2023年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷(含解析)

2023年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. ―1
2
的相反数是( )
A. ―2
B. 2
C. 1
2D. ―1
2
2. 《新华字典》是新中国最有影响力的现代汉语字典，《新华字典》自1950年开始启动编写和出版工作，至今已历经70余年，出版至第12版，从1953年版本收录单字6840个(含异体字)，到12版收录13000字，收字数增加了将近一倍，将“13000”用科学记数法表示为( )
A. 0.13×104
B. 1.3×106
C. 1.3×104
D. 13×103
3. 下列运算正确的是( )
A. 9=±3
B. a6÷a2=a4
C. |3.14―π|=0
D. 2+3=5
4.
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知
∠BOC=120°，AB=3，则AC的长为( )
A. 3
B. 3
C. 23
D. 6
5.
AD是Rt△ABC的角平分线，若AB=4，BD=3，则点D到
AC距离为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
6.
如图，数轴上的点A可以用实数a表示，下面式子成立的是( )
A. |a|>1
B. |a―1|=a―1
C. a+1>0
D. ―1
a
<1
7. 某校为了了解本校学生课外阅读的情况，现随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如图统计图，根据相关信息，下列有关课外阅读时间(单位：小时)的选项中，错误的是( )
A. 本次抽取共调查了40个学生
B. 中位数是6小时
C. 众数是5小时
D. 平均数是5.825小时
8. 若点A(―1,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)在反比例函数的图象y=4
x
上，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3
B. y3>y2>y1
C. y1>y3>y2
D. y2>y3>y1
9. 《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛.”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，求1个大桶和1个小桶分别可以盛多少斛米？设1个大桶盛x斛米，1个小桶盛y斛米.可列方程组( )
A. 5x+y=3
x+5y=2B. x+5y=3
5x+y=2
C. 5x+3y=1
x+2y=5
D. 3x+y=5
2x+5y=1
10. 已知二次函数y=ax2+bx+c，y与自变量x之间的部分对应值如表所示.下列结论：
①abc>0；当②―2<x<1时，y>0；③4a+2b+c>0；④关于x的一元二次方程ax2 +bx+c+3=0(a≠0)的解是x1=―3，x2=1.其中正确的有( )
x…―3―2―10…
y…―3010…
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式3x―6=______ ．
12.
已知：如图，点D在边AB上，若∠1=∠______ 时，则△ADC
∽△ACB．
13.
如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若
∠1=38°，则∠2=______ ．
14. 若关于x的一元二次方程(a―1)x2―ax+a2=0的一个根为1.则a=______ ．
15. 若直线y=2x和y=kx―2相交于点Q(―3,m)，则关于x的不等式(2―k)x<―2的解集是______ ．
16.
如图，点D为等边三角形ABC边BC上一动点，AB=4，连接AD，
以AD为边作正方形ADEF，连接CE、CF，则当BD=______ 时，
△CEF的面积为最小值______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解不等式组：x―3<2 1―2x≤3．
18. (本小题8.0分)
如图，⊙O中，AB=CD，求证：△ABE≌DCE．
19. (本小题8.0分)
已知：M=a+b
2a2b―2ab2÷a2―b2
a2―2ab+b2
．
(1)化简M；
(2)如图，a、b分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥侧面积为24π，求M的值．
20. (本小题8.0分)
梅雨季节来临，某电器店开始销售A、B两种型号的便携式小型除湿器，B型除湿器每台价格
是A型除湿器的1.5倍.销售若干周后，A型除湿器总销售额为20000元，B型除湿器销售额为45000元，其中B型除湿器比A型除湿器多销售50台.求A型号的除湿器每台价格是多少元？21. (本小题8.0分)
为锻炼学生的社会实践能力，某校开展五项社会实践活动，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动，该校从全体学生中调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图(五个综合实践活动分别用ABCDE表示)：
(1)扇形统计图中的n%=______ %，B项活动所在扇形的圆心角的大小是______ °.
