与等边三角形有关的全等三角形题目

与等边三角形有关的证明三角形全等的问题
等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，两个大小不等的等边三角形通常有一个公共点经过旋转得到一些全等三角形，证明时思路具有相同之处，下面进行简单的总结一下.
一． 证明相应线段相等的题目
如图所示是城市的部分街道示意图，AB=BC=AC ，CD=CE=DE ，A,B,C,D,E,F 为公共汽车停靠点，“公共汽车甲”从A 站出发，按照A H G D E C F 的顺序到达F 站，“公共汽车乙”从B 站出发，按照B F H E D C G 的顺序到达G 站，如果甲，乙两车分别从A,B 两站同时出发，在各站耽误的时间相同，两车速度也一样，试问哪一辆公共汽车先到达指定站？为什么？ 【分析】要想知道哪一辆公共汽车先到达指定地点，因为两车的速度一样，在每个站点停的时间也一样，所以只要比较两车行驶的路程即可.根据题意可知甲公共汽车行驶的路线为：AH+HG+GD+DE+EC+CF=AD+DE+EC+CF 乙公共汽车行驶路线为：BF+FH+HE+ED+DC+CG=BE+ED+DC+CG 因为AB=BC=AC ，CD=CE=DE ，
只要比较线段AD 与BE;CF 与CG 的大小即可.
很容易正△ACD ≌△BCE ，△BCF ≌ACG 可得AD=BE ， CF=CG
G F
H B
D
C
E A
所以两辆车同时到达.
3.如图，点C 是线段AE 上一动点（不与A,E 重合），在AE 的同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ,有以下五个结论：①AD=BE;②PQ ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°，其中一定成立的结论有 .（把你认为正确的序号都填上） 【分析】△ABC 和△DCE 都是等边三角形，∴BC=AC,DC=EC ∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ∴∠ACD=∠BCE
在△ACD 与△BCE 中=AC BC
ACD BCE DC EC =⎧⎪
⎨⎪=⎩
∠∠
∴△ACD ≌△BCE （SAS ） ∴AD=BE ∠DAC=∠EBC
∴∠BOD=∠DAB+∠ABO=∠DAB+∠ABP+∠EBC=∠DAB+∠DAC+∠ABP=∠BAC+∠ABC=120°
∴∠AOB=180°-∠BOD=60°，∴①AD=BE ，⑤∠AOB=60°正确 ∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCQ=180°-∠ACB-∠DCE=60° ∴∠ACP=∠BCQ=60°
在△ACP 与△BCQ 中=PAC QBC AC BC ACP BCQ =⎧⎪
=⎨⎪⎩
∠∠∠∠
O Q P
B
D C
E
A
△ACP≌△BCQ（ASA）∴CP=CQ AP=BQ
又∵∠PCQ=60°，∴△PCQ是等边三角形
∴∠QPC=∠ACB=60°，∴PQ∥AE；∴②PQ∥AE，③AP=BQ正确. 在△PCD中∠PDC≠∠PCD，∴DP≠DC，
又因为DC=DE，∴DP≠DE，∴④DE=DP是错误的.
综上所述，正确答案是①②③⑤
试一试：1.如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法中正确的个数有()
①MN∥AB；②∠DPM＝60°；③∠DAP＝∠PEC；
④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE＝30°，则∠AEB＝80°.
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5
N
M
F
E C
B
A
2.如图，点C 在线段AB 上，△ACM 、△CBN 是等边三角形，AN 、MC 交于点E ，BM 、CN 交于点F. （1）求证：AN=BM. （2）试判断△CEF 的形状.
2.△ABD ，△AEC 都是等边三角形，求证BE=DC
例1.D 为等边三角形ABC 的边BC 上一点，且点E 在线段AD 上（端点A 除外），△BEF 为等边三角形，当点E 在AD 上由点D 向A 运动时，AE 与FC 的比值是否变化？若变化说明怎样变化；若不变化，说明理由.
【答】AE 与FC 的比值不会变化.理由如下 ∵△ABC 和△BEF 都是等边三角形 ∴AB=CB,
EB=FB
B
∠ABC=∠EBF=60°
∴∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC 即∠ABE=∠CBF
在△ABE 与△CBF 中BA BC =⎧⎪
⎨⎪⎩
∠ABE=∠CBF BE=BF
∴△ABE ≌△CBF （SAS ） ∴AE=CF ∴
1AE
CF
= 就是说AE 与FC 的比值不会变化 例2.△ABC 是等边三角形，AD 是中线，△ADE 是等边三角形，BE 等于BD 吗？为什么？
【解答】BE=BD 理由如下： △ABC 是等边三角形，AD 是中线，
∴AB=AC BD=CD ∠BAC=60° ∠BAD=∠CAD=30° ∵△ADE 是等边三角形，∴AE=AD ∠EAD=60° ∴∠EAB=∠EAD-∠BAD=30° ∴∠EAB=∠DAB=30°
在△ABE 与△ABD 中EA DA
=⎧⎪
⎨⎪⎩
∠BAE=∠BAD BA=BA
∴△ABE ≌△ABD （SAS ）∴BD=BE 二．判断三角形的形状 例3.△ABC 是等边三角形，D 是BC 上一点，在△ABC 的外
C
角平分线CE上取一点E，使CE=BD，连接AE,DE,AD，请判断△ADE的形状，并说明理由。

【分析】△ADE是等边三角形.理由如下：
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC，
∠B=∠BAC=∠ACB=60°
∴三角形ABC的外角为180°-60°=120°
∵CE是外角的平分线，∴∠ACE=60°
∴∠B=∠ACE=60°
在△ABD与△ACE中
AB AC
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
∠B=∠ACE BD=CE
∴△ABD≌△ACE
∴AD=AE ∠BAD=∠CAE
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=∠BAC=60°
∴∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形.
三.具有公共顶点的等腰三角形.
例4.如图①，在有公共顶点的△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE，且∠CAB=∠EAD.
（1）求证：CE=BD；
（2）若将△ADE绕点A按逆时针
方向旋转，当旋转到点A,E,D在一条直线上时，如图②（1）中的结
E
②
①
论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由. 【分析】∠CAB=∠EAD. ∴∠CAB-∠DAC=∠EAD-∠DAC ∴∠BAD=∠CAE 在△ABD 与△ACE 中
AB AC =⎧⎪
⎨⎪⎩
∠BAD=∠CAE AD=AE ∴△ABD ≌△ACE ，∴CE=BD （2）结论也成立。

3.如图，AD ⊥AE ，AB ⊥AC ，AD ＝AE ，AB ＝AC.求证：△ABD ≌△
ACE.
)(内江中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A ，D 重合，连接BE ，EC.试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．。