2022-2023学年北京市丰台区高二(上)期中数学试卷(B卷)【答案版】

2022-2023学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（B 卷）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查．该小区每位居民被抽到的可能性为（ ） A ．
110
B ．
1
50
C ．
1
100
D ．
1
5000
2．已知空间向量a →
=（1，﹣3，2），若空间向量b →
与a →
平行，则b →
的坐标可能是（ ） A ．（1，3，3） B ．(−1
4，3
4，−1
2) C ．（﹣1，﹣3，2）
D ．(√2，−3，−2√2)
3．一个车间里有10名工人装配同种电子产品，现记录他们某天装配电子产品的件数如下： 10，12，9，7，10，12，9，11，9，8
若这组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＞b ＞a
B ．b ＞c ＞a
C ．a ＞b ＞c
D ．c ＞a ＞b
4．对于空间中的三个向量OA →
，OB →
，3OA →
−2OB →
，它们一定是（ ） A ．共面向量
B ．共线向量
C ．不共面向量
D ．无法判断
5．已知平面α的法向量为n →
=（﹣2，1，1），若平面α外的直线l 的方向向量为a →
=（1，0，2），则可以推断（ ） A ．l ∥α
B ．l ⊥α
C ．l 与α斜交
D ．l ⊂α
6．从某地区抽取100户居民进行月用电量调查，发现用电量都在50至350kW •h 之间．将数据分组后得到如表所示的频率分布表，估计此地区月均用电量的第80百分位数是（ ）
A ．230
B ．235
C ．240
D ．245
7．已知四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面为平行四边形，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →
=a →
，AD →
=b →
，AA 1→
=c →
，则下列向量中与CM →
相等的向量是（ ）
A ．12
a →−
12
b →+
c →
B ．12
a →+
12
b →+
c →
C ．−12a →
−12b →
+c →
D ．−12a →
+12b →
+c →
8．已知6件产品中有3件正品，其余为次品．现从6件产品中任取2件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（ ） A ．恰好有1件次品和恰好有2件次品
B ．至少有1件次品和全是次品
C ．至少有1件正品和至少有1件次品
D ．至少有1件次品和全是正品
9．在“冬奥会”闭幕后，某中学社团对本校3000名学生收看比赛情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将所有数据分组整理后，绘图如图．
以下结论中正确的是（ ） A ．图中m 的数值为26
B ．估计该校观看比赛不低于3场的学生约为1380人
C ．估计该校学生观看比赛场数的中位数小于平均数
D ．样本数据的第90百分位数为5
10．在空间直角坐标系Oxyz 中，若有且只有一个平面α，使点A （2，2，2）到α的距离为1，且点B （m ，0，0）到α的距离为4，则m 的值为（ ） A ．2
B ．1或3
C ．2或4
D ．2−√17或2+√17
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．甲，乙两名运动员进行射击比赛．已知甲中靶的概率是0.7，乙中靶的概率是0.8，且甲，乙射击互不影响，若甲，乙两人各射击一次，则两人都脱靶的概率是 ．
12．某公司有职工160人，其中业务人员104人，管理人员32人，内勤人员24人．若按岗位进行分层，采用分层随机抽样的方法从全体职工中抽取20人进行健康测试，则应抽取管理人员的人数为 ．
13．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，则直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 ． 14．已知空间向量a →
=（1，2，﹣3），b →
=（0，3，4），则向量a →
在向量b →
上的投影向量的模是 ． 15．如图，正方体的棱长为1，点M 是线段DD 1的中点，点N 是线段A 1M 上的动点，下列结论中正确的序号是 ．
①存在点N ，使AN ∥平面C 1BD ； ②存在点N ，使DN ⊥平面C 1BD ；
③存在点N ，使点N 到平面C 1BD 的距离等于1．
三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（15分）某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布的直方图如图．
（Ⅰ）求图中的m 的值；
（Ⅱ）若得分在80分及以上的学生都有奖品，试估计这次能力测评的获奖率；
（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，根据频率直方图估计此次能力测评全部同学的平均成绩．
