x x x B B D u x D u x x y f x f y dy x y f x f y dy δδξξ-=-Γ--+Γ--⎰
⎰
22()
()
(()())(()())()(()())i j i j i j x x x x x x B B B B x y x y f y f x dy x y f x f x dy δδξξ--+
Γ--Γ---Γ--⎰
⎰
2
2
()(()())cos(,)(()())()cos(,)i i i x x j x j B B f x x y x y v y ds f x f x x y v y ds ∂∂-Γ--Γ-+-Γ-⎰
⎰
6
1
k
k I
==
∑
下面分别估计各个积分, 1,2,
,6k I k =
221,()()[][]||[]||||n n B B B x C f C f I dy dy C f x y x y δδα
α
ααα
αξδ--≤≤≤--⎰
⎰ 类似可得
22,||[]B I C f ααδ≤
对于3I ，由中值定理，知在x 与x 的连续上有ˆx
使 231()||[]||||ˆ||n B B x x f x y I C dy x y δα
αξ+---≤-⎰ 注意()y B δξ∈，故1ˆ||||2x
y y ξ-≥-，3
||||2
x y y ξ-≤-，于是 31/()||[][]||n n R B dy I C f C f y δα
ααα
ξδδξ+-≤=-⎰ 对于4I ，由分部积分可得
2
4()
||[]{|()||()|}i i x x B B I f x y ds x y ds δααξδ∂∂≤Γ-+Γ-⎰
⎰
而当2y B ∈∂时，因1x B ∈，故||x y R -≥；当y B δ∈∂时，因1x B ∈，故||2
x y δ
-≥
，于是
2411||[]{
}[]n n B B C C I f ds ds C f R δαα
ααδδδ
--∂∂≤+≤⎰⎰ 类似可得
6||[]I C f ααδ≤
对5I ，注意由中值定理，在x 与x 之间存在ˆx
使
2
50ˆ|||||||()|i x B I f x x x
y ds ∂≤-∇Γ-⎰
而当2y B ∈∂，1ˆx
B ∈时ˆ||x y R -≥，这样 220500
||1||||||()ˆ||n n B B f I C f ds C ds C f x y R R
α
δδδ∂∂≤≤≤-⎰
⎰ 定理1.4（靠边估计）设0
1()
n R B B x R +
+=，0
22()
n R B B x R ++=，0n x R +∈，2()()f x C B α+
∈，
01, ()u x α<<为()f x 的Newton 位势，则2,1()()u x C B α+∈且
1
2
2
2,,0,,[]([][])B B B u C R f f ααα+++-≤+
证明与定理1.3相仿，首先，当2i j n +<时，由定理1.21x B +∀∈有
2
2{:0}
()()(()())()()cos(,)i j i n ij x x x j B B x x D u x x y f y f x dy f x x y v y ds +
∂>=Γ---Γ-⎰
⎰
为此注意
22
()cos(,)()cos(,)i j x j x i B B x y v y ds x y v y ds ++∂∂Γ-=Γ-⎰
⎰
2{:0}
()cos(,)0 i n x k B x x x y v y ds k n +∂=Γ-=∀<⎰
然后，仿定理 1.3的证明，可以估计出[], kk D u k n α∀<. 最后，利用方程u f ∆=和上面所得的
[] ()kk D u k n α<的估计，便可估计出[]nn D u α
下面我们来推导解的先验估计，即得出所谓Schauder 估计。

我们按如下步骤来做： 1．对Poisson 方程具紧支集的解：利用Newton 位势。

2．对常系数方程具紧支集的解：利用用坐标变换 3．对变系数方程具小支集解：利用摄动方法
4．对变系数方程解，去掉小支集限制：引进内部范数。

定理1.5设2,0()R u C B α
∈满足u f ∆=于R B ，则
2,,0,,[]([][]), (,)R R R B B B u c R f f c c n αααα-≤+=
证明：由定理1.2，取R B Ω=，且将u 零延拓到R B 之外，有
()()()()()()()n
n
R R u x x y u y dy y u x y dy y u x y dy Ω
=∆Γ-=∆Γ-=Γ∆-⎰⎰
⎰
2()()()()n
R
R B y f x y dy x y f y dy =
Γ-=Γ-⎰
⎰
再由定理1.3便得求证.
定理1.6设常系数(,1,
,)ij ji a a i j n ==满足
22||||ij i j a λξξξξ≤≤∧，n R ξ∀∈
其中常数0λ∧≥>。

若2,0()R u C B α
∈满足方程
0()ij ij L u a D u f x == （1.4）
则
2,,0,,[]([][]), (,,,)R R R B B B u c R f f c c n ααααλ-≤+=∧
证明：不妨设0
0x =。