(2)甲同学想参加A、B、C三个活动中的一个，乙同学想参加B、C、E这三个活动中的一个，若他们随机抽选其中一个活动的概率相同，请用列表法或画树状图法，求他们同时选中同一个活动的概率．
22. (本小题8.0分)
如图，△ABO中，A(0,4)，B(―3,0)，AB绕点B顺时针旋转与BC重合，点C在x轴上，连接AC，若反比例函数y=m
与直线AC仅有一个公共点E．
x
(1)求直线AC和反比例函数y=m
的解析式；
x
(2)把△ACB沿直线AC翻折到△ACD，AD与反比例函数交于点F，求△FCD的面积．
23. (本小题8.0分)
已知：Rt△ABC中，∠C=90°，BM⊥AB．
(1)尺规作图：求作AB的中点O，连CO并延长，交BM于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求∠BDC的余弦值．
条件①：△AOC和△BOD的面积为S1和S2，且S1：S2=3：5；
条件②：△BOC和△AOC的周长为C1和C2，且C1―C2=AC．
24. (本小题8.0分)
如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，在AB边上找一点O，以BO为半径作圆.分别交BA，BC于点D，E.AE是⊙O的切线.且DE=35，CE=45．
(1)证明：∠AEC=∠ACE；
(2)求⊙O的面积；
(3)如图2，过点A作BC的平行线交⊙O点于点K，P为劣弧BR上一动点，连接AP，在AP上取
的最大值．
点F，使得∠DFP=∠ABE，连接CF交AD于H，求FH
HC
25. (本小题8.0分)
二次函数y1=mx2―2mx―3的图象记为G1．
(1)请直接写出二次函数y1=mx2―2mx―3与y轴的交点A及其对称轴；
(2)若二次函数y1=mx2―2mx―3过点B(―1,0)，其与x轴的另一个交点为C，抛物线G1上是
否存在点N，使△ACN是直角三角形，若存在，请求出点N的横坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，二次函数y2=ax2+bx+c的图象为G2，且夹在直线y=2x―7与抛物线G1
之间，二次函数y2同时符合以下三个条件：
①当p―4≤x≤2―p时，二次函数y2=ax2+bx+c最大值与最小值之差为9；
②当―5≤x≤―2时，y2随x的增大而减小；
③若把图象G2向左平移3个单位，当―5≤x≤―2时，y2随x的增大而增大；
求实数p的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：―12的相反数是12
．
故选：C ．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．2.【答案】C
【解析】解：将13000用科学记数法表示为1.3×104．
故选：C ．
科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
3.【答案】B
【解析】解：A 、 9=3，故A 不符合题意；
B 、a 6÷a 2=a 4，故B 符合题意；
C 、|3.14―π|=π―3.14，故C 不符合题意；
D 、 2与 3不能合并，故D 不符合题意；
故选：B ．
根据同底数幂的除法，绝对值，算术平方根的意义，二次根式的加法法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了同底数幂的除法，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：在矩形ABCD中，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠BOC=120°，
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB为等边三角形．
∴AB=AO=3，
AC=2AB=6，
故选：D．
由矩形的性质可得到OA=OB，于是可证明△ABO为等边三角形，于是可求得答案．
本题主要考查的是矩形的性质、等边三角形的性质和判定、求得AO的长是解题的关键．5.【答案】A
【解析】解：作DH⊥AC于H，
∵AD是Rt△ABC的角平分线，DB⊥AB，DH⊥AC，
∴BD=DH，
∵BD=3，
∴DH=3，
∴点D到AC距离为3，
故选：A．
作DH⊥AC于H，利用角平分线的性质得BD=DH，即可解决问题．