17．（15分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ＝DC ＝2AD ＝2，E ，F 分别是PD ，DC 的中点． （Ⅰ）求证：PC ∥平面AEF ；
（Ⅱ）求直线PB 与平面AEF 所成角的正弦值．
18．（14分）从2名男生（记为A 1，A 2）和2名女生（记为B 1，B 2）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）． （Ⅰ）请写出该试验的样本空间Ω；
（Ⅱ）设事件M 为“选到1名男生和1名女生”，求事件M 发生的概率．
（Ⅲ）若2名男生A 1，A 2所处年级分别为高一、高二，2名女生B 1，B 2所处年级分别为高一、高二，设事件N 为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”，求事件N 发生的概率． 19．（14分）已知空间向量a →
=（2，﹣2，1），b →
=（2，﹣1，4），c →
=（x ，5，2）． （Ⅰ）若a →
⊥c →
，求x ； （Ⅱ）求|3a →
−2b →
|；
（Ⅲ）若向量c →
与向量a →
，b →
共面，求实数x 的值．
20．（13分）某学校高中三个年级共有400名学生，为调查他们的课后学习时间情况，通过分层随机抽样获得了20名学生某周的课后学习时间，数据如下表（单位：小时）：
（Ⅰ）试估计该校高三年级的学生人数；
（Ⅱ）从高一年级和高二年级样本学生中各随机抽取一人，高一年级抽取的人记为甲，高二年级抽取的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率；
（Ⅲ）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是8，10，11（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为x 1，表格中的数据平均数记为x 0，试判断x 0与x 1的大小关系．（只需写出结论）
21．（14分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2，点D 为AC 的中点． （Ⅰ）求平面BCC 1与平面BC 1D 夹角的余弦值；
（Ⅱ）点G在线段AB1上，且AG
AB1=
1
3
，试判断直线CG与平面BC1D的关系，并说明理由．
2022-2023学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（B 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查．该小区每位居民被抽到的可能性为（ ） A ．
110
B ．
1
50
C ．1
100
D ．
1
5000
解：该小区每位居民被抽到的可能性为100
5000=
1
50
，
故选：B ．
2．已知空间向量a →
=（1，﹣3，2），若空间向量b →
与a →
平行，则b →
的坐标可能是（ ） A ．（1，3，3） B ．(−1
4，34，−12
) C ．（﹣1，﹣3，2）
D ．(√2，−3，−2√2)
解：已知空间向量a →
=（1，﹣3，2）， 又空间向量b →
与a →
平行， 则b →
=λa →
=(λ，−3λ，2λ)， 即b →的坐标可能是(−14，34，−1
2)， 故选：B ．
3．一个车间里有10名工人装配同种电子产品，现记录他们某天装配电子产品的件数如下： 10，12，9，7，10，12，9，11，9，8
若这组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＞b ＞a
B ．b ＞c ＞a
C ．a ＞b ＞c
D ．c ＞a ＞b
解：由已知可得平均数a =
10+12+9+7+10+12+9+11+9+8
10
=9.7，
10个数据按照从小到大的顺序排列：7，8，9，9，9，10，10，11，12，12， 所以中位数b =9+10
2
=9.5， 众数c ＝9， 则a ＞b ＞c ， 故选：C ．
4．对于空间中的三个向量OA →，OB →，3OA →−2OB →
，它们一定是（ ）
A ．共面向量
B ．共线向量
C ．不共面向量
D ．无法判断
解：因为3OA →
−2OB →
可用向量OA →
，OB →
线性表示，
所以空间中的三个向量OA →
，OB →
，3OA →
−2OB →
，它们一定是共面向量， 故选：A ．
5．已知平面α的法向量为n →
=（﹣2，1，1），若平面α外的直线l 的方向向量为a →
=（1，0，2），则可以推断（ ） A ．l ∥α
B ．l ⊥α
C ．l 与α斜交
D ．l ⊂α
解：根据题意，平面α的法向量为n →
=（﹣2，1，1），平面α外的直线l 的方向向量为a →
=（1，0，2）， 则有n →•a →
=−2+0+2＝0，则n →
⊥a →
，必有l ∥α， 故选：A ．
6．从某地区抽取100户居民进行月用电量调查，发现用电量都在50至350kW •h 之间．将数据分组后得到如表所示的频率分布表，估计此地区月均用电量的第80百分位数是（ ）
A ．230
B ．235
C ．240
D ．245
解：由频率分表可知，数据均匀分布，所以第80百分位数是，200+50×0.8−0.12−0.18−0.3
0.25
=240， 故选：C ．
