高考数学二轮专题复习与策略数学思想集训2数形结合思想理

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数学思想集训(二) 数形结合思想
题组1 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题 1.方程|x 2
-2x |=a 2
+1(a >0)的解的个数有________个. 2 [∵a >0,∴a 2
+1>1. 而y =|x 2
-2x |的图象如图,
∴y =|x 2
-2x |的图象与y =a 2
+1的图象总有2个交点.]
2.已知函数f (x )=|log 2|x ||-⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
,则下列结论正确的是________.
①f (x )有三个零点,且所有零点之积大于-1; ②f (x )有三个零点,且所有零点之积小于-1; ③f (x )有四个零点,且所有零点之积大于1; ④f (x )有四个零点,且所有零点之积小于1.
① [在同一坐标系中分别作出f 1(x )=|log 2|x ||与f 2(x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
的图象,如图所示,由
图象知f 1(x )与f 2(x )有三个交点,设三个交点的横坐标从左到右分别是x 1,x 2,x 3,因为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫-12<0,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-14>0,所以-12<x 1<-14,同理12<x 2<1,1<x 3<2,即-1<x 1x 2x 3<-18,即所有零点之积大于-1.]
3.设函数f (x )的定义域为R ,f (-x )=f (x ),f (x )=f (2-x ),当x ∈[0,1]时,f (x )
=x 3
,则函数g (x )=|cos(πx )|-f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤-12,52上的所有零点的和为________.
7 [函数g (x )=|cos(πx )|-f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤-12,52上的零点为函数h (x )=|cos(πx )|与函数f (x )的交点的横坐标.因为f (-x )=f (x ),f (x )=f (2-x ),所以函数f (x )为关于x =1对称的偶函数,又因为当x ∈[0,1]时,f (x )=x 3
,则在平面直角坐标系内画出函数h (x )=
|cos(πx )|与函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤-12,52内的图象,如图所示,
由图易得两函数图象共有7个交点,不妨设从左到右依次为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6,x 7,则由图易得x 1+x 2=0,x 3+x 5=2,x 4=1,x 6+x 7=4,所以x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7=7,
即函数g (x )=|cos(πx )|-f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤-12,52上的零点的和为7.] 4.若函数f (x )=a +sin x 在[π,2π]上有且只有一个零点,则实数a =_____. 1 [函数f (x )=a +sin x 在[π,2π]上有且只有一个零点,即方程a +sin x =0在[π,2π]上只有一解,即函数y =-a 与y =sin x ,x ∈[π,2π]的图象只有一个交点,由图象可得a =1.]
5.已知函数f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧
x 3
,x ≤a ,x 2
,x >a ,若存在实数b ,使函数g (x )=f (x )-b 有两个零点,
则a 的取值范围是______________.
(-∞,0)∪(1,+∞) [函数g (x )有两个零点,即方程
f (x )-b =0有两个不等实根,则函数y =f (x )和y =b 的图象有两个公共点.
①若a <0,则当x ≤a 时,f (x )=x 3
,函数单调递增;当x >a 时,f (x )=x 2
,函数先单调递减后单调递增,f (x )的图象如图(1)实线部分所示,其与直线y =b 可能有两个公共点.
②若0≤a ≤1,则a 3
≤a 2
,函数f (x )在R 上单调递增,f (x )的图象如图(2)实线部分所示,其与直线y =b 至多有一个公共点.
③若a >1,则a 3
>a 2
,函数f (x )在R 上不单调,f (x )的图象如图(3)实线部分所示,其与直线y =b 可能有两个公共点.
综上,a <0或a >1.]
题组2 利用数形结合思想求解不等式或参数范围
6.若不等式log a x >sin 2x (a >0,a ≠1)对任意x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0,π4都成立,则a 的取值范围
为________.

⎛⎭⎪⎫0,π4 [记y 1=log a x (a >0,a ≠1),y 2=sin 2x ,原不等式即为y 1>y 2
,由题意作出
两个函数的图象,如图所示,知当y 1=log a x 的图象过点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4,1时,a =π4,所以当π4<a
<1时,对任意x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0,π4都有y 1>y 2.]
7.函数f (x )是定义域为{x |x ≠0}的奇函数,且f (1)=1,f ′(x )为f (x )的导函数,当
x >0时,f (x )+xf ′(x )>1
x
,则不等式xf (x )>1+ln|x |的解集是________. (-∞,-1)∪(1,+∞) [令g (x )=xf (x )-ln|x |,则g (x )是偶函数,
且当x >0时,g ′(x )=f (x )+xf ′(x )-1
x
>0,
∴g (x )在(0,+∞)上单调递增.
故不等式xf (x )>1+ln|x |⇔g (|x |)>g (1), ∴|x |>1,解得x >1或x <-1.]
8.若不等式|x -2a |≥1
2
x +a -1对x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是________.
⎝ ⎛⎦
⎥⎤-∞,12 [作出y =|x -2a |和y =12x +a -1的简图,依题意知应有2a ≤2-2a ,故a ≤12
.]
9.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪

