2024年安庆市高三模拟考试(二模) 数学含答案
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2024年安庆市高三模拟考试〈二模〉
.
数学试题
命题:
考试时间120分钟,满分150分
-、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,有且只有-项符合题目要求。
1设集合A=�I I匀’-斗寸,集合B=↓xl斗>O↓,则AnB=
I IX-1 I
A.(L 2]
B.[1,2] c.(-LI)
(l+i)2 -
2.己知复数Z=--;:::=一一,z是Z的共辄复数,则z·z=
飞/3-i
A.一
B.I c.2
D.(-L2) D.4
r y2
3.设F是椭圆C:二一+一=1的一个焦点,过椭圆C中心的直线交椭圆于P,Q两
25 9
点,则b.PQF的周长的最小值为
A 12 B. 14 C. 16 D. 18
4.在一次学科核心素养能力测试活动中,随机抽取了100名同学的成绩G平分满分为
100分〉,将所有数据按[40 , 50] , ( 50 , 60] , ( 60 , 70] (70, 80], (80, 90], (90, 100]进行分组,整理得到频率分布直方图如图所示,则估计这次调查数据的第64百分位数为
A.80
B.78
C.76
D.74
5英军
组l,'e.
0.030�-一-一-
0.025』一-一-…一
0.020』…
0.015←-··
第4题图
/分
2024年安庆二模数学参考答案
一、选择题
1. A
【解析】[]12A =−,
,()()∞+−∞−=,,11 B ,=B A (]12,,故选A. 2. B
【解析】因为1
2z −+=
=,所以12z −=,得1zz =,故选B. 3. C
【解析】设F '是椭圆的另一个焦点,根据题意和椭圆的对称性可知,PF QF '=,所以△PFQ 的周长10PF QF PQ QF QF PQ PQ '++=++=+ 10616+=≥,当且仅当直线PQ 与y 轴重合时等号成立,故选C. 4. B
【解析】因为前3组数据的频率之和为4.02.015.005.0=++,前4组数据的
频率之和为7.03.02.015.005.0=+++,则%64分位数在(]7080,
内,设%64分位数为x ,则()64.0030.0704.0=⨯−+x ,解得78=x ,所以%64分位数为78,故选
B .
5. C
【解析】已知00n a q >>,,且1q ≠,-11n n a a q =.
若{}n a 为递减数列,由指数型函数的性质可知,1<<0q ,随着n 趋向无穷大,n a 趋向于0,所以一定存在正整数m ,当m n >时,1<n a .
若存在正整数m ,当m n >时,1<n a 恒成立,假使1>q ,由指数型函数的性质,
则当n 趋向无穷大,n a 趋向于无穷大,不符合要求.只有当1<<0q 满足条件,此时{}n a 为递减数列,所以是充要条件,故选C.
6. A
【解析】因为C (
)03,,且1BC =,所以点B 在以点C 为圆心,1为半径的圆上. 如图,过点P 作圆C 的切线,设在第二象限的切点为B ,连接BC ,则BC BP ⊥. 连接CP ,在
Rt △CBP 中,1BC =,
()22132PC =+=,所以,
π6
CPB ∠=. 又易知π3CPO ∠=,所以πππ366BPO CPO CPB ∠=∠−∠=−=. 因为π5ππ=66
−,所以OP 与PB 夹角最大值为5π6,故选A. 7. B
【解析】由()πcos 2sin 22sin 24f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭,因为()x f 的图象关于点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭
,对称,所以ππ2π44k ω⨯+=, Z k k ∈−=,212ω. 又()x f 在π03⎛⎫ ⎪⎝⎭
,上没有最小值,ππ2ππ24434x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭,,所以2ππ3π342
ω+≤,815≤ω,故23=ω,故选B. 8. D
【解析】对于A ,若1EC D E ⊥,则⊥EC 平面ED D 1,
故DE EC ⊥ .在矩形ABCD 中取边AB 的中点E ,因为
AD AB 2=,易证得DE EC ⊥,所以1EC D E ⊥. 故A 错
误;
对于B ,在11D A 上任取点1P ,过1P ,1B ,B 作正方
体的截面BP B P 11,其中B B P P 11//,M EC PB = .