7．已知四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面为平行四边形，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →
=a →
，AD →=b →
，AA 1→
=c →
，则下列向量中与CM →
相等的向量是（ ）
A ．12a →
−
12
b →+
c →
B ．12
a →+
12
b →+
c →
C ．−12a →−12b →+c →
D ．−12a →+12b →+c →
解：四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB →
=a →
，AD →
=b →
，AA 1→
=c →
，
所以CM →=CC 1→+C 1M →=AA 1→
+1
2C 1A 1→=AA 1→
−1
2AC →=AA 1→
−1
2（AB →+AD →
）=−12a →
−12b →
+c →
．
故选：C．
8．已知6件产品中有3件正品，其余为次品．现从6件产品中任取2件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件互为对立事件的是（）
A．恰好有1件次品和恰好有2件次品
B．至少有1件次品和全是次品
C．至少有1件正品和至少有1件次品
D．至少有1件次品和全是正品
解：根据对立事件的概念可得：
D中为对立事件事件，A中为互斥事件，B，C中为相容事件，
故选：D．
9．在“冬奥会”闭幕后，某中学社团对本校3000名学生收看比赛情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将所有数据分组整理后，绘图如图．
以下结论中正确的是（）
A．图中m的数值为26
B．估计该校观看比赛不低于3场的学生约为1380人
C．估计该校学生观看比赛场数的中位数小于平均数
D．样本数据的第90百分位数为5
解：由题意8%+10%+m%+26%+10%+6%+2%+2%＝1，m＝36，A错；
不低于3场的人数约为3000×（1﹣8%﹣10%）＝2460，B错；
由已知得中位数是3，
平均数是1×8%+2×10%+3×36%+4×26%+5×10%+6×6%+7×2%+8×2%＝3.56，C正确；
由条形图，观看场数不大于5的百分比为90%，因此第90百分位数是5.5，D错．
故选：C．
10．在空间直角坐标系Oxyz中，若有且只有一个平面α，使点A（2，2，2）到α的距离为1，且点B（m，0，0）到α的距离为4，则m的值为（）
A．2B．1或3C．2或4D．2−√17或2+√17
解：由题意可知，满足题意时以点A为球心，半径为1的球与以点B为球心，半径为4的球内切，则球心距等于半径之差，即：√m−22+22+22=4−1=3，
解得：m＝1或m＝3，
故选：B．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．甲，乙两名运动员进行射击比赛．已知甲中靶的概率是0.7，乙中靶的概率是0.8，且甲，乙射击互不影响，若甲，乙两人各射击一次，则两人都脱靶的概率是0.06．
解：由题意可知甲脱靶的概率是1﹣0.7＝0.3，
乙脱靶的概率是1﹣0.8＝0.2，
故甲、乙两人各射击一次，
则两人都脱靶的概率是0.3×0.2＝0.06．
故答案为：0.06．
12．某公司有职工160人，其中业务人员104人，管理人员32人，内勤人员24人．若按岗位进行分层，采用分层随机抽样的方法从全体职工中抽取20人进行健康测试，则应抽取管理人员的人数为4．
解：由已知可得抽取比例为
20
160
=
1
8
，
则管理人员应该抽取32×1
8
=4人，
故答案为：4．
13．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB＝AD＝1，AA1＝2，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为4
5
．
解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵AD1∥BC1，∴直线AB1与BC1所成角，即AB1与AD1所成角，
∵AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，∴AB 1＝AD 1=√5，B 1D 1=√2， 在△AB 1D 1中，由余弦定理得cos ∠B 1AD 1=5+5−22×√5×√5=4
5
，
∴直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为4
5．
故答案为：4
5
．
14．已知空间向量a →
=（1，2，﹣3），b →
=（0，3，4），则向量a →
在向量b →
上的投影向量的模是 65
．
解：∵a →
=（1，2，﹣3），b →
=（0，3，4），
∴a →
⋅b →
=0+6−12=−6，|b →
|=√02+32+42=5，
∴向量a →
在向量b →
上的投影向量为
a →⋅
b →
|b →
|
×
b
→
|b →
|
=−
625
b →
，
∴向量a →
在向量b →
上的投影向量的模是6
25
|b →
|=
625
×5=65
．
故答案为：6
5．
15．如图，正方体的棱长为1，点M 是线段DD 1的中点，点N 是线段A 1M 上的动点，下列结论中正确的序号是 ①③ ．