令y Tx =，T 为待定的常矩阵，则（1.4）化为
20ij i j
u
L u a f y y ∂==∂∂ 于R B （1.5）
其中R B 为包含R TB 的球，（可取R R λ
=
），1
(())u uT y -=
，1
()()f y f T y -=，都零延拓到R B 上，
而()ij A a T AT '==，()ij A a =. 选择满秩矩阵T ，使T AT I '=（单位矩阵），则（1.5）化为Poisson 方程，从而由定理1.5得出u 在y 坐标下的估计，其中(,)c c n α=，再回到x 坐标系，便得求证。

现在考虑一般的线性方程
()()()(i j i j i i L u a x D u b x D u c
x u f x =++=，于Ω 假设其系数满足如下条件：
（E1）方程是一致椭圆的，即()()ij ji a x a x =且存在常数,0λ∧>使
22||()||ij i j a x λξξξξ≤≤∧，x ∀∈Ω，n R ξ∀∈
（E2）
,,,1,1||
||||, (0,1)ij i i j n
i n
a
b c αααααΩ
ΩΩ≤≤≤≤++≤∧∈∑∑，α∧为已知常数
引理1.7若,()u v C α
∈Ω，则
00[][][][][]||||u v u v u v u v ααααα⋅≤+≤
引理1.8（内插不等式）设2,0(), ()u C B B B x αρρρ∈=，则存在00(,)n εεα=，使对0(0,]εε∀∈都有
2()()2()
,2,0[][](,)||k k k k k u u c n u β
αββαββαεραε
ρ+-
+-+-++-+≤+
其中0β=或α, 0,1,2, 2k k βα=+<+ 证明：仅就两种情形来证，其余类似. 1）当2,0k β==时
对任意y B ρ∈和任意(0,]σρ∈，存在x B ρ∈，使得()y B x B σρ∈⊆。

由于
()
()
cos(,)i i B x B x D udx u v x ds σσ∂=⎰
⎰
按积分中值定理，有()y B x σ∈，使
0|()|||i n
D u y u σ
≤
但
|()||()()||()|i i i i D u y D u y D u y D u y ≤-+
0[]||||n
Du y y u ββσ
≤-+
故
11,01
[]()([][]), 01u c n u u ββσβσ
≤+
<≤
同理可得
22,11
[]()([][]),0u c n u u ααδδρδ
≤+∀<≤
取, 1σμδβ==，由上面可得
2122,20[]()([][]()||)u c n u u u ααδμμδ-≤++
取()n μμ=使1
()2
c n μ=
，由上式得 22,02,02
22
1
1
[]()([]||)(,)([]||)u c n u u c n u u αααααδαδμδ
μδ
≤+
≤+
2,02
1
(,)([]||)c n u u α
αασσ=+
设, (0,1]k k σρ=∈，取0(,)c n εα=，0k α
εε=，则
222,02
(,)
[][]||c n u u u ααα
αερρε-≤+
2）当0, k βα==时
对x B ρ∀∈，0, x B ρηρ∀<≤∃∈使()x B x B ηρ∈⊆，那么对y B ρ∀∈得：若2()y B x B ηρ∈，
则
1101|()()|[]||(3)[]||
u x u y Du x y u x y αα
α
η---≤-≤- 若2()
y B x B ηρ∈，则
0|()()|2[]||
u x u y u x y α
α
η--≤- 总之
10,10[](3)[]2[]u u u αααηη--≤+
再从1）中用2,[]u α和0[]u 估计出1[]u ，代入上式，仿1）处理，使得求证。

注：将B ρ换成00
(){:}n n B B x x x x ρρ+=≥，引理1.8仍然成立。

定理1.9设方程（1.1）满足（E1）（E2），那么存在00, 0R C >>，使得当0R R ≤，若2,0()
R u C B α
∈满足（1.1），0
()R R B B x =⊂Ω，则
(2)2,,0,,0,[]([][]||)R R R R B B B B u c R f f R u αααα--+≤++
其中0,R C 依赖于, , , n αλ∧和α∧. 证明利用摄动法，记
00ˆ()ij ij L u a x D u f
≡= 0ˆ()(()())()()ij ij ij i i
f f x a x a x D u b x Du c x u =+--- 由定理1.6
2,00[]([][])(||[])u c R f f c R f f ααααα--≤+≤++R
其中(,,,)c c n αλ=∧，下面按ˆf 的表达式来估计R 中的各项。