本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由数轴可知，―1<a<0，
∴|a|<1，A选项错误；
|a―1|=1―a，B选项错误；
a+1>0，C选项正确；
―1
>1，D选项错误．
a
故选：C．
有数轴知识得到a的取值范围，再判断选项正误．
本题考查了实数与数轴、绝对值的定义，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．
7.【答案】B
【解析】解：由统计图可得，
本次抽取共调查了6+14+8+5+7=40个学生，故选项A正确，不符合题意；
中位数是(5+6)÷2=5.5，故选项B错误，符合题意；
众数是5，故选项C正确，不符合题意；
平均数是：4×6+5×14+6×8+7×5+8×7
40
=5.825，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
根据统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
本题考查众数、中位数、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8.【答案】D
【解析】解：∵反比例系数k=4>0，
∴函数在第一、三象限，在每个象限内的函数值随x的增大而减小，
∵―1<0<2<3，
∴y1<0<y3<y2，
∴y2>y3>y1，
故选：D．
先由k=4>0得到函数在第一、三象限，在每个象限内的函数值随x的增大而减小，然后根据点的坐标特征以及函数的增减性得到y1，y2，y3的大小关系．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知反比例函数的增减性．
9.【答案】A
【解析】解：由题意得5x+y=3 x+5y=2，
故选：A．
直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2斛，分别得出等式组
成方程组求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，正确得出等量关系是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：①∵图象经过点(0,0)，
∴c=0，
∴abc=0，故说法错误；
②∵由于二次函数y=ax2+bx+c有最大值，
∴a<0，开口向下，
∵抛物线与x轴的交点为(―2,0)和(0,0)，
∴当―2<x<0时，y>0，
∴当―2<x<1时，y>0，故说法正确；
③当x=2时，y<0，
∴4a+2b+c<0，故说法错误；
④∵对称轴为直线x=―2+0
=―1，
2
∴点(―3,―3)关于直线x=―1的对称点是(1,―3)，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c+3=0(a≠0)的解是x1=―3，x2=1，故说法正确．
故选：B．
根据图象经过点(0,0)，得出c=0由此判断①；观察图表可知，开口向下，根据抛物线与x轴的交点，即可判断②；根据x=2，y<0即可判断③，二次函数y=ax2+bx+c在x=―2与x=0时，y值相等，得出对称轴为直线x=―1，即可根据抛物线的对称性求得点(―3,―3)关于直线x=―1的对称点是(1,―3)，即可判断④．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，二次函数的性质，难度适中．能够从表格中获取信息确定出开口方向和对称轴是解题的关键．11.【答案】3(x―2)
【解析】解：3x―6=3(x―2)．
故答案为：3(x―2)．
用提取公因式法分解．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法是解决本题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：∵∠DAC=∠CAB，
∴当∠1=∠B时，△ADC∽△ACB．
故答案为：B．
由相似三角形的判定：有两角对应相等的两个三角形相似，即可得到答案．
本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法．
13.【答案】52°
【解析】解：如图．
由题意得，a//b，∠3=90°．
∴∠2+∠3=∠4．
∵∠1=38°，
∴∠4=180°―∠1=142°．
∴∠2+∠3=142°．
∴∠2=142°―90°=52°．
