初二数学：2.4绝对值与相反数典型例题绝对值

《绝对值》典型例题
例1
求下列各数的绝对值，并把它们用“＞”连起来．
87-，9
1+，0，－1.2 分析 首先可根据绝对值的意义，即正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0来求出各数的绝对值．在比较大小时可以根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”比较出2.18
7->-，其他数的比较就容易了． 解 .2.12.1,00,9
191,8787=-==+=- .2.18
7091->->>+ 说明： 利用绝对值只是比较两个负数．
例2
求下列各数的绝对值：
（1）－38；（2）0.15；（3）)0(<a a ；（4）)0(3>b b ；（5）)2(2<-a a ；（6）b a -．
分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a 与b 的大小关系，所以要进行分类讨论．
解：（1）|-38|＝38；（2）|+0.15|＝0.15；
（3）∵a ＜0，∴|a |＝－a ；
（4）∵b ＞0，∴3b ＞0，|3b|＝3b ；
（5）∵a ＜2，∴a -2＜0，|a -2|＝-(a -2)＝2-a ；
（6）⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>-=-).();(0);(b a a b b a b a b a b a
说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论．
例3
一个数的绝对值是6，求这个数．
分析 根据绝对值的意义我们可以知道，绝对值是6的数应该是6±．
说明：互为相反数的两个数的绝对值相等．
例4 计算下列各式的值
（1）272135-+++-；（2）2
1354543-+--； （3）71249-⨯-；（4）.2
1175.0-÷- 分析 这些题中都带有绝对值符号，我们应先计算绝对值再进行其他计算．
解 （1）83272135272135=++=-+++-；
（2）2
162135454321354543=+-=-+--； （3）1057
124971249=⨯=-⨯-； （4）.5.021175.0211
75.0=÷=-÷- 说明：在去掉绝对值之后，要注意能简算的要简算，如（2）题．
例5 已知数a 的绝对值大于a ，则在数轴上表示数a 的点应在原点的哪侧？
分析 确定表示a 的点在原点的哪侧，其关键是确定a 是正数还是负数．由于负数的绝对值是它的相反数正数，所以可确定a 是负数．
解 由于负数的绝对值是它的相反数，所以负数的绝对值大于这个负数；又因为0和正数的绝对值都是它本身，所以a 是负数，故表示数a 的点应在原点的左侧．
说明：只有负数小于其本身的绝对值，而0和正数都等于自己的绝对值．
例6 判断下列各式是否正确(正确入“T”，错误入“F”)：
（1）a a =-； ( )
（2）a a -=-； ( )
（3）)0(≠=a a
a a a
；（ ） （4）若|a |＝|b|，则a ＝b ； ( )
（5）若a ＝b ，则|a |＝|b|； ( )
分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义，所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性．判数(或证明)一个结论是错误的，只要能举出反例即可．如第(2)小题中取a ＝1，则-|a |＝-|1|＝-1，而|-a |＝|-1|＝1，所以-|a |≠|-a |．在第(4)小题中取a ＝5，b ＝-5等，都可以充分说明结论是错误的．要证明一个结论正确，须写出证明过程．如第(3)小题是正确的．证明步骤如下：
当0>a 时，1==a a a a ，而1==a
a a a ，a a a a =∴成立； 当0<a 时，1-=-=a a a a ，而1-=-=a
a a a ，a a a a
=∴也成立． 这说明0≠a 时，总有成立．此题证明的依据是利用的定义，化去绝对值符号即可．
解：其中第(2)、(4)、小题不正确，(1)、(3)、(5)小题是正确的．
说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程，只是在证明时需要写明道理和依据，步骤都要较为严格、规范．而判断一个结论是错误的，可依据概念、性质等知识，用推理的方法来否定这个结论，也可以用举反例的方法，后者有时更为简便．
例7 若0512=-++y x ，则y x +2等于（ ）．
分析与解：“任意有理数的绝对值一定为非负数．”利用这一特点可得012≥+x ；05≥-y ．而两个非负数之和为0，只有一种可能：两非负数均为0．则012=+x ，2
1-=x ；05=-y ，5=y ．故452122=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯=+y x ． 说明：任意有理数的绝对值一定为非负数，因为它表示的是一个数在数轴上的对应点到原点的距离．绝对值的这个特性今后会经常用到．几个非负数的和为0，则每一个非负数都是0．
例8 计算)5(13>-+-x x x ．
分析：要计算上式的结果，关键要弄清x -3和1-x 的符号，再根据正数的绝对值等于本身，负数的
绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．可求上式的结果，又∵5>x ，故03<-x ，而01>-x ．