由引理1.7和1.8，当0
1R ≤时， 00000[(()())()][(()())][][(()())]||ij ij ij ij ij ij ij ij ij a x a x D u x a x a x D u a x a x D u ααα-≤-+-
2,2[][]R u u αααα≤∧+∧
22,2,0[][](,,)||R u R u c n R u ααααααεαε-≤∧+∧+ 22,0(1)[](,,)||R u c n R u αααεαε-≤∧++
02022,0|(()())|[]([](,,)||)ij ij ij R a x a x D u R R u R u c n R u αααααααεαε----≤∧≤∧+
11(1)11,2,020[()][][]{[](,,)||[]||}i i b x Du u u R
u c n R u R u cR u α
ααααααααεαεε+--+≤∧+∧≤∧+++ (1)02,0{2[](,,)||}R u c n R u αααεαε-+≤∧+ 11012,0[][]{[](,,)||}i i R b Du R
u R R u c n R u α
α
αααααεαε---+-≤∧≤∧+
2
002,
[]||[]||{
[](,,)||}
c u u u u R u c n R u ααααααααεαε-≤∧+∧≤∧+∧+ 00|()|||R c x u R u αα
α--≤∧
其中，取01R ≤，综合以上我们便得
(2)2,0(,)[](,,)||c n R u c n R u ααααααα-+≤∧+∧R
再延取0R 满足01(,)2c c n R α
αα∧≤，便得求证。

现在考虑（1.1）的一般解2,(), R R u C B B α
∈⊂Ω
为利用前面关于具紧支集解的结果，自然想到使用切断因子，取0()()R x C B ξ∞
∈，0()1x ξ≤≤，
()1x ξ≡于2
R B ，()[]k k CR ααξ-++≤。

令2,0,()R v u v C B αξ=∈满足
()2ij ij i i ij i j Lv Lu u a D b D a D D u f ξξξξ≡+++=.
由定理1.9知当0R R ≤时
(2)002,,[](||[]||)R B v c R f f R v αααα--+≤++
利用引理1.7和1.8可得
(2)2,,0,,2,,0,[](||[][]()||)R R R R R B B B B B v c R f f u c R u αααααεε--+≤+++
从而只能得到
2
(2)2,,0,,2,,0,[](||[][]()||)R R R R R B B B B B u c R f f u c R u αααααεε--+≤+++ （1.6）
这就出现了麻烦，两端最高阶半范2,[]u α所在区域不同，无法使用ε来消去右端的2,[]u α。

为克服此困难，引进内部范数
定义1.4（内部范数）。

记{:(,)}R x dist x R Ω=∈Ω∂Ω>，令
*222,,0,0,0,,,,||||sup([])sup([])sup([])R R R i ij ij R R R R k R i i j i j u u R Du R D u R
D u α
αα+ΩΩΩΩΩ<<<=+++∑∑∑ 0
220,,0,,||sup(||)sup([])R R R R R R f R f R
f ααα+ΩΩΩ<<''=+ 其中0R 来自定理1.9
容易看出，当 *
2,,||u αΩ<∞时，u 的导数仍有可能在∂Ω附近无界. 而当0,,||f αΩ''<∞时，甚至f 本
身在∂Ω附近也可以无界，所以用内部范数只能得到内部估计。

定理1.10设方程（1.1）满足（E1）（E2），如果2,()u C α
∈Ω为（1.1）之解，则
*
2,,0,,0,||(||||),(,,,,)u c f u c c n ααααλΩΩΩ''≤+=∧∧
证明：对0(0,)R R ∀∈，2R y ∀∈Ω由（1.6）得
2
22222,,0,(),()2,,()0,()[]()([][][]()||)R R R R R B B y B y B y B y R u y c R f R f R u c u ααααααεε+++≤+++
2220,,2,,0,([][][]()||)R R R c R f R
f R u c u α
αααεε++ΩΩΩΩ≤+++
*
0,,2,,0,(||||()||)c f u c u ααεεΩΩΩ''≤++
由此，由引理1.8，对0(0,)R R ∀∈，2R y ∀∈Ω，有
2
2
2
110,()2,,()0,()[]([][])R R R i B y B y B y R D u R R u CR u αα+-≤+
*
0,,2,,0,(||||()||)C f u C u ααεεΩΩΩ''≤++
2
2
2
222
0,()2,,()0,()[]([][])R R R ij B y R B y B y R D u R R u CR u αα-≤+
*
0,,2,,0,(||||()||)C f u c u ααεεΩΩΩ''≤++
于是
222 *
0,0,0,2,,0,0,,,||sup(2)[]sup(2)[](||||()||)R R i ij i
i j
u R Du R D u c f u c u ααεεΩΩΩΩΩΩ''++≤++∑∑（1.7）
为对0(0,)R R ∀∈估计出22,(2)
[]R ij R D u α
α+Ω，考虑2,R x y ∀∈Ω，那么当||2
R
x y -<
时 2
22 *
2,,()0,,2,,0,|()()|
[](||||()||)||R ij ij B y D u x D u y R R u c f u c u x y α
ααααα
εε++ΩΩΩ-''≤≤++-
而当||2
R
x y -≥
时
2221 *
0,0,,2,,0,|()()|
2[](||||()||)||
R ij ij ij D u x D u y R
R R D u c f u c u x y α
αααααα
εε+++-ΩΩΩΩ-''≤≤++-
总之有
2 *
,,20,,2,,0,0(2)[](||||()||
) (0,)i j R
R D u c f u c u R R ααααεε+ΩΩΩΩ''≤++∀∈ （1.8
） 这样由（1.7）和（1.8）得
* *
2,,0,,2,,0,||(||||()||)u c f u c u αααεεΩΩΩΩ''≤++
选择ε使1
2
c ε<
，便得求证。