第6题解答图
在平面BP B P 11中,M P 1与B B 1不平行,故N B B M P =11 .因为1P 是在11D A
上任取的点,故这样的直线N P 1有无数条. 故B 错误;
对于C ,易求得二面角D AE D −−1的平面角为1π4
D AD ∠=,在锐二面角D A
E D −−1中过点A 作AD D 1∠的平分线,显然满足与平面AE D 1和平面DAEC 都成
π8
;在平面AE D 1和平面DAEC 所成钝二面角中,过点A 作与平面AE D 1和平面DAEC 都成π8
的直线有2条;现过点E 分别作这3条直线的平行线可作3条,即过点E 与平面AE D 1和平面DAEC 所成角都等于π8的直线有且只有3条. 故C 错误;
对于D ,第一类:通过点A 位于三条棱之间的直线中有一条与1AA AD AB ,,所成的角都相等;第二类:在图形外部与每条棱的反向延长线和另2条棱夹角相等的直线有3条,合计4条.现过点E 分别作这4条直线的平行线,这样的平行线共有4条, D 正确,故选D.
二、多项选择题
9. ACD
【解析】解析:令0x y ==,可得,()01f =,A 项正确;
令11x y ==−,,可得,()()()01111f f f =+−−=,所以()()112f f +−=,B 项错误;
令12x x >,则()()()12121f x f x f x x =+−−,而120x x −>,()121f x x −<,则()()()121210f x f x f x x −=−−<,()()12f x f x <,所以函数()f x 为减函数, C 项正确;
令y x =−,()()()011f f x f x =+−−=,()()2f x f x +−=,则函数()f x 关于点()01,
对称,D 项正确. 10. CD
【解析】易知抛物线C 的方程为24x y =,直线l 的方程为tan 1y x α=+,将
tan 1y x α=+代入24x y =,整理得24tan 40x x α−−=.
设A ()11x y ,,B ()22x y ,
,则124tan x x α+=,124x x =−.
所以AB ==
()241tan α=+,
由16AB =,得2tan 3α=,所以tan α=,所以π3α=或2π3α=,所以A 不正确.
因为 212111222
AOB AOF BOF S S S OF x x x x ∆∆∆=+=−=−=≥,当且仅当0α=时,△AOB 的面积有最小值2,故B 不正确.
因为切线AE 的方程为()11112
y x x x y =−+,切线BE 的方程为()22212
y x x x y =−+,联立可得点E 的坐标为()2tan 1α−,,故点E 在一条定直线1y =−上,所以C 正确.
当时0α=°时,显然90β=°,90αβ−=°;当时0α≠°时,因为111tan 2tan 0tan βαα
−−==−−,所以tan tan 1αβ=−,这说明直线EF 与直线l 互相垂直,所以90αβ−=°,所以D 正确.
11. BCD.
【解析】若A 成立,由已知有33=a ,44=a ,75=a ,由()3412232ta a ta a ta a +++=+,解得31=t ,得到{}n n ta a ++1的前4项依次为35,310,315,3
25,不可能构成等差数列,故A 错误. 对B ,设()n n n n ta a s ta a +=++++112,则()n n n sta a t s a +−=++12
,故⎩
⎨⎧==−11st t s ,有非零实数解,且012≠+ta a ,故B 正确.
对C ,()()2122343++++++=−++=+n n n n n n n a a a a a a a ,故C 正确. 对D ,()
()()n n
n n n n a a a 11111
22
−+−−=−++++,即()()
()1
1
20232023
20243
111a a a i i i −+−−=−∑=22023−=a ,故()3120232024
1
−=−∑=a a i i i
,故D 正确.
三、填空题
12. 210
【解析】二项式10
31⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+x x 的展开式中,通项公式为
()
r r
r
r
r
x C x x C
65
51031010
1−−=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅,100≤≤r ,当6=r 时,常数项210610
=C . 13. 3π
【解析】过圆锥的轴PM 作截面,显然其截面为等腰
PAB ∆,球心O 在轴PM 上,点O 是内切球的球心,故
ON OM =,点O 是外接球的球心,故OB OP =,所以PAB
∆是等边三角形.因为2=AB ,所以半径1=MB ,母线2=PB ,求得圆锥的表面积为线3π. 14.
a 2
1
,a 【解析】曲线C 有x 轴,y 轴,x y =,x y −=四条对称轴,由曲线的对称性,内切圆心为坐标原点,只需考察第一象限内,曲线上的点到原点距离的最小值即为内切圆半径,第一象限内曲线上的点为()y x P ,,则22y x PO +=,令
αcos 3131a x =,αsin 3
131a y =,π02α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,,则()
α
α662sin cos +=a PO α2sin 4
3
12−=a ,故当π4α=时,a PO 21min =,即内切圆半径为a 21;
由曲线的对称性,只需考察第一象限内的点()n m ,()0>0>n m ,为切点的直
第13题解答图
线,考查函数2
33
232⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
−=x
a y ,则切线方程为()n m x m a m y +−⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
−−=2
13
2323
2,设切线与x 轴,y 轴交点为B A ,,由于3
23
23
2a n m =+,令0=y ,得A 点坐标
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+03231,m n m ,令0=x ,得B 点坐标⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+031
32,n n m ,故a n m n m n m n n m m n m AB =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2
32
32322
3232322
31322
3231.