故答案为：52°．
根据平行线的性质、邻补角的定义解决此题．
本题主要考查平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质、邻补角的定义是解决本题的关键．
14.【答案】―1
【解析】解：把x=1代入(a―1)x2―ax+a2=0中，得
a2=1，
∴a=±1，
由题意得：
a―1≠0，
∴a≠1，
∴a=―1，
故答案为：―1．
根据题意把x=1代入方程(a―1)x2―ax+a2=1中，可得a=±1，然后根据一元二次方程的定义可得a≠1，即可解答．
本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
15.【答案】x>―3
【解析】解：把Q(―3,m)代入y=2x得：m=―6，则Q的坐标是
(―3,―6)．
所以2x=kx―2的解是x=―3，
不等式(2―k)x<―2即2x<kx―2，
根据图象，得：不等式的解集是：x>―3．
故答案为：x>―3．
首先求得Q的坐标，不等式(2―k)x<―2，即2x<kx―2，根据图象即可直接求得解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是求得m的值，然后利用数形结合的方法确定不等式的解集．
16.【答案】2―39―43
2
【解析】解：如图，过点A 作AJ ⊥BC 于点J ，EK ⊥BC 交BC 的延长线于点K ，过点F 作FH ⊥AC 于点H ，过点D 作DT ⊥AC 于点T.设DJ =x ．
∵△ABC 是等边三角形，AJ ⊥BC ，∴BJ =CJ =2，AJ =2 3，∴AD 2=DJ 2+AJ 2=x 2+12，∵∠AJD =∠ADE =∠DKE =90°，
∴∠DAJ +∠ADJ =90°，∠ADJ +∠KDE =90°，∴∠DAJ =∠KDE ，∵AD =DE ，
∴△AJD≌△DKE(AAS)，∴DJ =DK =x ，
∵∠ATD =∠AHF =∠DAF =90°，
∴∠DAT +∠FAH =90°，∠FAH +∠AFH =90°，∴∠DAT =∠AFH ，∵AD =AF ，
∴△DTA≌△AHF(AAS)，∴AT =FH ，
∵CT =12
CD =12
(x +2)，
∴AT =FJ =4―12
(x +2)=3―12
x ，∴S 阴=S 正方形ABCD ―S △ADC ―S △DCE ―S △ACF
=x 2+12―12
×(2+x)×2 3―12
(x +2)×x ―12
×4×(3―1
2
x)
=1
2
x 2― 3x +6―2 3，∵12
>0，
∴S阴有最小值，当x=3时，最小值为4×1
2
×(6―23)―(3)2
4×1
2
=9―43
2
，此时BD=2―3．
故答案为：2―3，9―43
2
．
如图，过点A作AJ⊥BC于点J，EK⊥BC交BC的延长线于点K，过点F作FH⊥AC于点H，过点D作DTAC于点T.设DJ=x.构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
本题考查二次函数的最值，等边三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决问题．
17.【答案】解：x―3<2①
1―2x≤3②，
解不等式①得：x<5，
解不等式②得：x≥―1，
∴不等式组的解集为：―1≤x<5．
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
18.【答案】解：由题意得：∠B=∠C，
在△ABE与△DCE中，
∠AEB=∠DEC
∠B=∠C
AB=CD
∴△ABE≌△DCE(AAS)．
【解析】首先利用圆周角定理得到∠B=∠C，然后利用AAS判定两三角形全等即可．
本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定的知识，解题的关键是了解同弧所对的圆周角相等，难度较小．
19.【答案】解：(1)M=a+b
2ab(a―b)⋅(a―b)2 (a+b)(a―b)
=1
2ab
；
(2)由题意得：1
2
×2πa×b=24π，
则ab=24，
∴M=1
2×24=1
48
．
【解析】(1)根据分式的除法法则化简；
(2)根据扇形面积公式求出ab，代入计算即可．
本题考查的是圆锥的计算、分式的化简求值，掌握扇形面积公式是解题的关键．20.【答案】解：设A型号的除湿器每台价格是x元，根据题意可得：
20000
x +50=45000
1.5x
，
解得：x=200，