下面进行全局Schander 估计，记0
0(), n n R R B B x R x R +
++=∈. 设R R B B +≠，否则属于内估计的情
形。

定理1.11设2,()R u C B α+∈在R B ∂附近和0n x =上，0u =，且于R
B +
内满足u f ∆=，则 2,,0,,[](||[]), (,)R
R
R
B B B u
C R f f C C n αααα+++-≤+=
证明：我们仍然希望模仿定理1.3中的方法，把问题转化为Newton 位势的估计。

为此，先把u 和
f 零延拓到n
R +
上，再考虑()u x 的奇延拓，即记11(,,,)(,)n n n x x x x x x -'=≡，令
(,) 0
(,)(,) 0
n n n n n u x x x u x x u x x x '≥⎧'=⎨
'--<⎩当当 则1,12
044(,)(())((){:0})n R R n u x x C B x C B x x x '∈-=，这里{:0}n x x x ∈=。

由定理1.2
2()
()()()()()()()n
n
i R i x B x R R u x x y u y dy x y u y dy D x y u y dy =∆
Γ-=∆Γ-=Γ-⎰
⎰
⎰
()()()()()()n
n
n i i i y i x R
R
R i i
D x y u y dy D x y u y dy x y u y dy y y ∂∂
=-Γ-=Γ-=Γ-∂∂⎰
⎰⎰
2()
()()()()()()n n
R y R R B x i i
x y u y dy x y u y dy x y f y dy y y ∂∂
=-
Γ-=Γ-∆=Γ-∂∂⎰
⎰⎰
其中()f y 为()f y 的奇延拓
(,) 0
()(,) 0
n n n n f y y y f y f y y y '≥⎧=⎨'--<⎩当当
注意到()f y 甚至不可能在2()R B x 内连续，所以不能应用位势估计和定理1.3，这里的技巧是先引进
()f y 的偶延拓
(,) 0()(,) 0n n n n f y y y f y f y y y '≥⎧=⎨'-<⎩
当当
显然04()(())R f y C B x α
∈且
4,(),ˆ[]2[]R R
B x B f f αα+≤
这样因为ˆ2()()()f y f y f y =+当0n y ≥，ˆ0()()f y f y =+当0n
y <有 444()
()
()
ˆ2()()()()()()R R R B x B x B x x y f y dy x y f y dy x y f
y dy +
Γ-=Γ-+Γ-⎰
⎰
⎰ 4()
ˆ()()()R B x u x x y f
y dy =+
Γ-⎰
利用定理1.3和1.4，便得到()u x 的估计，从而也就估计出了()u x . 定理1.12设常系数(,1,
,)ij ji a a i j n ==满足
22|||| n ij i j a R λξξξξξ≤≤∧∀∈
其中0λ<≤∧是常数，设2,()R u C B α+
∈且在R B ∂附近和{:0}n x x =处0u =。

如果u 满足方程
0ij ij L u a D u f ==于R B +
中
则
2,,0,,[](||[]), (,,,)R
R
R
B B B u
C R f f c c n ααααλ+++-≤+=∧
证明与定理1.6相仿，还是先用自变量的非奇异变换将方程化为Poisson 方程，为了使用定理1.11的结果，只须再做一次旋转变换，把区域变为R B +
，而Laplace 算子在旋转变换下不变。

定理1.13设方程（1.1）满足（E1）（E2），那么存在00R >，0C >，使得当0R R ≤时，如果（1.1）
的解2,()R u C B α+
∈，并且在R B ∂附近和0n x =处，0u =，只要R B +
⊂Ω则
(2)2,,0,,0,[](||[]||)R
R
R
R
B B B B u
C R f f R u αααα++++--+≤++
其中0R 与C 都是仅依赖于,,,n αλ∧和α∧的常数。