四、解答题
15.【解析】
(1)由已知得:
ABD
BAD
ADB ADB ABD ABD ∠∠=∠∠+∠∠cos sin 2cos sin cos sin ,
故 ABD
BAD
ADB ABD ADB ABD ADB ABD ∠∠=∠∠∠∠+∠∠cos sin 2cos cos sin cos cos sin ,
所以()ABD BAD
ADB ABD ADB ABD ∠∠=∠∠∠+∠cos sin 2cos cos sin .
……………… 3分
因为()()sin sin πsin 0ABD ADB BAD BAD ∠+∠=−∠=∠≠, 故2
1
cos =
∠ADB ,所以π3ADB ∠=.
……………… 6分
(2)解法一:由已知,△ABD 为边长为4的等边三角形, 在△ABC 中,π
6
ACB ∠=
,由正弦定理得ACB AB BAC BC ∠=∠sin sin ,
故BAC ACB
BAC
AB BC ∠=∠∠=
sin 8sin sin .
由于πBAC BCA ABD CBD ∠+∠+∠+∠=,所以π2
BAC CBD ∠+∠=, 故CBD BC ∠=cos 8.
……………… 9分
在△BCD 中, 由余弦定理得CBD BC BD BC BD CD ∠⨯⨯−+=cos 2222,
即16cos 84222=∠⨯⨯−+=CBD BC BC CD ,得4=CD .
……………… 13分
解法二:设ACD α∠=,因为90ADC ∠=°,所以sin AD AC α=⨯,即
4
sin AC α
=
①. ……………… 8分
在△ABC 中,
sin sin AC AB
ABC ACB
=
∠∠,所以()481sin π2
AC α==−,即8sin AC α= ②.
……………… 10分
由①②得,2
sin 2
α=
,所以45α=°, ……………… 12分
所以4CD =.
……………… 13分
解法三:以D 为圆心,DA 为半径作圆D .
若点C 在圆D 内,如图,连接AC 并延长交圆D 于C ',连C B ',
则1π
26
ACB AC B CBC AC B ADB '''∠=∠+∠>∠=∠=,
与π
6
ACB ∠=矛盾;
……… 9分
若点C 在圆D 外,同理可得π6
ACB ∠<, 与π
6
ACB ∠=
矛盾. ……… 12分
故点C 在圆D 上,所以4DC DA ==.
……… 13分
16. 【解析】
(1)当3m =−时,()3
2ln f x x x x
=−−,其定义域为()0+∞,
, 第 15 题解答图
求导,得()()()22223123231x x x x f x x x x x
−−+−++'=−+==. ……………… 3分
令()0f x '=,得3x =(1x =−舍去),
……………… 4分
当03x <<时,()0f x '>,函数()f x 单调递增;
……………… 5分
当3x >时,()0f x '<,函数()f x 单调递减.
……………… 6分
所以函数()f x 的单调递增区间为()03,
,单调递减区间为()3+∞,. ……………… 7分
(2)方法1:由条件可知()01≤f ,于是01≤−m ,
解得1≤m .
……………… 8分
当1≤m 时,()x
x x x m x x x f 1
ln 2ln 2+−+
−=≤, ……………… 9分
构造函数()x
x x x g 1
ln 2+
−=,1≥x , 对其求导,得()()2
22
121
10x g x x x x
−'=−−=−≤, ……………… 10分
所以函数()g x 在[)1+∞,
上单调递减,于是()()01g =≤x g , ……………… 14分
因此实数m 的取值范围是(]1−∞,
. ……………… 15分
方法2:由条件可知x x x m ln 22−≤对任意的[)1x ∈+∞,
恒成立, ……………… 8分
令()x x x x h ln 22−=,1≥x ,只需()[]min x h m ≤即可.
……………… 10分
对函数()h x 求导,得()()()22ln 12ln 1h x x x x x '=−+=−−,
()
()21121x h x x x −⎛⎫''=−= ⎪⎝⎭
≥0,所以函数()h x '在[)1,+∞上单调递增,
……………… 12分
于是()()10h x h ''=≥,所以函数()h x 在[)1+∞,
上单调递增, 所以()()min 11h x h ==⎡⎤⎣⎦,于是1≤m ,
……………… 14分
因此实数m 的取值范围是(]1−∞,
. ……………… 15分
17. 【解析】
(1)证明:取BC 的中点O ,连接OA OP 、,如图所示.
