专题03 立体几何(解析版)

立体几何专项练习
1．如图，在直四棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）1111ABCD A B C D -.中，底面ABCD 是
菱形，且111,2
AB AA E ==是凌1AA 的中点，EC =
（1）求证：1D E ⊥平面EDC ；
（2）求二面角D EC B --的大小.
2．如图，底边ABCD 是边长为3的正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，
//,,AF DE AD DE AF DE ⊥==
（1）求证：平面ACE ⊥平面BED ；
（2）在线段AF 上是否存在点M ，使得二面角M BE D --的大小为60°？若存在，求出AM AF
的值；若不存在，请说明理由. 3．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SAD 为等腰直角三角形，
SA SD ==2AB =，F 是BC 的中点，二面角S AD B --的大小等于120°.
（1）在AD 上是否存在点E ，使得平面SEF ⊥平面ABCD ，若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.
（2）求直线SA 与平面SBC 所成角的正弦值.
4．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3
π，所以正四面体在各顶点的曲率为233π
ππ-⨯=，故其总曲率为4π．
（1）求四棱锥的总曲率；
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2=，证明：这类多面体的总曲率是常数． 5．如图，四边形MABC 中，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，MAC △是边长为2的正三角形，以AC 为折痕，将MAC △向上折叠到DAC △的位置，使D 点
在平面ABC 内的射影在AB 上，再将MAC △向下折叠到EAC 的位置，使平面EAC ⊥平面ABC ，形成几何体DABCE .
（1）点F 在BC 上，若//DF 平面EAC ，求点F 的位置；
（2）求二面角D BC E --的余弦值.
6．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，
60BAD ∠=︒，1AD DD ⊥，点,M N 分别为棱1DD ，BC 的中点.
（1）求证：//CM 平面1AD N ；
（2）若1AC BD ⊥，二面角D MC B --的余弦值为6，求直线AM 与平面BCM 所成角的正弦值. 7．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，平面PAB ⊥平面
,ABCD PAB 为等腰直角三角形，,2PA PB AB ⊥=．
（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；
（2）设E 为CD 的中点，求点E 到平面PBC 的距离．
8．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，3
BAD π∠=，E 是线段AD 的中点，连结BE ．
（1）求证：BE PA ⊥；
（2）求二面角A PD C --的余弦值；
（3）在线段PB 上是否存在点F ，使得//EF 平面PCD ？若存在，求出
PF PB 的值；若不存在，说明理由．
9．如图菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，4AB AE ==．
（1）求证：BD ⊥平面ACFE ；
（2）当直线FO 与平面BED 所成的角为π4
时，求异面直线OF 与BE 所成的角的余弦
值大小．
10．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD ＝120°，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD ＝CD ＝BC ＝CF .
（1）求证：EF ⊥平面BCF ；
（2）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.
11．如图，在棱长为的正方形ABCD 中，E 、F 分别为CD ，BC 边上的中点，现将点C 以EF 为轴旋转至点P 的位置，使得P EF A --为直二面角．
（1）证明：EF PA ⊥；
（2）求异面直线PD 与FB 所成角的余弦值．
12．如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD =3,AB =AP =//AD BC ，AD ⊥平面P AB ，90APB ︒∠=，点E 满足2133
PE PA PB =+.
；（1）证明：PE DC
（2）求二面角A-PD-E的余弦值.
参考答案
1．（1）证明见解析；（2）
3π. 【分析】
（1）由勾股定理可得DE CD ⊥，得出CD ⊥平面11ADD A ，再通过1CD ED ⊥和1D E ED ⊥即可得证；
（2）以点D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求出.
【详解】
解：（1）因为点E 是1AA 的中点，所以1AE =，
又1AD =，故在Rt EAD 中，DE =
由题可知，1EC DC =
=，则222DC DE EC +=，
所以DE CD ⊥. 因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，
故CD ⊥平面11ADD A ，
1ED ⊂平面11ADD A ，
故1CD ED ⊥，
因为112ED ED DD ===，所以1D E ED ⊥.