解：又∵5>x ，
∴03<-x ，01>-x ， ∴421313-=-+-=-+-x x x x x ．
说明：利用绝对值的代数定义灵活化简含绝对值的式子同，首先应确定代数式的符号．另外，要求出负数的相反数．
七年级下学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．如图，如果∠D+∠EFD=180°，那么( )
A ．AD ∥BC
B ．EF ∥B
C C ．AB ∥DC
D ．AD ∥EF
【答案】D 【解析】由,D EFD ∠∠是,AD EF 被DF 所截产生的同旁内角，结合已知条件可得答案． 【详解】解： ∠D+∠EFD=180°，
∴ AD ∥EF ，
故选D ．
【点睛】
本题考查的是：平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行，掌握这个判定定理是解题的关键． 2．已知2x +3y =6，用x 的代数式表示y 得( )
A ．y =2-x
B ．y =2-2x
C ．x =3-3y
D ．x =3-y
【答案】A
【解析】由题意可知，要求出y ，因此先移项，将含y 的项放在方程的左边，其余的项移到方程的右边，再将y 的系数化为1即可.
【详解】解： 2x +3y =6，
3y =6-2x
y =2-x.
故答案为：A
【点睛】
此题考查解二元一次方程，解题关键在于掌握运算法则.
3．以下列各组线段长为边，不能组成三角形的是( )
A ．8、7、13
B ．3、4、12
C ．5、5、3
D ．5、7、11
【答案】B
【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系，得
A、8+7＞13，能组成三角形；
B、3+4<12，不能组成三角形；
C、5+5＞3，能组成三角形；
D、5+7＞11，能组成三角形．
故选：B．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4．下列命题中的假命题是
A．同旁内角互补
B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
C．三角形的中线，平分这个三角形的面积
D．全等三角形对应角相等
【答案】A
【解析】利用平行线的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质，三角形的中线，对选项进行判断【详解】A. 在两条直线相互平行的情况下，同旁内角互补，所以A项错误.
B. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以B选项正确
C. 三角形的中线，平分这个三角形的面积，所以C选项正确
D. 全等三角形对应角相等，所以D选项正确
【点睛】
本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质，三角形的中，解题关键在于熟练掌握定义
5．碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所已研制出直径小于0.5nm 的碳纳米管，已知lnm＝0.000000001m，则将0.5nm这个数据用科学记数法表示为（）
A．5×10﹣10B．0.5×10﹣9C．5×10﹣8D．5×10﹣9
【答案】A
【解析】0.5纳米=0.5x0.000000001米=0.0000000005米小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10-n，在本题中a为5,n为5前面0的个数
【详解】0.5纳米=0.5×0.0000000米故选D
=0.000000米
=5×10﹣10米
故选A
【点睛】
此题考查科学记数法，难度不大
6．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝22°，那么∠2的度数是（）
A．30°B．23°C．22°D．15°
【答案】B
【解析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据直角三角板的性质得出∠2的度数即可．
【详解】解：如图：
∵AB∥CD，∠1＝22°，
∴∠1＝∠3＝22°，
∴∠2＝45°﹣22°＝23°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
7．为了了解我市参加中考的75000名学生的视力情况，抽查了1000名学生的视力进行统计分析.下面四个判断正确的是（）
A．75000名学生是总体B．1000学生的视力是总体的一个样本
C．每名学生是总体的一个个体D．上述调查是普查
【答案】B
【解析】总体：所要考察对象的全体；个体：总体的每一个考察对象叫个体；样本：抽取的部分个体叫做一个样本；样本容量：样本中个体的数目．
【详解】：A、75000名学生的视力情况是总体，故错误；
B 、1000名学生的视力情况是总体的一个样本，正确；
C 、每名学生的视力情况是总体的一个个体，故错误；
D 、上述调查是抽样调查，故错误；
故选B ．
【点睛】
本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
8．通过估算，估计319+1的值应在( )
A ．2～3之间
B ．3～4之间
C ．4～5之间
D ．5～6之间 【答案】B
【解析】先估算出319在2和3之间，即可解答.