经检验x=200是原方程的解，
答：A型号的除湿器每台价格是200元．
【解析】设A型号的除湿器每台价格是x元，利用B型除湿器比A型除湿器多销售50台即可得出分式方程，解之即可得出结论．
此题考查分式方程的应用，关键是根据题意得出分式方程解答．
21.【答案】1572
【解析】解：(1)由题意，得m%=420÷630
30%
=20%，
∴n%=100%―10%―20%―25%―30%=15%，
B项活动所在扇形的圆心角为：20%×360°=72°，
故答案为：15，72；
(2)如图所示，画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的情况，分别是：AB、AC、AD、BB、BC、BD、CB、CC、CD，其中，两人同时选中同一个活动有2种，分别是：BB、CC，
∴P(两人同时选中同一个活动)=2
9
．
(1)先求出B 所占的百分比，再用100%减去A ，B ，C ，E 所占百分比即可得n ，将B 的百分比乘以360°即可得到B 项活动所在扇形的圆心角的大小；
(2)用列表法或树状图法得到所有等可能的结果数，再从中找出他们同时选中同一个活动的结果数，利用概率公式求解即可．
本题考查条形统计图与扇形统计图的读图与计算，列表法或树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵A(0,4)，B(―3,0)，
∴OA =4，OB =3，∴AB = 42+32=5，∵BC =AB ，∴OC =5―3=2，∴C(2,0)，
设直线AC 的解析式为y =kx +4，代入C(2,0)得，0=2k +4，解得k =―2，
∴直线AC 为y =―2x +4，
令―2x +4=k x
.整理得2x 2―4x +k =0，∵反比例函数y =m x 与直线AC 仅有一个公共点E ，∴Δ=0，即(―4)2―4×2×m =0，解得m =2，
∴反比例函数的解析式为y =2x
；(2)由题意可知AB =BC =CD =DA ，∴四边形ABCD 是菱形，∴AD//BC ，∴F 点的纵坐标为4，把y =4代入y =2x
得，x =12
，∴F(1
2
,4)，
∴AF =12
，∵AD =AB =5，∴
AF
AD =110
，∴S △ACD =S △ABC =12
BC ⋅OA =12
×5×4=10，∴△FCD 的面积为9．
【解析】(1)利用勾股定理求得AB =5，根据旋转的性质得出BC =5，即可求得OC =2，即C(2,0)，利用待定系数法即可求得直线AC 的解析式为y =―2x +4，令―2x +4=k x
.整理得2x 2―4x +k =0，与反比例函数y =m
x 与直线AC 仅有一个公共点E ，则Δ=(―4)2―4×2×m =0，解得m =2，即可求得反比例函数的解析式为y =2x
；
(2)由题意可知AB =BC =CD =DA ，即可得出四边形ABCD 是菱形，从而求得点F 的坐标，得到AF
AD
=
110，由于S △ACD =S △ABC =12BC ⋅OA =1
2
×5×4=10，即可得出△FCD 的面积为9．本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，旋转的性质，轴对称的性质，三角形的面积，证得四边形ABCD 是菱形是解题的关键．
23.【答案】解：(1)图形如图所示：
(2)选择条件①，过点C 作CE ⊥AB 于点E ．∵AO =OB ，∴CO =OA =OB ，∵AB ⊥BM ，
∴S 1=12
⋅AO ⋅CE ，S 2=12
⋅OB ⋅DB ，∵S 1：S 2=3：5，
∴CE：BD=3：5，
∵∠CEO=∠EBD=90°，∴CE//BD，
∴CE BD =CO
DO
=3
5
，
设CO=3x，则DO=5x，
∴CO=BO=3x，
在Rt△BOD中，BD=OD2―OB2=4x，
∴cos∠BDC=BD
OD =4x
5x
=4
5
．
选择条件②∵C1=OC+OB+BC，C2=AC+AO+CO，∴C1―C2=BC―AC，
∵C1―C2=AC，
∴BC―AC=AC，
∴BC=2AC，
设AC=x，则BC=2x，AB=5x，
∴OA=OB=OC=5
2
x，
∵1 2⋅AC⋅CB=1
2
⋅AB⋅CE，
∴CE=AC⋅BC
AB =25
5
x，
∵EC//BM，
∴∠ECO=∠BDC，
∴cos∠BDC=cos∠ECO=EC
CO =
25
5
x
5
2
x
=4
5
．
【解析】(1)作线段AB的垂直平分线，垂足为O，连CO并延长，交BM于点D；