又CD ED D =，所以1D E ⊥平面ECD ；
（2）由（1）可知，1,,DA DC DD 两两相垂直，
故以点D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
()()()()110,0,2,1,0,1,,0,1,01,1,2D E C B .
所以()()()111,0,1,1,1,1,0,1,1ED EC EB =-=--=，
设平面1D EC 的法向量为(),,n n y z =，
则10000x z n ED x y z n EC ⎧-+=⎧⋅=⇒⎨⎨-+-=⋅=⎩⎩
令1,x =则()1,2,1n =
设平面1B EC 的法向量为(),,m a b c =，
则10000b c m EB a b c m EC ⎧+=⎧⋅=⇒⎨⎨-+-=⋅=⎩⎩
， 令1b =，则()2,1,1m =-， 则1cos ,2
m n m n m n
⋅<>==， 因为二面角为锐角，则二面角的大小为3
π.
2．（1）证明见解析；（2）存在；
14
AM AF =. 【分析】 （1）利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理，可证明；（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -.设()3,0,M t ，求出二面角M BE D --夹角的余弦值，构造t 的等式，求解t 即可求出比例关系.
【详解】
解：（1）因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，DE ⊂平面ADEF ，DE AD ⊥，
所以DE ⊥平面ABCD ，
因为AC ⊂平面ABCD ，所以DE AC ⊥，
又四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，
因为DE BD D ⋂=，DE ⊂平面BED ，BD ⊂平面BED ，
所以AC ⊥平面BED .
又AC ⊂平面ACE ，
所以平面ACE ⊥平面BED ；
（2）因为,,DA DC DE 两两垂直，所以以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.
则(
)(
(3,0,0,,A F E ，()()3,3,0,0,3,0B C ，假设在线段AF 上存在符合条件的点M ，设()3,0,M t
，0t ≤≤，则()()()0,3,,3,3,36,3,3,0BM t BF CA =-=--=
-，
设平面MBE 的法向量为(),,m x y z =， 则·30·
330m BM y tz m BE x y ⎧=-+=⎪⎨=--+=⎪⎩， 令y t =，得()
36,,3m t t =-， 由（1）知CA ⊥平面BED ，所以CA 是平面BED 的一个法向量，
·1cos ,cos60232m CA
m CA m CA ︒==
==
，
整理得226150t t -+=，解得2t =2
t
=（舍去）， 故在线段AF 上存在点M ，使得二面角M BE D --的大小为60°，此时14AM AF =. 3．（1）在线段上存在点E 满足题意，E 为AD 的中点；（2）4
. 【分析】
（1）取AD 中点E ，可证,AD EF AD SD ⊥⊥，得线面垂直后可得面面垂直；
（2）由（1）知SEF ∠就是二面角S AD B --的平面角，得120SEF ∠=︒，建立空间直角坐标系E xyz -，用空间向量法求线面角．
【详解】
解：（1）在线段上存在点E 满足题意，且E 为AD 的中点.
如图，连接EF ，SE ，SF ，
∵四边形ABCD 是矩形，∴AB AD ⊥.
又E ，F 分别是AD ，BC 的中点，
∴//EF AB ，AD EF ⊥.
∵SAD 为等腰直角三角形，SA SD =，E 为AD 的中点，
∴SE AD ⊥.
∵SE EF E =，SE ⊂平面SEF ，EF ⊂平面SEF ，
∴AD ⊥平面SEF .
又AD ⊂平面ABCD ，
∴平面SEF ⊥平面ABCD .
故AD 上存在中点E ，使得平面SEF ⊥平面ABCD .
（2）解：由（1）可知SEF ∠就是二面角S AD B --的平面角，
∴120SEF ∠=︒.
以E 为坐标原点，EA ，EF 的方向分别为x ，y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，
由SAD 为等腰直角三角形，SA SD ==4AD ===，
2SE ==.