【详解】81927<<，
∴32193<<，
∴331914<+<，
故选：B .
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是确定319在哪两个数之间，题型较好，难度不大. 9．如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为()3a b +，宽为()2a b +的大长方形，则需要A 类、B 类和C 类卡片的张数分别为（ ）
A ．2，5，3
B ．3，7，2
C ．2，3，7
D ．2，5，7
【答案】C
【解析】根据长方形的面积=长×宽，求出长为a+3b ，宽为2a+b 的大长方形的面积是多少，判断出需要A 类、B 类、C 类卡片各多少张即可．
【详解】解：长为a+3b ，宽为2a+b 的长方形的面积为：
（a+3b ）（2a+b ）=2a 2+7ab+3b 2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，
∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片7张．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10．实数7的整数部分是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为1＜7＜3，由此可以得到实数7的整数部分．
【详解】∵1＜7＜3，
∴实数7的整数部分是1．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了无理数的估算能力，关键是能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小．
二、填空题题
11．如图：在△ABC中，5
AB AC
==，4
BC=，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB 交AE的延长线于点F，则DF的长为____．
【答案】1
【解析】分析：
由已知条件易得BD=1
2
BC=2，∠ADB=90°，结合5AD=1，由DF∥AB，AF平
分∠BAD可得∠BAF=∠DAF=∠F，从而可得DF=AD=1. 详解：
∵在△ABC中，5AD是△ABC的中线，
∴BD=1
2
BC=2，∠ADB=90°，
∴1
==，
∵DF∥AB，AE平分∠BAD，
∴∠BAF=∠F，∠BAF=∠DAF，
∴∠F=∠DAF，
∴DF=AD=1.
故答案为：1.
点睛：熟知“等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的中线、高线和顶角的平分线互相重合，并由此得到BD=2，∠ADB=90°，进而利用勾股定理求得AD=1”是解答本题的关键.
12．若x＞y，则﹣x﹣2_____﹣y﹣2（填“＜”、“＞”或“=”）
【答案】＜
【解析】首先利用不等式的性质在不等式的两边同时乘以-1改变不等号方向，然后再在不等式的两边同时减去2即可确定答案．
【详解】∵x>y，
∴−x<−y，
∴−x−2<−y−2，
故答案为<.
【点睛】
本题考查的知识点是不等式组的性质，解题的关键是熟练的掌握不等式组的性质.
13．已知三角形的两边长分别为2cm 和7cm，最大边的长为acm，则a 的取值范围是____.
【答案】7≤a<9
【解析】根据已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，即可求得答案．【详解】∵三角形的两边的长分别为2cm和7cm，第三边的长为acm，
∴根据三角形的三边关系，且a是最大边的长
得：7≤a<7+2，
即：7≤a<9.
故答案为：7≤a<9.
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系，此题比较简单，注意掌握已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和.