因为四边形ABDC 是边长为2的菱形,PBC ∆是边长为2的等边三角形, 所以ABC ∆也是边长为2的等边三角形.
在等边PBC ∆中,O 是BC 的中点,故BC OP ⊥;且
3==OP OA ,
又6=PA ,故OA OP ⊥;又O BC OA = ,故
ABC OP 平面⊥;
又OP ⊂平面PBC ,故平面PBC ⊥平面ABC .
.………………6分
(2)由(1)知,BC OP ⊥,OA OP ⊥. 又O 是等边ABC ∆的BC 边中点,故OA BC ⊥.
所以,以O 为原点,分别以OP OB OA 、、所在直线为z y x 、、轴,建立如图示空间直角坐标系.
第17题解答图1
则)0
03(,,A ,)010(,,B ,)010(,,−C ,)300(,,
P ,故)2
3
023(,,E . ……………… 8分
因为DBC ∆是边长为2的等边三角形,故3OD OP PD ===,所以
60POD ∠=,且OD BC ⊥,
又BC OP ⊥,O OP OD = ,故DOP BC 平面⊥,则
D 在平面xOz 内.故求得)23
023(,,−D ,所以
)23123(
,,−=BE ,)2
3
123(,,−−=BD , 设平面ABC 的法向量为)(c b a m ,,=,显然可令
(0)m =,0,1;
设平面EBD 的法向量为)(z y x n ,,=,则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+−−=⋅=+−=⋅02
3
23
02
3
23
z y x BD n z y x BE n , 令2=z ,则30==y x ,,即)230(,
,=n . ……………… 11分
227
cos 77
m n m n m n
⋅<>=
=
=所以,,
设平面EBD 与平面ABC 的夹角为θ,则7
21
cos 1sin 2=><−=n m
,θ, 故平面EBD 与平面ABC 的夹角的正弦值为
217
. ……………… 15分
18.【解析】
(1)()()02275.02
9545
.012212=−=
+=σμξξ≥≥P .P . 第17题解答图2
所以符合该项指标的学生人数为:6825.6802275.03000≈=⨯人.
……………… 4分
(2)①记1A 表示解答A 类试题第一次测试合格,1B ,2B 分别表示解答B 类试
题第一次和第二次测试合格,测试共进行3次记为事件M ,则()311=A P ,
11121121311331
()()+()3443444
P A M P A B B P A B B ==⨯⨯+⨯⨯=.
……………… 7分
11121121111
()()+()3
4()1()()
43
P A M P A B B P A B B P M A P A P A ====.
……………… 10分
② 设X 的取值为0,1,2 ,
……………… 11分
224
(0)339P x ==⨯=,
13321335
(1)+344334416P x ==⨯⨯⨯⨯⨯=,
()()()14435
1012==−=−==x P x P x P ,
……………… 14分
所以X 的分布列为
……………… 15分
数学期望4535115
()012916144144
E X =⨯+⨯+⨯=.
……………… 17分
19. 【解析】
(1)1, 0.25;
……………… 2分
(2)证明:因为
a a a
b b b ⎡⎤⎧⎫=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭,等式两边同时乘b ,得 a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫
=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭
. ……………… 4分
因为a ,b 都为整数,所以a a b a b b b ⎧⎫⎡⎤
=−⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦也为整数,
又 1<0⎭⎬⎫⎩⎨⎧b a ≤,所以b b a b <0⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤.
所以10−⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧b b a b ≤≤,得证.
……………… 8分
解法一:假设b ,2b ,…,nb 都小于等于a ,因为a a a b b b b ⎡⎤⎧⎫
=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭,
所以⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a b b a b a nb ≤,所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a b a n ≤.
因为1<0⎭⎬⎫⎩⎨⎧b a ≤,所以⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡b a n ≤,
所以b 的倍数中不大于a 的正整数的个数为a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
……………… 12分
解法二:设b 的倍数为kb (*k ∈N ),所以kb a ≤,即a k b
≤
, ……………… 8分
所以k =1,2,3,…,a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
,
所以b 的倍数中不大于a 的正整数的个数为a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
……………… 12分
(3)!123n n =⨯⨯⨯
⨯,将2,3,…,n 每一个数都分解为质因数的乘积.
对于质因数i p ,利用(2)中结论,i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为
i n p ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
,记为1n ,将这些数都提取i p 出来,此时i p 的倍数中还有可以提取出i p 的数,注意到2i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为2i n p ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦,记为2n ,将这些数提
取i p 出来;同理,3i p 的倍数中不大于n 的正整数的个数为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡3i p n ,记为3n ,依此
这样进行下去,则质因数i p 的指数
∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+++=132321r r i i i i i p n p n p n p n n n n a ,得证.
……………… 17分。