可得(0,S -，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()2,2,0C -，
∴(2,1,SA =
，(2,3,SB =
，(2,3,SC =-， 设(),,n x y z =是平面SBC 的法向量，
则0,0,n SB n SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩
即230,230,
x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 可取(0,1,3n =.
设直线SA 与平面SBC 所成的角为θ，
则sin cos ,42SA n
SA n SA n θ⋅-
====， ∴直线SA 与平面SBC 所成角的正弦值为4
.
4．（1）4π；（2）证明见解析.
【分析】
（1）四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，写出多边形表面的所有内角即可.（2）
设顶点数、棱数、面数分别为n 、l 、
m ，设第i 个面的棱数为i x ，所以122m x x x l +++=，
按照公式计算总曲率即可.
【详解】
（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.
可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形. 所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，
则其总曲率为：()25424ππππ⨯-+=.
（2）设顶点数、棱数、面数分别为n 、l 、m ，所以有2n l m -+=
设第i 个面的棱数为i x ，所以122m x x x l ++
+=
所以总曲率为： ()()()122222m n x x x ππ--+-++-⎡⎤⎣⎦
()222n l m ππ=--
()24n l m ππ=-+=
所以这类多面体的总曲率是常数.
5．（1）F 为BC 的中点；（2 【分析】
（1）设D 点在平面ABC 内的射影为O ，连接OD ，OC ，取BC 的中点F ，易得//OF 平面EAC .取AC 的中点H ，连接EH ，由平面EAC ⊥平面ABC ，得到EH ⊥平面ABC ，又DO ⊥平面ABC ，则//DO EH ，则//DO 平面EAC ，然后由面面平行的判定定理证明.
（2）连接OH ，以O 为坐标原点，OF ，OH ，OD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面BDC 的一个法向量为(),,m x y z =和平面EBC 的一个法向量为(),,n a b c =，由cos ,m n
m n m n ⋅=⋅求解.
【详解】
（1）如图，
设D 点在平面ABC 内的射影为O ，连接OD ，OC ，
∵AD CD =，
∴OA OC =，
∴在Rt ABC △中，O 为AB 的中点.
取BC 的中点F ，连接OF ，DF ，
则//OF AC ，又OF ⊄平面EAC ，AC ⊂平面EAC ，
∴//OF 平面EAC .
取AC 的中点H ，连接EH ，
则易知EH AC ⊥，又平面EAC ⊥平面ABC ，平面EAC
平面ABC AC =， ∴EH ⊥平面ABC ，
又DO ⊥平面ABC ，
∴//DO EH ，又DO ⊄平面EAC ，EH ⊂平面EAC ，
∴//DO 平面EAC .
又DO OF O ⋂=，
∴平面//DOF 平面EAC .
又DF ⊂平面DOF ，
∴//DF 平面EAC ，此时F 为BC 的中点.
（2）连接OH ，由（1）可知OF ，OH ，OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OF ，OH ，OD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则()1,1,0B -
，(D
，(0,1,E ，()1,1,0C ，
从而()0,2,0BC =
，(BD =-
，(1,2,BE =-.
设平面BDC 的一个法向量为(),,m x y z =， 则0,0,BC n BD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩
即20,0,y x y =⎧⎪⎨-+=⎪
⎩
得0y =
，取x =，则1z =，()
2,0,1m =. 设平面EBC 的一个法向量为(),,n a b c =，
则0,0,BC n BE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩
即20,20,b a b =⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 得0b =，取3a =1c =-，()
3,0,1n =-，
从而6cos ,63m n
m n m n ⋅-===⨯
⋅. 易知二面角D BC E --为钝二面角，
所以二面角D BC E --
6．（1）证明见解析；（2 【分析】 （1）取1AD 的中点E ，连接,EM EN ，得四边形EMCN 为平行四边形，得CM //NE ，再由线面平行的判定定理即可证明//
CM 平面1AD N ；
（2）先证1DD ⊥平面ABCD ，然后建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面DMC 和平面BCM 的一个法向量，再由二面角D MC B --的余弦值为6
DM 的长，得MA 与平面BCM 的一个法向量，最后利用向量的夹角公式即可求得直线AM 与平面BCM 所成角的正弦值.