14．如图，现有A ，C 两类正方形卡片和B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+2b ），宽为（a+b ）的长方形，那么需要B 类长方形卡片_____张．
【答案】1．
【解析】因为大长方形的面积为（3a+2b ）（a+b ）=22352a ab b ++，B 类长方形的面积为ab,分析可得B 类长方形卡片的张数．
【详解】解：（3a+2b ）（a+b ），
=223322a ab ab b +++ ，
=22352a ab b ++，
∵一张B 类长方形卡片的面积为：ab ，
∴需要B 类长方形卡片1张.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题关键.
15．若210x y +=,4315x y +=，则x ＋y 的值是________．
【答案】5
【解析】由题意得：210{4315x y x y ++＝①
＝②，
①×4-②得：5y=25，即y=5，
将y=5代入①得：x=0，则x+y=0+5=5，
故答案为5
1681____．
【答案】±
3 81，
∴9的平方根是3±.
故答案为±3.
17．为了考察某区3500名毕业生的数学成绩，从中抽出20本试卷，每本30份，在这个问题中，样本容量是________．
【答案】3500
【解析】根据样本容量的定义可直接作答.
【详解】样本容量指数据中提取的总量，要考察某区3500名毕业生的数学成绩，则样本容量就是3500.
【点睛】
此题重点考察学生对样本容量的理解，掌握其定义是解题的关键.
三、解答题
18． (1)解方程组: 31328x y x y +=-⎧⎨-=⎩
(2)解不等式组12(1)1113
4x x x x -->⎧⎪-+⎨≥-⎪⎩并把它们的解集在如图所示的数轴上表示出来
【答案】（1）21x y =⎧⎨=-⎩
；（2）51x -≤<，见解析. 【解析】（1）利用加减消元法解答即可.
（2）利用不等式性质解不等式组，然后在数轴上表示解集即可.
【详解】解：（1）31,328x y x y +=-⎧⎨-=⎩
①② 3⨯①得：393x y +=-④
-②④得：1111y -=
解得：1y =-
把1y =-代入①，得2x =
∴原方程组的解为21x y =⎧⎨=-⎩
；
（2）解不等式12(1)x x -->，
去括号，得：122>x x -+
移项合并同类项，得：1x < 解不等式11134
x x -+≥-， 去分母得：443312x x -≥+-
移项合并同类项，得：5x ≥-
所以不等式组的解集是51x -≤<
解集在数轴上表示如图：
.
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组以及解不等式组，熟练掌握基础计算是解答本题的关键.
19．解方程组35342x y x y +=-⎧⎨-=-⎩
．． 【答案】21x y =-⎧⎨=-⎩
【解析】利用加减消元法将方程组中的未知数消去，可求得的值，再将值代入其中一个方程解得的值，即得原方程组的解.
【详解】解：35342x y x y +=-⎧⎨-=-⎩
①② ①×
3得： 3915x y +=-③, ③-②，得
1313y =-
∴ 1y =-
把1y =-代入①，得x= -2
∴21x y =-⎧⎨=-⎩
是原方程组的解 20．解方程:（1）2(2x +1)=1-5(x -2) ；（2）
2151136x x +--=
【答案】（1）x=1；（2）x=-3
【解析】（1）先去括号，再移项，然后合并同类项，最后系数化为1，即可得出答案.
（2）先去分母，再去括号，接着移项，之后合并同类项，最后系数化为1，即可得出答案.
【详解】（1）解：4x+2=1-5x+10
4x+5x=1+10-2
9x=9
x=1
（2）解：2（2x+1）-（5x-1）=6
4x+2-5x+1=6
4x-5x=6-1-2
-x=3
x=-3
【点睛】
本题考查的是解一元一次方程的步骤，解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
21．如图，在ABC ∆中，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，62B ∠=︒，38C ∠=︒.
(1如图1，若AE BC ⊥，垂足为E ，求EAD ∠的度数；
(2)如图2，若点F 是AD 延长线上的一点，BAF ∠、BDF ∠的平分线交于点G ，求G ∠ 的度数.
【答案】（1）12︒ （2）31︒
【解析】（1）首先计算CEA ∠的度数，再计算CAD ∠的度数，进而计算EAD ∠的度数.