①存在点N ，使AN ∥平面C 1BD ； ②存在点N ，使DN ⊥平面C 1BD ；
③存在点N ，使点N 到平面C 1BD 的距离等于1．
解：如图所示，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系D ﹣xyz ，
由题意可知A （1，0，0），B （1，1，0），D （0，0，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），M(0，0，1
2)， 直线A 1M 的方向向量A 1M →
=(−1，0，−1
2)， 设A 1N →=λA 1M →
(0≤λ≤1)，
则DN →=DA 1→+λA 1M →
=(1，0，1)+λ(−1，0，−12)=(1−λ，0，1−λ2)，即N(1−λ，0，1−λ
2)，
DB →=(1，1，0)，DC 1→
=(0，1，1)，
设平面C 1BD 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →
⋅DB →
=x +y =0
n →⋅DC →1=y +z =0
，
据此可得n →
=(1，−1，1)，
AN →
=(−λ，0，1−λ2
)，AN →
⋅n →
=−λ+1−
λ2=0，解得λ=23
， ∴当λ=2
3时，AN →⊥n →，由AN ⊄平面C 1BD ，∴AN ∥平面C 1BD ，说法①正确．
DN →
=(1−λ，0，1−λ
2)，若存在点N ，使DN ⊥平面C 1BD ，
则DN →
∥n →
，即(1−λ，0，1−λ
2)=μ(1，−1，1)，此时μ无解，说法②错误． DN →=(1−λ，0，1−λ
2)，
由点面距离公式可得点N 到平面C 1BD 的距离为d =DN →⋅n →
|n →|
=|1−λ+1−λ
2|
√3，
当d ＝1时，解得λ=2(2±√3)
3
，由于0≤λ≤1， 则当λ=
2(2−√3)
3
时，点N 到平面C 1BD 的距离等于1，说法③正确． 故答案为：①③．
三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16．（15分）某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布的直方图如图．
（Ⅰ）求图中的m的值；
（Ⅱ）若得分在80分及以上的学生都有奖品，试估计这次能力测评的获奖率；
（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，根据频率直方图估计此次能力测评全部同学的平均成绩．
解：（1）由题意可知，（0.01+0.015+0.015+0.03+m+0.005）×10＝1，
∴m＝0.025；
（2）80分以上的频率为：（0.025+0.005）×10＝0.3，
即能力测评的获奖率为30%；
（3）平均成绩为：（45×0.01+55×0.015+65×0.015+75×0.03+85×0.025+95×0.005）×10＝71．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝2AD＝2，E，F分别是PD，DC的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面AEF；
（Ⅱ）求直线PB与平面AEF所成角的正弦值．
证明：（Ⅰ）因为DF＝FC，DE＝PE，∴PC＝EF，
又EF⊂平面PEF，PC⊄平面PEF，
所以PC∥平面AEF．
解：（Ⅱ）如图所示，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，
因为P （0，0，2），B （1，2，0），∴PB →
=(1，2，−2)． ∵A （1，0，0），E （0，0，1），∴AE →
=(−1，0，1)， ∵A （1，0，0），F （0，1，0），∴AF →=(−1，1，0)，
设平面AEF 的法向量n →
=(x ，y ，z)，直线PB 与平面AEF 所成角为θ，
所以{n →
⋅AE →
=−x +z =0n →⋅AF →=−x +y =0，∴x ＝y ＝z ，取n →=(1，1，1)，
所以直线PB 与平面AEF 所成角的正弦值sin θ=|PB →⋅n →
||n →|
=1
3=√33，
所以直线PB 与平面AEF 所成角的正弦值为
√3
3
． 18．（14分）从2名男生（记为A 1，A 2）和2名女生（记为B 1，B 2）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）． （Ⅰ）请写出该试验的样本空间Ω；
（Ⅱ）设事件M 为“选到1名男生和1名女生”，求事件M 发生的概率．
（Ⅲ）若2名男生A 1，A 2所处年级分别为高一、高二，2名女生B 1，B 2所处年级分别为高一、高二，设事件N 为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”，求事件N 发生的概率．
解：（Ⅰ）该实验的样本空间Ω为{A 1，A 2}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{B 1，B 2}共6种情况，
（Ⅱ）事件M 为“选到1名男生和1名女生”共有4种情况， 则所求事件的概率为4
6
=2
3；
（Ⅲ）事件N 为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”共有3种情况， 故所求事件的概率为3