【详解】
（1）如图，取1AD 的中点E ，连接,EM EN .因为M 为棱1DD 的中点，所以//ME AD 且12
ME AD =. 因为四边形ABCD 是菱形，N 为BC 的中点，所以//CN AD 且12
CN AD =， 所以//C ME N 且ME CN =，所以四边形EMCN 为平行四边形，所以CM //NE ， 又CM ⊄平面1AD N ，NE ⊂平面1AD N ，所以//CM 平面1AD N .
（2）连接BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又1AC BD ⊥，1=BD BD B ⋂，，所以AC ⊥平面1DBD ，所以1AC DD ⊥，又1AD DD ⊥，AC AD A =，所以1DD ⊥平面ABCD .取AB 的中点F ，连接DF ，则DF DC ⊥，以D 为坐标原点，,,DF DC DD ，所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设()120DD a a =>，则()0,0,0D ，
()0,0,M a ，()0,2,0C
，)B
，)1,0A -， 所以()()
0,2,,3,1,0MC a CB =-=-. 设平面BCM 的法向量为(),,m x y z =，则00m MC m CB ⎧⋅
=⎨⋅=⎩
，即200y az y -=⎧⎪-=
，取1x =，得1,3,m ⎛= ⎝⎭
.
易知平面DMC 的一个法向量为()1,0,0n =
由题意得，cos ,6m
n =〈〉=
a = 所以(3,1,MA =
-，(1,3,m =. 设直线AM 与平面BCM 所成的角为θ，
则sin cos ,||||6m
MA
m MA m MA θ⋅=〈〉===⋅ 所以直线AM 与平面BCM . 方法二：（向量法）
sin AB n AB n α=
，其中AB 是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，α
是直线和平面所成的角. 7．（1）证明见解析；（2）2
. 【分析】
（1）利用面面垂直的性质先证明出BC ⊥面PAB ，得到PA BC ⊥，再由PA PB ⊥，结合线面垂直的判定定理可知PA ⊥面PBC ，又PA ⊂面PAC ，然后证得平面PBC ⊥平面
PAC ；
（2）先计算三棱锥P BCE -的体积，然后再计算PBC 的面积，利用等体积法
P BCE E PBC V V --=求解.
【详解】
解：（1）证明：∵面PAB ⊥面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =，BC AB ⊥，BC ⊂面ABCD
BC ∴⊥面PAB ，
又PA ⊂面PAB
PA BC ∴⊥
又因为由已知PA PB ⊥
且PB BC B ⋂=，所以PA ⊥面PBC ，又PA ⊂面PAC
∴面PAC ⊥面PBC .
(2)PAB △中，PA PB =，取AB 的中点O ，连PO ，则PO AB ⊥
∵面PAB ⊥面ABCD 且它们交于,AB PO ⊂面PAB
PO ∴⊥面ABCD 由11 33BCE E PBC P BCE PBC BCE PBC
S PO
V V S h S
PO h S --=⇒=⇒
=，由已知可求得1PO =，
1BCE S =
，PBC S =，所以2
h =. 所以点E 到平面PBC 的距离为2
.
8．（1）证明见解析；（2）（3）存在；12PF PB =． 【分析】
（1）首先证明BE AD ⊥，再由面面垂直的性质定理可得BE ⊥平面PAD ，即证.
（2）连结PE ，以E 为坐标原点，EP ，EA ，EB 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，
(0,,0)EB =是平面PAD 的一个法向量，再求出平面PCD 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.
（3）根据题意可得EF 与平面PCD 的法向量垂直，假设线段PB 上存在点F 使得//EF 平面PCD ，再利用向量的数量积即可求解.