（2）首先计算BAD ∠,再计算BDA ∠,进而计算ADG ∠,因此可得G ∠.
【详解】（1） AE BC ⊥
90AEC ︒∴∠=
38C ∠=︒
∴CEA ∠=52︒
AD 是BAC ∠的平分线，62B ∠=︒，38C ∠=︒.
∴ 40BAD CAD ︒∠=∠=
∴ 524012EAD CEA CAD ︒︒︒∠=∠-∠=-=
（2）由（1）可得40BAD CAD ︒∠=∠=
BAF ∠的角平分线是AG
∴ 20BAG DAG ︒∠=∠=
180180624078BDA B BAD ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=
∴ 180********BDF BDA ︒︒︒︒∠=-∠=-=
DG 是BDF ∠的平分线
∴ 51BDG ︒∠=
7851129ADG ADB BDG ︒︒︒∴∠=∠+∠=+=
∴ 1801802012931AGD GAD ADG ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=
31G ︒∴∠=
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，是基本知识点，应当熟练掌握.
22．我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A ，B 两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A 种树苗8棵，B 种树苗3棵，需要950元；若购买A 种树苗5棵，B 种树苗6棵，则需要800元． （1）求购买A ，B 两种树苗每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A 种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？
（3）某包工队承包种植任务，若种好一棵A 种树苗可获工钱30元，种好一棵B 种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？
【答案】（1）A 种树苗每棵100元，B 种树苗每棵50元；
（2）购买的方案有：1、购买A 种树苗50棵，B 种树苗50棵；2、购买A 种树苗51棵，B 种树苗49棵；3、购买A 种树苗52棵，B 种树苗48棵；4、购买A 种树苗1棵，B 种树苗47棵．
（3）购买A种树苗50棵、B种树苗50棵时所付的种植工钱最少，最少工钱是2500元．
【解析】（1）设购买A种树苗每棵需要x元，B种树苗每棵需要y元，根据总价＝单价×数量，可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗100﹣m棵，根据总价＝单价×数量，可列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围，由此可得出结论；
（3）设种植工钱为W，根据植树的工钱＝植A种树的工钱+植乙种数的工钱，列出W关于m的函数关系式，根据一次函数的单调性即可解决最值问题．
【详解】解：（1）设购买A种树苗每棵需要x元，B种树苗每棵需要y元，
由已知得：
8x+3y=950 5x+6y=800⎧
⎨
⎩
解得：
x=100 y=50⎧
⎨
⎩
答：购买A种树苗每棵需要100元，B种树苗每棵需要50元．（2）设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗100﹣m棵，
根据已知，得
m50
100m+50100-m7650
≥
⎧
⎨
≤
⎩（）
解得：50≤m≤1．
故有四种购买方案：1、购买A种树苗50棵，B种树苗50棵；2、购买A种树苗51棵，B种树苗49棵；
3、购买A种树苗52棵，B种树苗48棵；
4、购买A种树苗1棵，B种树苗47棵．
（3）设种植工钱为W，由已知得：
W＝30m+20（100﹣m）＝10m+2000，
∴当m＝50时，W最小，最小值为2500元．
故购买A种树苗50棵、B种树苗50棵时所付的种植工钱最少，最少工钱是2500元．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）列出关于x、y二元一次方程组；（2）根据数量关系列出关于m的一元一次不等式组；（3）根据数量关系找出W关于m的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或函数关系式）是关键．
23．直线a∥b，一圆交直线a，b分别于A、B、C、D四点，点P是圆上的一个动点，连接PA、PC.
(1)如图1，直接写出∠PAB、∠PCD、∠P之间的数量关系为；
(2)如图2，直接写出∠PAB、∠PCD、∠P之间的数量关系为
(3)如图3，求证：∠P＝∠PAB+∠PCD；
(4)如图4，直接写出∠PAB、∠PCD、∠P之间的数量关系为.