(2)选择条件①，过点C作CE⊥AB于点E.由CE//BD，推出CE
BD =CO
DO
=3
5
，设CO=3x，则DO=5x，
CO=BO=3x，利用勾股定理求出BD，可得结论；
选择条件②由C1=OC+OB+BC，C2=AC+AO+CO，推出C1―C2=BC―AC，由C1―C2=AC，推出BC―AC=AC，推出BC=2AC，设AC=x，则BC=2x，AB=5x，利用面积法求出EC，可得结论．
本题考查作图―复杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题
的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】(1)证明：连接OE，
∵AE是⊙O的切线，且点E在⊙O上，
∴∠OEA=90°，
∴∠OEB+∠AEC=90°，
在⊙O中，OB=OE，
∴∠OEB=∠B，
∴∠B+∠AEC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠AEC=∠ACB；
(2)解：连接DC，过点A作AN⊥CE垂足为N，AN与CD交于点M，∵BD是⊙O的直径，
在Rt△DEC中，∠DEC=90°，
则CD=DE2+CE2=45+80=55，
由(1)得∠AEC=∠ACB，
∴AE=AC，
∵AN⊥CE，
∴N是CE的中点，
CE=25，
即CN=NE=1
2
∵∠BED=∠ANC=90°，
∴DE//AN，
∴△CMN∽△CDE，
∴
CM CD =MN DE =CN CE =1
2
，可得M 是CD 的中点，MN =1
2
DE =3
52
，
在Rt △DAC 中，AM =1
2CD =5
52
，
∴AN =AM +MN =4 5，∵DE//AN ，∴△BDE∽△BAN ，∴
BE BN =DE AN =3
4，即BE
BE +EN =34
，∵NE =2 5，∴BE =6 5；
在Rt △DEB 中，∠DEB =90°，∴BD = BE 2+DE 2=15，∵r =12
BD =
152
，∴⊙O 的面积=πr 2=
225
4
π；(3)解：过点F 作FQ ⊥AD 于Q ，由(2)知点M 是CD 的中点，在Rt △DEC 中，EM =12
CD ，
故E M =AM =CM =DM =12
CD ，∴D ，E ，C ，A 在以CD 为直径的⊙M 上，∵∠DFP =∠ABE ，
∴∠DFA =180°―∠DFP =180°―∠ABE ，∵∠OEA =∠OED +∠DEA =90°，
∵∠DEB =∠OED +∠OEB =90°，
∴∠DEA =∠OEB =∠ABE ，
∴∠DFA +∠DEA =180°，
∴点F 在以CD 为直径的⊙M 上，
∵FQ ⊥AD ，
∴∠FQH =∠CAH =90°，
∵∠FHQ =∠CHA ，
∴△FHQ∽△CHA ，
∴FH CH =FQ CA
，∵∠DEB =∠CAB =90°，
∠B =∠B ，
∴△DEB∽∠CAB ，
∴BD BC =DE CA =BE AB =156 5+4 5
，∴CA =10，AB =20，
∴FH CH =FQ 10
，当FQ 最大时，FH CH
才有最大值，过M 作MG ⊥AD 于G ，在⊙M 中，DG =12AD =
AB ―BD 2=52,DM =12CD =5 52，在Rt △DMG 中，MG = DM 2―DG 2=5，由点F 在劣弧AD 上，
当点Q 与点G 重合时，FQ 取最大值，最大值为5 52―5=52
( 5―2)，故当Q 为AD 的中点时，FH CH 有最大值，最大值为14(
5―2)．
【解析】(1)连接OE ，根据切线的性质得到∠OEA =90°，求得∠OEB +∠AEC =90°，根据等腰三角形的性质得到∠OEB =∠B ，于是得到结论；
(2)连接DC ，过点A 作AN ⊥CE 垂足为N ，AN 与CD 交于点M ，根据勾股定理得到CD = DE 2+CE 2
= 45+80=5 5，由(1)得CN =NE =12CE =2 5，根据相似三角形的性质得到CM CD =MN DE =CN CE
=12，得到M 是CD 的中点，于是得到MN =12DE =3 52
，根据相似三角形的性质得BE BE +EN =34，根据勾股定理得到BD = BE 2+DE 2=15，根据圆的面积公式即可得到结论；