【详解】
解：（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以AB AD =．
又因为3
BAD π∠=，E 为AD 的中点，所以BE AD ⊥． 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，
平面PAD 平面ABCD AD =，
所以BE ⊥平面PAD ．
因为PA ⊂平面PAD ，
所以BE PA ⊥．
（2）连结PE ．因为PA PD =，E 为AD 的中点，
所以PE AD ⊥．
由（1）可知BE ⊥平面PAD ，
所以BE AD ⊥，PE BE ⊥．
设2AD a =，则PE a =．
如图，建立空间直角坐标系E xyz -．
所以(,0,0),,0),(2,0),(,0,0),(0,0,)A a B C a D a P a --．
所以),0(D C a =-，(,0,)D a P a =．
因为BE ⊥平面PAD ，
所以(0,,0)EB =是平面PAD 的一个法向量．
设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，
则00n DC n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即00ax ax az ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，所以,.x x z ⎧=⎪⎨=-⎪⎩
令3x =，则1y =，z =(3,1,n =．
所以cos ,||||7n EB n EB n EB ⋅=
==
由题知，二面角A PD C --为钝角，所以其余弦值为 （3）当点F 是线段PB 的中点时，//EF 平面PCD ．理由如下：
因为点E ∈/平面PCD ，
所以在线段PB 上存在点F 使得//EF 平面PCD 等价于0EF ⋅=n ．
假设线段PB 上存在点F 使得//EF 平面PCD ．
设([0,1])PF PB
λλ=∈，则PF PB λ=．
所以(0,0,),),)EF EP PF EP PB a a a a a λλλ=+=+=+-=-．
由)0EF a a a λ⋅=-=n ，得12λ=
． 所以当点F 是线段PB 的中点时，//EF 平面PCD ，且12
PF PB =．
9．（1）证明见解析；（2 【分析】
（1）根据四边形ABCD 是菱形，得到BD AC ⊥，再由AE ⊥平面ABCD ，得到
BD AE ⊥，
然后利用线面垂直的判定定理证明. （2）以O 为原点，OA ，OB 的方向为x ，y 轴正方向，过O 且平行于CF 的直线为z 轴（向上为正方向），建立空间直角坐标系，设 ()2,0,F a -（0a >），则()2,0,OF a =-，再求得平面EBD 的法向量为(),,n x y z =，根据直线FO 与平面BED 所成的角为π4
，由cos ,2OF n OF n OF n ⋅==求得a ，再由cos ,OF BE OF BE OF BE ⋅=⋅求解. 【详解】
（1）因为四边形ABCD 是菱形，
所以BD AC ⊥．
因为AE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，
所以BD AE ⊥．
因为AC AE A ⋂＝，
所以BD ⊥平面ACFE ．
（2）以O 为原点，OA ，OB
的方向为x ，y 轴正方向，过O 且平行于CF 的直线为z 轴（向上为正方向），建立空间直角坐标系，如图所示：
则()0,B
，()
0,D -，()2,0,4E ，()2,0,F a -（0a >），()2,0,OF a =-． 设平面EBD 的法向量为(),,n x y z =， 则有00n OB n OE ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即0,20,x z =+=⎪⎩ 令1z =，则()2,0,1n =-，
由题意FO 与平面BED
所成的正弦值为2
，
∴cos ,2OF n OF n OF n a ⋅===
因为0a >，
所以6a =．
所以()2,0,6OF =-，()
2,BF
=-， 所以cos ,40
OF BE
OF BE OF BE ⋅===⋅
故异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值为4
10．（1）证明见解析；（2）点M 与点F 重合，
7. 【分析】
（1）易证明AC ⊥平面BCF ，再根据//EF AC ，证明EF ⊥平面BCF ；（2）设(),0,1M λ，分别求平面MAB 和平面FCB 的法向量,n m ，再利用公式cos ,m n <>求其最小值，确定λ，同时得到此时二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：设AD ＝CD ＝BC ＝1，
∵AB ∥CD ，∠BCD ＝120°，∴AB ＝2，
∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 60°＝3，
∴AB 2＝AC 2＋BC 2，则BC ⊥AC .