证明：可将定理1.9的证明逐字照抄，只要把R B 改成R B +即可。

下面考虑特殊形状的区域{:0}n n n R x R x ++Ω⊂=∈>，且n R S φ++∂Ω
∂=≠，记
{:(,)}x dist x S σσ+
++Ω=∈Ω∂Ω->
我们有
定理1.14设方程（1.1）满足（E1）（E2），其在+
Ω=Ω内的解2,(), |0s u C u α+∈Ω=
那么对0(0,)R σ∀∈其中0R 来自定理1.13，都有
2,,,0,||(||||), (,,,,,)u c f u c c n σ
ααααλσ+++ΩΩΩ≤+=∧∧
证明与定义1.4相仿引进 *
2,,,||, ||u f αα
+
+ΩΩ''，只要将那里的σΩ用这里的σ+
Ω代替。

仿照定理1.10之证明，但须用()
B y σ+Ω代替()B y σ，可得
*
2,,,0,||(||||)u c f u αα
+
++ΩΩΩ''≤+ 由此易得所求。

定理1.14表明，对于这种具有一部分平的边界的区域，已经可以得到直到这部分平的边界上的靠边估计，为了对一般区域，也得到靠边估计，只须假设其边界可以局部拉平，为此引进
定义1.5称一区域Ω属于,, 0k C
k α
≥为整数，[0,1]α∈，如果对0
x ∀∈∂Ω，都存在球0()B x ρ和
单射0:()n
y B x R ρϕ→满足
1．0(())D B x ρϕ=为开集，0
()0x ϕ=
2．00(()),(())n n
S B x R B x R ρρϕϕ++
=∂Ω
⊂∂Ω⊂ 3．,01,(()),()k k C B x C D ααρϕϕ-∈∈
利用此概念，边界上每点0
x ，找到相应的ϕ和0()B x ρ，使0()B x ρΩ
变到n
R +
中的区域n
D
R ++=Ω，使用定理1.14得出靠边估计，再回到原坐标系下，即得到0x 点附近的靠边∂Ω边界的
估计，即Schauder 边界局部估计，确切地说，我们有 定理1.15设L 的系数满足（E1）（E2），2,C
α
Ω∈. 如果（1.1）之解2,()u C
α
∈Ω满足|0u ∂Ω=，
则对0
x ∀∈∂Ω，存在常数,0C ρ>和(0,1)∈k 使得
00
2,,(),()0,()||(||||)B
x B
x
B
x
u C f u ρ
ρρααΩ
Ω
Ω
≤+k
其中(,,,,,), (), ()c c n ααλρρ=∧∧Ω=Ω=Ωk k .
证明考虑任意固定的0
x ∈∂Ω，由定义1.5，存在0,()B x ρϕ和D ，使得对某常数k 有
1
0,1,0,1,()
||,||D B
x
k k ρ
ϕϕ-≤≤ 从而
100||||||k x x y k x x --≤≤-
2
00
//(())(0)(()
)k k B x B B x ρρρϕϕ+Ω⊂⊂Ω 00
2
//0,()0,0,()||||||k
k B
x B B
x
w w w ρρρ+Ω
Ω
≤≤
且
02//,(),,()||||||k
k
B
x B B
x k w w k w ρρ
ρααααα+-Ω
Ω
≤≤
我们设k 充分大，满足
1
2,,2,,()
||, ||D B
x
k k ρααϕϕ-≤≤ 则
00
2
//122,,()2,,2,,()()||||()||k
k B
x B B
x
C k w w C k w ρρρααα+Ω
Ω
≤≤
设在变换01()((),
,()):()n y x x x B x D ρϕϕϕ==→之下，方程（1.1）化为
ˆˆr s
r
rs y y r y a
u b u cu f ++=，n y D D R ++
∈= （1.9） 其中
2
11ˆˆ, () (())s r r r
rs ij r ij i
i j i j i
a a
b a b
c c y f f y x x x x x ϕϕϕϕϕϕ--∂∂∂∂==+==∂∂∂∂∂
显然
2222ˆ|||| n rs r s k a
k R λξξξξξ-≤≤∧∀∈ 即方程（1.9）仍然是一致椭圆的。

由定理1.14得
/2//2,,0,,0,||(||||) (,,,,,)k
k
k
B B B u c f u c c n x k ρρραααα+++≤+=∧∧
再回到变量x ，有
00
4
/42,,()0,,()0,()||(||||)k B
x B
x
B
x
u C f u ρρρααΩ
Ω
Ω
≤+
根据定理1.15对∂Ω做有限覆盖，再结合内部Schauder 估计，就得出全局Schauder 估计。