6
=1
2．
19．（14分）已知空间向量a →
=（2，﹣2，1），b →
=（2，﹣1，4），c →
=（x ，5，2）． （Ⅰ）若a →⊥c →
，求x ； （Ⅱ）求|3a →
−2b →
|；
（Ⅲ）若向量c →与向量a →
，b →
共面，求实数x 的值．
解：（Ⅰ）已知空间向量a →
=（2，﹣2，1），b →
=（2，﹣1，4），c →
=（x ，5，2）， 又a →⊥c →
，
则2x ﹣10+2＝0， 即x ＝4；
（Ⅱ）由题意可得3a →
−2b →
=(2，−4，−5)， 则|3a →
−2b →
|=√4+16+25=3√5； （Ⅲ）由向量c →
与向量a →
，b →
共面， 则c →
=ma →
+nb →，
则（x ，5，2）＝（2m ，﹣2m ，m ）+（2n ，﹣n ，4n ）， 即{x =2m +2n 5=−2m −n 2=m +4n ， 则{
m =−22
7n =97x =−267，
即实数x 的值为−
267
． 20．（13分）某学校高中三个年级共有400名学生，为调查他们的课后学习时间情况，通过分层随机抽样获得了20名学生某周的课后学习时间，数据如下表（单位：小时）：
（Ⅰ）试估计该校高三年级的学生人数；
（Ⅱ）从高一年级和高二年级样本学生中各随机抽取一人，高一年级抽取的人记为甲，高二年级抽取的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率；
（Ⅲ）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是8，10，11（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为x 1，表格中的数据平均数记为x 0，试判断x 0与x 1的大小关系．（只需写出结论）
解：（Ⅰ）由表格知：高一是5人，高二是7人，高三是8人， ∴
820
=40%，
在400名学生中，高三的人数为400×40%＝160（人）．
（Ⅱ）设从高一人数中随机抽取1人为事件A i ，i ＝1，2，3，4，5，P （A i ）=1
5，
从高二人数中随机抽取1人为事件B j ，j ＝1，2，3，4，5，6，7，P （B j ）=17
， 则A i 与B j 是相互独立的事件，P （A i B j ）＝P （A i ）P （B j ）=1
35，
高一随机抽取的人的课后学习时间大于高二随机抽取的人的课后学习时间为事件M ， 则M ＝A 2B 1+A 3B 1+A 4B 1+A 4B 2+A 5B 3，
P （M ）＝P （A 2B 1）+P （A 3B 1）+P （A 4B 1）+P （A 4B 2）+P （A 5B 1）+P （A 5B 2）+P （A 5B 3）=1
35×7=1
5． 高一随机抽取的人的课后学习时间不大于高二随机抽取的人的课后学习时间为事件M ， ∴该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率为： P （M ）＝1﹣P （M ）=4
5． （Ⅲ）由表格知原平均时间x 0=
196
20
=9.8， 加入新数据8，10，11后平均时间为： x 1=
196+8+10+1123
=225
23≈9.78＜x 0，∴x 1＜x 0． 21．（14分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2，点D 为AC 的中点． （Ⅰ）求平面BCC 1与平面BC 1D 夹角的余弦值； （Ⅱ）点G 在线段AB 1上，且
AG AB 1
=1
3
，试判断直线CG 与平面BC 1D 的关系，并说明理由．
解：（Ⅰ）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，A ⊥BC ，以C 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
C （0，0，0），A （1，0，0），B （0，1，0），B 1（0，1，2），C 1（0，0，2），D(1
2，0，0)， 所以AB 1→=(−1，1，2)，BC 1→=(0，−1，2)，BD →
=(1
2，−1，0)， 由题意x 轴⊥平面BCC 1，取平面BCC 1的一个法向量为m →
=(1，0，0)， 设平面BC 1D 的法向量为n →
=(x ，y ，z)，
则有{n →
⋅BC 1→
=−y +2z =0n →⋅BD →=1
2
x −y =0
，令z ＝1，得到x ＝4，y ＝2， 得到平面BC 1D 的一个法向量为n →
=(4，2，1)，所以
cos ＜m →
，n →
＞=m →⋅n →
|m →||n →|
=4√21
21，
设平面BCC 1与平面BC 1D 夹角为θ，则 cos θ＝|cos ＜m →
，n →
＞|=4√21
21．
证明：（Ⅱ）AB 1→
=(−1，1，2)，CA →
=(1，0，0)， 由于点G 在线段AB 1上，且
AG AB 1
=1
3
，则AG →
=1
3
AB 1→，CG →=CA →+AG →=CA →
+13
AB 1→
=(23，13，23
)，
又平面BC 1D 的一个法向量为n →
=(4，2，1)，
AG →
⋅n →=83+23+2
3=4≠0，且AG →与n →不共线，
所以直线CG 与平面BC 1D 相交且不垂直．。