∵CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，
∴AC ⊥CF ，而CF ∩BC ＝C ，CF ，BC ⊂平面BCF ，
∴AC ⊥平面BCF .
∵EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BCF .
（2）以C 为坐标原点，分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设FM ＝λ(0≤λ)，
则C (0，0，0)，A ，0，0)，B (0，1，0)，M (λ，0，1)，
∴AB ＝(1，0)，BM ＝(λ，－1，1).
设n ＝(x ，y ，z )为平面MAB 的法向量，
由00
n AB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 得00y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 取x ＝1，则n ＝(1λ). 易知m ＝(1，0，0)是平面FCB 的一个法向量，
∴
cos ,13n m n m n
m ⋅<>===+
∵0≤λλ＝0时，cos ,n m
<>， ∴当点M 与点F 重合时，平面
MAB 与平面FCB 所成的锐二面角最大，此时二面角的余弦值为7
. 11．（1）证明见解析
（2）6
【分析】
（1）根据题意画出平面图形及空间几何图形，由中位线定理及正方形性质证明EF ⊥面PAH ，即可得EF PA ⊥.
（2）BD AH O =．过O 作//OM HP ，以OA ，OB ，OM 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，即可由平面向量数量积定义求得异面直线PD 与FB 所成角的余弦值．
【详解】
（1）证明：在正方形ABCD 中，连结AC 交EF 于H ．连结BD ，如下图所示：
则AC BD ⊥．
因为E 、F 分别为CD ，BC 边上的中点，
所以//EF BD ．
所以AC EF ⊥．
在空间几何体中如下图所示：
所以在棱锥中PH EF ⊥，AH EF ⊥，PH
AH H =，
所以EF ⊥面PAH ，
又因为PA ⊂面PAH ，
所以EF PA ⊥．
（2）设BD AH O =．过O 作//OM HP ，已知OA ，OB ，OM 两两垂直， 如图分别以OA ，OB ，OM 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如下图所示：
()00,0,0，()0,2,0B ，()0,2,0D -，()1,1,0F -，()1,0,1P -，
()1,1,0BF =--，()1,2,1PD =--，
cos ,
BF PD ==，
所以PD 与面FB 所成角的余弦值为
6．
12．（1）证明见解析 （2 【分析】
（1）由勾股定理计算出PB ，然后求数量积PE AB ⋅得PE AB ⊥，由线面垂直可得PE AD ⊥，从而可证得PE ⊥平面ABCD 得证线线垂直； （2）建立如图所示的直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦值．
【详解】
（1）证明：在Rt PAB ∆中，
由勾股定理，得
PB === 因为21,33
PE PA PB =+AB PB PA =-， 所以21()33PE AB PA PB PB PA ⎛⎫⋅=+⋅-
⎪⎝⎭ 22211333
PA PB PA PB =-++⋅
222110333
=-⨯+⨯+⨯ 0=.
所以PE AB ⊥，所以PE AB ⊥. 因为AD ⊥平面P AB ，PE ⊂平面P AB ， 所以PE AD ⊥.
又因为,PE AB ⊥AB AD A ⋂=， 所以PE ⊥平面ABCD.
又因为DC ⊂平面ABCD ，
所以PE DC ⊥.
（2）由21,33
PE PA PB =+得2EB AE =. 所以点E 是靠近点A 的线段AB 的三等分点. 所以113
AE AB ==. 分别以,AB AD 所在方向为y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.
则(0,0,0),
A (0,0,D (0,1,0),
E )P . 设平面PDE 的法向量为()111,,m x y z =，
由00m EP m ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，得11100
y =-+=⎪⎩. 令11z =
，则(0,m =-； 设平面APD 的法向量为()222,,,n x y z =(2,1,0),AP
=(0,0,AD =，
由00n AP n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，得22200
y +==⎪⎩， 令21x =，则()
1,2,0n =-. 设向量m 与
n 的夹角为θ，。

答案第25页，总25页 则cos ||||m n m n θ⋅=
⋅
==.
所以二面角A PD E --.。