定理1.16设L 的系数满足（E1）（E2），2,C α
Ω∈，如果（1.1）之解2,()u C
α
∈Ω满足|0u ∂Ω=，
则
2,,,0,||(||||), (,,,,,)u c f u c n ααααλΩΩΩ≤+=∧∧Ω
上面的定理是关于齐次边界条件解的结论，对于问题（1.1）之解的全局Schauder 估计我们有：在定理1.16条件下，如将u 满足|0u ∂Ω=改为|u ϕ∂Ω=，2,()C α
ϕ∈Ω，令v u ϕ=-可得
2,,,2,,0,||(||||||) (,,,,,)u c f u c c n ααααϕαλΩΩΩΩ≤++=∧∧Ω
如果仅知2,()C
α
ϕ∈∂Ω，则在2,C αΩ∈的条件下，ϕ可延拓成2,()C αΩ函数。

为了去掉全局Schauder
估计中的0,||u Ω项，我们下面讨论解的极值原理。

定理 1.17（弱极值原理）设（1.1）中的L 系数满足（E1），i b 为有界函数，0c =。

如果
2()()u C C ∈ΩΩ满足0 (0)Lu ≥≤，那么u 在Ω上的最大值（最小值）必在∂Ω上达到，即 sup sup (inf inf )u u u u Ω
∂Ω
Ω
∂Ω
==
证明：不难看出，如果在Ω中0Lu >，则u 不能在Ω的内点取到其在Ω上的最大值。

因为在这
样的点0x 上，0
()0Du x =，矩阵200()[()]ij D u x D u x =半负定。

但由于（E1），矩阵0
[()]ij a x 正定，
因此000
()()()0ij ij Lu x a x D u x =≤，这与0Lu >矛盾。

由假设
0||
i b b ≤∧
为常数，于是因为11a λ≥，故有一个充分大的常数N 使得 111221110()()0Nx Nx Nx Le N a Nb e N Nb e λ=+≥->
因此对任何0ε>，在Ω中都有1
()0Nx L u e
ε+>由前述即得
11sup()sup()Nx Nx u e u e εεΩ
∂Ω
+=+
令0ε→，便得求证。

更一般的，我们假设在Ω中()0c x ≤，考虑子集1{:()0}x u x Ω=∈Ω>. 易见若在Ω中0Lu ≥，则在1Ω中00ij ij i i L u a D u b D u cu =+≥-≥. 因此u 在1Ω上的最大值必在1∂Ω上达到，从而在∂Ω上达
到。

于是，记max{,0},min{,0}u u u u +
-
==，我们有
推论1.1设在（1.1）中算子L 满足（E1），i b 为有界函数，()0c x ≤. 如果2
()()u C C ∈ΩΩ满
足0 (0)Lu ≥≤，那么
sup sup (inf inf )u u u u +-Ω
∂Ω
Ω
∂Ω
≤≥
推论1.2（唯一性定理（比较定理））如果（1.1）中的算子L 满足：在Ω上，矩阵[()]ij a x 的最小特征值有正的下界，|()|i b x 有界，()0c x ≤，那么对2
,()
()u v C C ∈ΩΩ满足()Lu Lv Lu Lv =≤于
Ω，且在∂Ω上 ()u v u v =≥有 ()u v u v ≡≥在Ω上。

只须注意在这里的条件下推论1.1的结论仍然成立。

定理1.8（先验的界）设L 的系数满足（E1），()i b x 有界，()0c x ≤. 如果2
()()u C C ∈ΩΩ满
足 ()Lu f f ≥=，则
||
||
sup sup sup
(sup ||sup ||sup
)f f u u c u u c λ
λ
-+
Ω
∂Ω
Ω
Ω
∂Ω
Ω
≤+≤+
其中常数c 仅依赖于Ω的直径和0,|()|
sup
i i b x b λ
Ω
=.
证明设Ω位于条形区域10x d <<中，并令0ij ij i i L a D b D =+. 对于是01N b ≥+，有
1112201110()()Nx Nx Nx L e N a Nb e N Nb e λλ=+≥-≥
设
1
||
sup ()sup
Nx Nd
f v u e
e
λ
-+∂Ω
Ω
=+-
那么，注意0||
sup
f Lv L v cv λλ
-Ω
=+≤-，
||
()(sup
)0f f
L v u λλ
λ
-Ω
-≤-+
≤ 于Ω
并且在∂Ω上0v u -≥. 因此，对于1Nd
c e
=-和01N b ≥+，对Lu f ≥的情形我们得到所要的结果：
||
sup sup sup sup
f u v u c λ
-+
Ω
Ω
∂Ω
Ω
≤=+
用u -代替u ，就得到Lu f =的情形。