【答案】（1）∠PCD＝∠P+∠PAB；（2）∠PAB＝∠P+∠PCD；（3）见解析；（4）∠PAB+∠P+∠PCD＝360°.
【解析】(1)方法一：设AB、PC相交于点E，由外角性质得：∠PEB＝∠P+∠PAB，又因为a∥b，所以∠PEB＝∠PCD，从而求解；方法二：过点P作PE∥AB；
（2）方法一：设AP、CD相交于点E，理由同（1）得∠PED＝∠P+∠PCD，又因为a∥b，所以∠PED ＝∠PAB，从而求解；方法二：过点P作PE∥AB；
(3) 过点P作PE∥a，因为a∥b，所以PE∥b，所以∠PAB=∠APE，∠∠PCD =∠EPC，
又因为∠APC=∠APE+∠CPE，所以∠APC＝∠PAB+∠PCD；
(4) ∠PAB+∠P+∠PCD＝360°. 过点P作PE∥a，因为a∥b，所以PE∥b，所以∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，即∠PAB+∠APE+∠PCD+∠CPE=360°，从而求解；
【详解】解：（1）∠PCD＝∠P+∠PAB；
理由：设AB、PC相交于点E，由外角性质得：∠PEB＝∠P+∠PAB，
∵a∥b，∴∠PEB＝∠PCD，
∴∠PCD＝∠P+∠PAB；
（2）∠PAB＝∠P+∠PCD；
理由：设AP、CD相交于点E，理由同（1）得∠PED＝∠P+∠PCD，
又∵a∥b，∴∠PED＝∠PAB，
∴∠PAB＝∠P+∠PCD ；
（3）过点P作PE∥a，∵a∥b，∴PE∥b，
∴∠PAB=∠APE，∠∠PCD =∠EPC，
∵∠APC=∠APE+∠CPE
∴∠APC＝∠PAB+∠PCD；；
(4) ∠PAB+∠P+∠PCD＝360°
理由：过点P作PE∥a，∵a∥b，∴PE∥b，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°
∴∠PAB+∠APE+∠PCD+∠CPE=360°
即∠PAB+∠APC+∠PCD ＝360°.
【点睛】
本题考查平行线的性质，平行公理的应用，此类题目，过拐点作平行线是解题的关键．
24．解不等式组：31233122x x x x +<+⎧⎪⎨->⎪⎩
①②，并把它的解集在下面的数轴上表示出来．
【答案】12x <<－
【解析】分别解两个不等式得到x ＜2和x>-1，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集，最后利用数轴表示其解集.
【详解】解：31233122x x x x +<+⎧⎪⎨->⎪⎩
①②， 由① 得3231x x －
＜－． ∴2x <，
由② 得431x x >－
， ∴1x >-．
∴不等式组的解集为：12x <<－
． 在数轴上表示解集，如图：
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．确定不等式组解集的规律：同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到.
25．某年级共有400名学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息
A．不同交通方式学生人数分布统计图如下：
x<，B．采用公共交通方式单程所花费时间（分钟）的频数分布直方图如下（数据分成6组：1020
x<，6070
x<，5060
2030
x<，4050
x<，3040
x<）；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）根据不同交通方式学生人数所占的百分比，算出“私家车方式”对应扇形的圆心角是度_____．（3）请你估计全年级乘坐公共交通上学有_____人，其中单程不少于60分钟的有_____人．
【答案】（1）补图见解析；（2）101°；（3）200；1．
【解析】（1）用抽查总人数乘以乘坐公共交通的百分比可得其人数，再减去图中已知的不同花费时间的人x<的人数，从而补全图形；
数，即得4050
（2）用360°乘以乘坐私家车所占百分比即可得解；
（3）利用样本估算总体，计算求解．
【详解】（1）∵选择公共交通的人数为
100×50%=50（人），
x<的人数为
∴4050
50-(5+17+14+4+2)=1（人）
故补全直方图如下：
（2）“私家车方式”对应扇形的圆心角为360°×30%=101°
故答案为：101°；
（3）全年级乘坐公共交通上学人数为400×50%=200（人）
单程不少于60分钟的有
200×
2
50
=1（人）
故答案为：200；1．
【点睛】
本题主要考察读图与计算，解题关键是从图表中准确读取数据信息．
七年级下学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．不等式260x -+<的解集在数轴上表示，正确的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】根据不等式性质，求出不等式解集，然后在数轴上表示出来即可.