(3)过点F 作FQ ⊥AD 于Q ，由(2)知点M 是CD 的中点，根据直角三角形的性质得到EM =12CD ，推出D ，E ，C ，A 在以CD 为直径的⊙M 上，得到∠DFA +∠DEA =180°，根据相似三角形的性质得到BD BC =DE CA =BE AB =156 5+4 5，求得CA =10，AB =20，当FQ 最大时，FH CH 才有最大值，过M 作MG ⊥AD 于G ，根据勾股定理MG = DM 2―DG 2=5，当点Q 与点G 重合时，FQ 取最大值，最大值为5 5
2
―5=52( 5―2)，当Q 为AD 的中点时，最大值为14
( 5―2)．本题是圆的综合题，考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，四点共圆，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)抛物线的对称轴为x =2m
2m =1，
对于y 1=mx 2―2mx ―3，令x =0，则y 1=―3，即点A(0,―3)；(2)存在，理由：
将点B 的坐标代入抛物线表达式得：0=m +2m ―3，则m =1
故抛物线的表达式为：y =x 2―2x ―3①，
由抛物线的表达式知，OA =OC =3，则直线AC 和x 轴的夹角为45°
当∠BAC 为直角时，则直线AN 和x 轴负半轴的夹角为45°，
故设直线AN 的表达式为：y =―x ―3②，
联立①②得：x 2―2x ―3=―x ―3，
解得：x =1；
当∠NCA 为直角时，同理可得，x N =―2，
当∠ANC 为直角时，设点N(t,t 2―2t ―3)，
过点N 作x 轴的平行线交y 轴于点E ，交过点C 和y 轴的平行线于点F ，
∵∠CNF+∠NCF=90°，∠ANE+∠CNF=90°，∴∠NCF=∠ANE，
∴tan∠NCF=tan∠ANE，即AE
EN =NF
CF
，
即|t2―2t|
|t|=|3―t
3+2t―t2
|，
解得：t=1+5或1―5，
综上，点N的横坐标为：1+5或1―5或1或―2；
(3)∵当―5≤x≤―2时，y2随x的增大而减小，则―b
2a
≥―2，
若把图象G2向左平移3个单位，当―5≤x≤―2时，y2随x的增大而增大，则―b
2a
≤―2，
则―b
2a
=―2，即对称轴为x=―2，则b=4a；
联立y=x2―2x―3和y=2x―7得：x2―2x―3=2x―7，
解得：x=2，则该点坐标为：(2,―3)；
由b=4a和点(2,―3)代入抛物线表达式并解得：c=―12a―3，
则抛物线的表达式为：y =ax 2+4ax ―12a ―3，
∵二次函数y 2=ax 2+bx +c 的图象为G 2，且夹在直线y =2x ―7与抛物线G 1之间，
则2x ―7≤y 2≤x 2―2x ―3恒成立，
即ax 2+(4a ―2)x ―12a +4≥0且(a ―1)x 2+(4a +2)x ―12a ≥0，
∵a >0，则Δ1=(4a ―2)2―16a ≤0且a ―1<0，则Δ2=(4a +2)2―4(a ―1)×(―12)≤0成立，
解得：(4a ―1)2≤0，
则a =14
，
则抛物线的表达式为：y =14x 2+x ―6；
由抛物线的表达式知，其对称轴为x =―2，此时，y =―7，
由p ―4≤x ≤2―p 得：p ≤3，
则2―p ≥―1≥―2，即x =2―p 在对称轴为右侧，
而2―p 和对称轴的距离为：2―p +2=4―p ，
当x =p ―4在对称轴的右侧时，
则14(2―p )2+(2―p)―6―14(4―p )2―(4―p)+6=9，
解得：p =―6(舍去)
当x =p ―4在对称轴的左侧时，
则抛物线在x =2―p 时，取得最大值，
则14(2―p )2+(2―p)―6―(―7)=9，
解得：p =10(舍去)或―2；
综上，p =―2．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)当∠BAC 为直角时，则直线AN 和x 轴负半轴的夹角为45°，得到直线AN 的表达式为：y =―x ―3，进而求解；当∠NCA 为直角时，同理可解；当∠ANC 为直角时，证明tan ∠NCF =tan ∠ANE ，即AE EN =NF CF ，即可求解；(3)确定抛物线的对称轴为x =―2，则b =4a ，通过b =4a 和点(2,―3)代入抛物线表达式并解得：c =―12a ―3，进而求解．
本题为二次函数综合题，涉及到一次函数和二次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、解
直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．。