推论1.3设L 满足（E1）（E2）且()0c x ≤，2,C
α
Ω∈，如果2,()u C
α
∈Ω满足（1.1），则
2,,,2,,||(||||), (,,,,,)u c f c c n ααααϕαλΩΩΩ≤+=∧∧Ω
下面我们开始讨论连续延拓法所需要的最后一项，即Poisson 方程Dirichlet 问题的唯一可解性，这里只考虑Ω为球形域的情形，记(0)R R B B =。

定义1.6设()(||)x x Γ=Γ为Laplace 方程的基本解，记
2
2
||
(||) 0
(,)||
()0
y R
x y y
g x y R y
R y
⎧
Γ-≠
⎪
=Γ=⎨
⎪Γ=
⎩
当
当
函数
(,)(||)(,)
G x y x y g x y
=Γ--
称为Laplace算子关于球
R
B的Green函数。

定理1.19（Green函数性质）函数(,)
g x y关于x或y都在
R
B内调和. 因此(,)
G x y在
R
B内当x y
≠时调和，当x y
≠时，(,)
G x y是无穷次连续可微函数，并且
(,)|0
R
x B
G x y
∈∂
=，
R
y B
∀∈
0(,)(||) ,
R
G x y x y x y B
>>Γ-∀∈且x y
≠
(,)(,)
G x y G y x
=
定理1.20设函数()R
f C B
α
∈，置
()(,)()
R
B
u x G x y f y dy
=⎰
则2()()
R R
u C B C B
∈且满足
|0
R
R
B
B
u f
u
∂
∆=
⎧
⎨=
⎩
于内
由唯一性定理，这个解是唯一的
证明：()
u x可改写为
12
()()()(,)()()()
R R
B B
u x x y f y dy g x y f y dy u x u x
=Γ--=+
⎰⎰
于是由定理1.2，2()R
u C B
∈且
1
()()
u x f x
∆=。

由定理1.19
2
()0
u x
∆=. 可见()
u x满足方程。

为了证明()()R
u x C B
∈且满足边界条件，我们只须证明对0
R
x B
∀∈∂有|()|0
u x→当0
x x
→。

为此，对0
δ>有
0012
()()
()(,)()(,)()()()
R R
B B x B B x
u x G x y f y dy G x y f y dy I x I x
δδ
δδ
-
=+=+
⎰⎰
对0
ε
∀>，由定理1.19当0
2
()
x B x
δ
∈时
2
2
2000
()()
|()||||()||||()|||
2
B x B x
I x f x y dy f x y dy c f
δδ
δ
ε
δ
≤Γ-≤Γ-≤<
⎰⎰
当
δδ
<= 1.19知0
\()
R
y B B x
δ
∈时，函数(,)
G x y关于0
2
()
x B x
δ
∈连续进而(0,1)
k∃∈使当00
||
2
k
x x
δ
-<时
110|(,)|||()2
n n G x y f R ε
ω--≤
于是1|()|2I x δε
≤
，当0
||2
k x x δ-<
时，这就证明了问题。

定理1.21（Poisson 公式）如果调和函数2
()()R R u C B C B ∈，则
22
(,)||()
()()||R
R y y n B B n G x y R x u y u x u y dS dS n R
x y υω∂∂∂-==
∂-⎰⎰
其中υ为R B ∂的外法线方向，n ω为单位球的体积。

证明对2
1,()
()v w C C ∈ΩΩ成立Green 第二公式
()()w v v w w v dx v
w dS υυ
Ω∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰
只要∂Ω分片光滑，此处υ为∂Ω的外法线方向。

由逼近论证，只须证明21
()()R R u C B C B ∈的情形。

对, 0R x B δ∀∈>. 在上式中取(), \()R v x y B B x δ=Γ-Ω=得
\()
()()()R R
B B x B B x w w wdy w dS w dS δδυυυυ∂∂∂∂Γ∂∂Γ
Γ∆=Γ
--Γ-∂∂∂∂⎰⎰
⎰
此处,υυ分别为, ()R B B x δ∂∂的外法线方向。

注意
11()
()
()()[]0n n B x B x w w
dS dS n w δδδωδδυ
υ
-∂∂∂∂Γ
=Γ≤Γ→∂∂⎰
⎰
当0δ→
1
()
()
()
1'()
()n B x B x B
x n w
d S w d S
w d S w x n δδδδωδ
υ
-∂∂∂
∂Γ=Γ=→∂⎰
⎰⎰
当0δ→
由上面三式，取w u =，有
()()(())R
B x y u u x u
x y dS υυ
∂∂Γ-∂=-Γ-∂∂⎰
再在Green 第二公式中取, (,), R w u v g x y B ==Ω=，有
(,)0((,))R
B g x y u
u g x y dS υυ
∂∂∂=-∂∂⎰
将上二式相减，得
(,)
()()
R
y B G x y u x u y dS υ
∂∂=∂⎰
按(,)G x y 的定义，算出
G
υ
∂∂，代入上式，便得求证。