|lg x |,0<x ≤10,-1
2
x +6,x >10.若a ,b ,c 互不相等,且f (a )=f (b )=
f (c ),则abc 的取值范围是________.
(10,12) [作出f (x )的大致图象.
由图象知,要使f (a )=f (b )=f (c ),不妨设a <b <c , 则-lg a =lg b =-1
2
c +6.
∴lg a +lg b =0,∴ab =1,∴abc =c . 由图知10<c <12,∴abc ∈(10,12).]
10.已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx +π3的相邻两条对称轴之间的距离为π4,将函数f (x )的图象向右平移π
8
个单位后,再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得到g (x )的图象,
若g (x )+k =0在x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上有且只有一个实数根,则k 的取值范围是________.
【导学号:19592072】
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪
-12
<k ≤1
2或k =-1
[因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π
4,结合三角函
数的图象可知T 2=π4,即T =π
2
.
又T =2π2ω=π2,所以ω=2,f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +π3.
将f (x )的图象向右平移π
8
个单位得到f (x )=
sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝
⎛⎭⎪⎫x -π8+π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x -π6的图象,再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到
g (x )=sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x -π6
的图象. 所以方程为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6+k =0. 令2x -π6=t ,因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,
所以-π6≤t ≤5π
6
.
若g (x )+k =0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上有且只有一个实数根,即y =sin t 与y =-k 在
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤-π6,5π6上有且只有一个交点.
如图所示,由正弦函数的图象可知
-12≤-k <1
2或-k =1, 即-12<k ≤1
2
或k =-1.]
题组3 利用数形结合解决解析几何问题
11.已知圆C :(x -3)2
+(y -4)2
=1和两点A (-m,0),B (m,0)(m >0).若圆C 上存在点P ,使得∠APB =90°,则m 的最大值为________.
6 [根据题意,画出示意图,如图所示,
则圆心C 的坐标为(3,4),半径r =1,且AB =2m ,因为∠APB =90°,连结OP ,易知OP =12AB =m .要求m 的最大值,即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离.因为OC =32+42=5,所以OP max =OC +r =6,即m 的最大值为6.]
12.过抛物线y 2
=2px (p >0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B ,C 两点,l 与抛物线的准线交于点A ,且AF =6,AF →=2FB →
,则BC =________.
9
2
[如图所示,直线与抛物线交于B ,C 两点,与抛物线的准线交于A 点.∵AF →=2FB →
,∴F 在A ,B 中间,C 在A ,F 之间,分别过B ,C 作准线的垂线BB 1,CC 1,垂足分别为B 1,C 1.由抛物线的定义可知BF =BB 1,CF =CC 1.
∵AF →=2FB →
,AF =6, ∴FB =BB 1=3.
由△AFK ∽△ABB 1可知,
FK BB 1=AF
AB
,∴FK =2. 设CF =a ,则CC 1=a , 由△ACC 1∽△AFK ,得
CC 1FK =AC AF
. ∴a 2=6-a 6,∴a =32
. ∴BC =BF +FC =3+32=92
.]
13.已知P 是直线l :3x +4y +8=0上的动点,PA ,PB 是圆x 2
+y 2
-2x -2y +1=0的两条切线,A ,B 是切点,C 是圆心,则四边形PACB 面积的最小值为________.
22 [从运动的观点看问题,当动点P 沿直线3x +4y +8=0向左上方或右下方无穷远处运动时,直角三角形PAC 的面积S Rt △PAC =12PA ·AC =1
2PA 越来越大,从而S 四边形PACB 也越来越
大;当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时,S 四边形PACB 变小,显然,当点P 到达一个最特殊的位置,即CP 垂直于直线l 时,S 四边形PACB 应有唯一的最小值,
此时PC =|3×1+4×1+8|
32+42
=3, 从而PA =PC 2
-AC 2
=2 2.
所以(S 四边形PACB )min =2×1
2
×PA ×AC =2 2.]
14.已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2
+y 2
-6x +5=0相交于不同的两点A ,B . (1)求圆C 1的圆心坐标;
(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;
(3)是否存在实数k ,使得直线L :y =k (x -4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由.
[解] (1)圆C 1的方程x 2
+y 2
-6x +5=0可化为(x -3)2
+y 2
=4,所以圆心坐标为(3,0). 3分
(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1≠x 2),
M (x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22
,y 0=y 1+y 22
.
由题意可知直线l 的斜率必存在,设直线l 的方程为y =tx . 将上述方程代入圆C 1的方程,化简得(1+t 2
)x 2
-6x +5=0. 5分
由题意,可得Δ=36-20(1+t 2
)>0(*),x 1+x 2=61+t 2,所以x 0=31+t 2,代入直线l 的方程,得y 0=
3t 1+t
2. 因为x 2
+y 20
=9+t
22

9t 2
+t
22

+t 2
+t
22

91+t 2=3x 0,所以⎝

⎭⎪⎫x 0-322+y 20=94. 由(*)解得t 2<45,又t 2
≥0,所以53<x 0≤3.
所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为
⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322+y 2=94⎝ ⎛⎭
⎪⎫53<x ≤3. 10分 (3)由(2)知,曲线C 是在区间⎝ ⎛⎦
⎥⎤53,3上的一段圆弧.
如图,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53,253,E ⎝ ⎛⎭⎪⎫5
3
,-253,F (3,0),直线L 过定点G (4,0).
联立直线L 的方程与曲线C 的方程,消去y 整理得(1+k 2
)x 2
-(3+8k 2
)x +16k 2
=0. 14分
令判别式Δ=0,解得k =±34,由求根公式解得交点的横坐标为x H ,I =125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤
53,3.
由图可知:要使直线L 与曲线C 只有一个交点,则k ∈[k DG ,k EG ]∪{k GH ,k GI },即k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-257
,257∪⎩⎨⎧
⎭⎬⎫-34,34. 16分。

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