数学解题中的逆向思维及其应用

数学解题中的逆向思维及其应用
[摘要]所谓逆向思维就是不按习惯思维方向，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。

解题时，顺推不行时考虑从其反面来间接解决，探讨可能性发生困难时转换为探讨不可能性。

总之，当我们反复思考某个问题陷入困难时，逆向思维会使人顿开茅塞，绝境逢生。

[关键词]数学教学逆向思维可逆性
一、运用反证法归谬进行逆向思维
例1.已知函数f(x)=2x2+mx+n，求证｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于1.
分析：正面求证困难，我们采取反证法，假设命题不成立，即｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜都小于1，则
由(1)＋(3)得－112,则p3+q3>p3+(2-p)3=6(p-1)2+2≥2,这与p3+q3=2矛盾，∴p+q≤2。

二、运用补集思想进行逆向思维
1.求二项式（153x－y）15展开式中所有无理系数之和。

分析：本题若正面求解，必须用二项式定理展开，先找出所有无理系数，再求其和，这显然十分麻烦，可试着从反面思考。

由通项Tr+1=C r15315-r15x15-r(-y)r,知该二项式的展开式中所有有理系数的项只有两项：
T1=(153x)15=3x15和T16=(-y)15=-y15,其系数之和为3+(-1)=2.
又在二项式（153x－y）15中，令x=y=1,可得展开式中所有各项的系数之和为（153－1）15.故二项式（153－y）15展开式中所有无理系数之和为（153－1）15－2.
评注：若把二项展开式中所有系数设为全集，则展开式中无理系数与有理系数互为补集，利用补集思想逆向思维使本题得以解决。

例2.若函数f(x)=(m-2)x2-4mx+(2m-6)的图象与x轴有两个交点，其中至少有一个在x轴的负半轴上，求实数m的取值范围。

分析“至少有一个在x轴的负半轴上”包含两种情形，其否定情形“两个都不在x轴的负半轴上”则较简明。

假设两个交点都不在x轴负半轴上，由一元二次方程的根与系数关系有
注意到全集I=.故m的取值范围为(1,2)∪(2,3).
三、运用可逆原理进行逆向思维
例1.求值tan23°+tan37°+ 3tan23°tan37°
解：原式= tan(23°+37°)(1-tan23°tan37°)+ 3tan23°tan37°
=3-3tan23°tan37°+ 3tan23°tan37°=3
评注：这里利用公式的可逆性，直接逆用公式使问题很快得到解决。

例2.某地区为促进淡水养殖业发展，把价格控制在适当范围内，决定对淡水养殖提供政府补贴。

设淡水鱼市场价x元/公斤，政府补贴t元/公斤，据市场调查，在8≤x≤14时，淡水鱼的日供应量P千克与需求量Q千克近似地有：
P=1000(x+t-8)(x≥8,t≥0),Q=500[40-(x-8)2]12(8≤x≤14).称P=Q时淡水鱼价为市场平衡价格。

（1）把市场平衡价格表示为政府部补贴的函数，并求此函数的定义域。

（2）为使市场平衡价格不高于10元/公斤，政府补贴每公斤至少多少元？
分析：由P=Q,有1000（x+t-8)=500[40-(x-8)2] 12（*）可解得,由于x≥8,t≥0,所以函数表示式为.欲求函数的定义域，按常规思路应由8≤x≤14，即由解出t的范围，这显然很繁琐。

事实上，对于严格单调的函数，如果给出了值域，利用单调性就可以求出定义域，而函数在t∈［0，52］上是单调减函数，故当x=8时，t应有最大值，将x=8直接代入等式（*）,可方便地求出t=10,而t的最小值显然为0，故函数的定义域为t10。

对于（2），有8≤x≤10，同理，当x=10时，t最小，将x-10代入（*），可求得t=1,故政府补贴每公斤至少1元。

评注：本例利用严格单调函数的定义域与值域关系的可逆性得以解决，其思维的确与常规思维相反，这是我们平时不太注意的，应学会运用。

总之,在数学解题过程中，运用逆向思维可以起到事半功倍的效果,上述举例说明，只是运用逆向思维解题方法之冰山一角,还需要我们深入地去探讨、挖掘,让这一解决数学问题的锐利武器发挥最大的作用。