定理1.22如果()()R x C B ϕ∈，置
22(,)||()
()()||R R y y n B B n G x y R x y u x y dS dS n R
x y ϕϕυω∂∂∂-==∂-⎰⎰，R x B ∈ 则2
()()()R R u x C B C B ∈满足
0 |()R
R
B u B u x ϕ∂∆=⎧⎪⎨
=⎪⎩于 证明据定理1.19，当, R R x B y B ∈∈∂时，(,)G x y 为调和函数，且无穷次连续可微，于是G
υ
∂∂亦为调和函数，从而函数u 满足0u ∆=
为证()R u C B ∈且|()R B u x ϕ∂=，先在定理1.21中取()1u x ≡，有
1R B G dS υ
∂∂=∂⎰
固定0
R x B ∈∂，对0ε∀>，选取,0M δ>，使
0|()()|y x ϕϕε-< 当0||y x δ-<
|()|y M ϕ≤ 当R y B ∈∂
于是当0
||2
x x δ
-<
，有
0|()()||
(()())|R y B G
u x x y x d S
ϕϕϕυ∂∂-=-∂⎰ 000
0()()|(()())||(()())|R R y y B B x B B x G G y x dS y x dS δδϕϕϕϕυυ
∂∂-∂∂≤-+-∂∂⎰⎰ 222
2(||)()2
n n M R x R εδ--<+
可见，如果0
||x x -充分小，则0|()()|u x x ϕ-可任意小，证毕。

定理 1.23（调和函数的平均值性质）函数2
()
()u C C ∈ΩΩ为Ω内调和函数充要条件是对
0()R B x ∀⊂Ω，如下二等式之一成立
00
1()
1
()()R y n B x n u x u y dS n R ω-∂=
⎰ （1.10）
00
()
1()()R n B x n u x u y dy R ω=
⎰ （1.11） 证明（1.11）可由（1.10）乘于R 积分而得. （1.10）的必要性来自定理1.21。

利用定理1.22并注意到平均值性质蕴涵着定理1.17的弱极值原理及推论1.2的唯一性定理可得充分性。

定理1.24（调和函数内估计）设u 在Ω内调和，'Ω⊂⊂Ω，则对任意多重指标α，我们有
||||
sup ||[
]sup ||(,)n D u u dist ααα'
ΩΩ
≤'Ω∂Ω
证明由定理1.21可知，当u 调和时，Du 亦调和。

于是由定理1.23并分部积分得
()
()
11()R R y n
n
B x B x n n Du x Dudy u dS R R υωω∂=
=
⋅⎰
⎰
其中υ为R B ∂之单位外法向量，因此
()|()|sup ||sup ||(,)R B x n n Du x u u R dist x ∂Ω
≤
≤∂Ω 在等距地分隔开的球套中，逐次应用此估计，便得求证。

定理 1.25记*2*2{}R
n B B x C +
=>，*1*{}R n B B x C +=>，*0C ≥。

设22*2*()
()
u C B C B +
+
∈，2*()f C B α+
∈满足
*2*
2*
{:} |0n B x x C u f B u ++
∂=⎧∆=⎪⎨
=⎪⎩于 时当1R ≤时，2,1*()u C B α+∈。

证明：不妨设*
0C =，于是2*21*1, B B B B +
+
+
+
==。

对11(,
,,)n n x x x x -=，记11(,
,)n x x x -'=，
(,)n x x x ∨
'=-置
2
2
()[()()]()[()()]()B B w x x y x y f y dy x y x y f y dy ++∨
∨
=Γ--Γ-=Γ--Γ-⎰
⎰
则如定理1.20可以证明
22{:0}
|0n B x x w f B w ++
∂=⎧∆=⎪
⎨
=⎪⎩于 注意到
2
2
()()()()B B x y f y dy x y f y dy +
-∨
∨
Γ-=Γ-⎰
⎰
其中
(,) 0()(,) 0n n n n f x x x f x f x x x ∨
'≥⎧=⎨'-<⎩
当当
为定义在22
D B
B +-
=上的函数，而2
2{:}n
B x R x B ∨
-
+
=∈∈。

于是 2
()2()()()()B D w x x y f y dy x y f y dy +∨
=Γ--Γ-⎰
⎰
那么从定理1.3和定理1.4之证以及f ∨
的定义可知32
2,()w C B α
+∈。

记v u ω=-，则
32
32
{:0}0 |0n B x x v B v ++
∂=⎧∆=⎪⎨
=⎪⎩于。