【详解】不等式移项，得： 2<6x --
系数化为1，得：
3x >
不等号“＞”在数轴上表示为向右，点空心.
故选A
【点睛】
本题考查解不等式以及在数轴上表示不等式解集，属于简单题，正确求出不等式解集是解答本题的关键. 2．已知2是关于x 的方程x+a-3=0的解，则a 的值为（ ）
A ．1
B ．-1
C ．3
D ．-3 【答案】A
【解析】由于2是关于x 的方程：x+a-3=0的一个解，根据一元一次方程的解的意义把x=2代入方程x+a-3=0
得到a 的值．
【详解】把x=2代入方程x+a-3=0得，2+a-3=0，
解得a=1．
故选A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次的解． 3．王老师的数学课采用小组合作学习方式,把班上40名学生分成若干小组,如果要求每小组只能是5人或6人,则有几种分组方案
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】C
【解析】根据题意设5人一组的有x 个，6人一组的有y 个，利用把班级里40名学生分成若干小组，进
而得出等式求出即可．
【详解】设5人一组的有x个，6人一组的有y个，根据题意可得：5x+6y=40，
x=1，则y=35
6
（不合题意）；
当x=2，则y=5；
当x=3，则y=25
6
（不合题意）；
当x=4，则y=10
3
（不合题意）；
当x=5，则y=5
2
（不合题意）；
当x=6，则y=5
3
（不合题意）；
当x=7，则y=5
6
（不合题意）；
当x=8，则y=0；
故有2种分组方案．
选：C．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意分情况讨论是解题关键．
4．把多项式x2+mx﹣35分解因式为(x﹣5)(x+7)，则m的值是()
A．2 B．﹣2 C．12 D．﹣12
【答案】A
【解析】分解因式的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m的值即可．【详解】x1+mx-35=（x-5）（x+7）=x1+1x-35，
可得m=1．
故选A．
【点睛】
此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
5．已知|3x+y﹣2|+(2x+3y+1)2＝0，则xy的值为()
A．1 B．﹣1 C．1
2
D．2
【答案】B
【解析】根据非负数的性质可得32231x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解方程组求得x ，y 的值，即可求得xy 的值．
【详解】∵|3x+y ﹣2|+(2x+3y+1)2＝0，
∴32
231x y x y +=⎧⎨+=-⎩
， 解得：1
1x y =⎧⎨=-⎩，
∴xy ＝﹣1，
故选B ．
【点睛】
本题考查了非负数的性质和解二元一次方程组，熟知非负数的性质是解决问题的关键．
6．某班45名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12，11，9，4，则第5组的频率是（ ） A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.4
【答案】B
【解析】根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率．
【详解】解：∵第5组的频数为45﹣（12+11+9+4）＝9，
∴第5组的频率是9÷45＝0.2，
故选：B ．
【点睛】
此题考查了频数与频率，弄清题中的数据是解本题的关键．
7．已知关于x 的不等式0ax b ->，若0a <，则这个不等式的解集是( )
A ．b
x a >- B ．b
x a <- C ．b
x a > D ．b
x a <
【答案】D
【解析】利用不等式的基本性质即可得出解集．
【详解】解：0ax b ->
ax ＞b
∵a ＜0， ∴b
x a <，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，掌握知识点是解题关键．
8．若m ＜n ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A ．1m ＜ 1n
B ．m 2＜n 2
C ．m －2＜n －2
D ．－m ＜－n
【答案】C
【解析】根据不等式的性质解答，
【详解】A 、如果mn >0，依据不等式基本性质2，在不等式m ＜n 两边 都除以mn ，不等式方向不变，故m mn <n mn ，即1n <1m ，故A 项错误。

B 、当0<m <n 时，不等式m 2<2n 成立，故B 项错误。

C 、m ＜n ，依据不等式基本性质1，不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变。

因此原式m-2<n-2，故C 项正确。

D 、依据不等式性质3， 不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向改变。

因此-m >-n ，故D 项错误。

【点睛】
掌握不等式的性质
不等式性质1
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变,即：
如果a ＞b,那么a+m ＞b+m ；
如果a ＜b,那么a+m ＜b+m.
不等式性质2
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数,不等号的方向不变,即：
如果a ＞b,且m ＞0,那么am ＞bm ；
如果a ＜b,且m ＞0,那么am ＜bm.
不等式性质3
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向改变,即：
如果a ＞b,且m ＜0,那么am ＜bm ；
如果a ＜b,且m ＜0,那么am ＞bm.
9．如图，五架轰炸机组成了一个三角形飞行编队，且每架飞机都在边长等于1正方形网格格点上，其中A 、B 两架轰炸机对应点的坐标分别为()2,1A -和()2,3B --，那么轰炸机C 对应点的坐标是（ ）
A ．()2,1-
B ．()4,2-
C ．()4,2
D ．()2,0
【答案】A 【解析】根据A （﹣2，1）和B （﹣2，﹣3）的坐标以及与C 的关系进行解答即可．
【详解】因为A （﹣2，1）和B （﹣2，﹣3），所以建立如图所示的坐标系，可得轰炸机C 的坐标为（2，﹣1）．
故选A ．
【点睛】
本题考查了坐标问题，关键是根据A （﹣2，1）和B （﹣2，﹣3）的坐标确定坐标轴的位置． 10．下列运算正确的等式是（ ）
A ．(5-m)(5+m)=m 2-25
B ．(1-3m)(1+3m)=1-3m 2
C ．(-4-3n)(-4+3n)= -9n 2+16
D ．(2ab-n)(2ab+n)=4ab 2-n 2 【答案】C
【解析】解：A ．（5-m ）（5+m ）= 25-m 2，所以此选项是错误的；
B ．（1-3m ）（1+3m ）=1-9m 2，所以此选项是错误的；
C ．（-4-3n ）（-4+3n ）= -9n 2+16，此选项是正确；
D ．（2ab-n ）（2ab+n ）=4a 2b 2-n 2，所以此选项是错误的；
故选C ．
二、填空题题
11．已知一个多边形的每一个外角都等于
，则这个多边形的边数是 ．
【答案】5
【解析】∵多边形的每个外角都等于72°，
∵多边形的外角和为360°，
∴360°
÷72°=5， ∴这个多边形的边数为5.
故答案为5.
12．水分子的直径为4×10-10m ，125个水分子一个一个地排列起来的长度为_______________m ．
【答案】8510-⨯
【解析】先求出125个水分子一个一个地排列起来的长度，再根据科学记数法表示即可．
【详解】解：101041012550010--⨯⨯=⨯ 8510()m -=⨯．
故答案为：8510-⨯．
【点睛】
本题考查了用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．破译密码：根据下面五个已知条件，推断正确密码是_________．
【答案】1
【解析】先判断出密码中必有数字7且在百位上，再判断出密码中必有式子8且在个位上，最后判断出密码中必有9，即可得出结论．
【详解】解：∵密码532，三个号码都不正确，
∴密码中没有数字：2，3，5，
∵密码257只有一个号码正确但位置不正确，
∴密码中必有数字7，并且不能在个位，
∵密码876只有两个号码正确，但位置都不正确，
∴密码7不能再十位，密码中8，6只有一个正确，。