无穷小(大)与极限运算(无穷小的比较)及两个重要极限

第4、5讲 无穷小（大）与极限运算（无穷小的比较）及两个重要极限 一、计划学时：2节 二、内容
三、要求 四、重点 五、难点
六、教学过程：
（一） 无穷小与无穷大 一、无穷小量
定义1 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量，简称为无穷小。

无穷小量只是极限的一个特殊情况（A =0），因而可由极限的不等式定义得到无穷小的精确定义，共有七种，先以x →x 0为例给出无穷小的精确定义：
定义2 设函数f (x )当|x |充分大时有定义。

若 ∀ M >0，∃ X >0，∍ |x |> X ⇒ ⎪f (x ) ⎪>M ，则称函数f (x )当x →∞时为无穷大量，记为)()(∞→∞→x x f 或∞=∞
→)(lim x f x . 注 由无穷大定义知，无穷大不是数，再大的数也不是无穷大。

且若函数是无穷大，则函数必无极限。

但为描述函数的这种变化趋势的性态，也称函数的极限是无穷大。

如：x →0时，x 1是无穷大；x → -1时，2)1(1
x +也是无穷大；x →∞时，1-ln x 是无穷大。

显然这些无穷大的变化趋势不相同，随着x →∞，
的值非负且越来越大，而1-ln x 则取负值且绝对值越来越大，在数学上加以区别就是正无穷大+∞与负无穷大-∞。

将定义2
中的“|x |> X ”相应地改为“x < X ”和“x >-X ”即可得到x →∞时正无穷大和负无穷大的定义。

共有21种无穷大的定义。

例2 证明
∞=-→1
1lim 1x x . 证 ∀ M >0，要使⎪f (x ) ⎪=│11-x │>M ，只要 | x -1|< M 1，取 δ =M
1，则当δ<-<|1|0x 时，
⇒ │11-x │>M ， ∴ ∞=-→1
1lim
1x x . 注❶ 证明无穷大的思想方法完全同于极限证明部分。

❷ 从图形(图10—13)上看直线 x =1是曲线y = 的垂直渐近线。

图10—13
2)1(1x
+1
1-x
一般地，如果x →x 0时f (x )为无穷大，即若∞=→)(lim 0
x f x x ，则直线x = x 0就是函数y =f (x )的图形的一条垂直渐近线，这就是x →x 0时无穷大的几何解释。

无穷大与无穷小的关系：
定理2 在自变量同一变化过程中，若f (x )为无穷大，则 为无穷小；反之，若f (x )
为非零无
穷小，则
为无穷大。

简言之：无穷小与无穷大是互为倒数的，但分母不得为0。

证 仅就过程x →x 0给出证明。

设∞=→)(lim 0
x f x x ，则∀ε>0，∵∞=→)(lim 0
x f x x ，∴对于正数M =1/ε，∃ δ >0，∍ 0<| x -x 0∣<δ 时，⇒
|f (x )| > M = 1/ε，⇒ ⎢ ⎪<ε， ∴ .
反之，设0)(lim 0
=→x f x x ，且f (x )≠0. ∀M >0， ∵0)(lim 0
=→x f x
x ，对于ε =M
1，∃ δ >0，使得当δ<-<||00x x 时，恒有│f (x )│< ε = ， ⇒ ⎢ ⎪> M ， ∴ .
无穷大与无界的关系：
由无穷大的定义知，若函数是某过程时的无穷大，则它必是此变化范围上的无界函数。

反之呢？
例3（P27题6） 函数f (x ) = x cos x 是（-∞，+∞）上的无界函数(图1-14)： ∀正整数M ， 都有x M = 2M π，使得f (x M )= 2M π cos 2M π =2M π > M ，∴f (x )是无界函数。

直观上看，对于再高的直线y = M ；直线的上方都有函数的图像。

但x →∞时它不是无穷大： 对于正整数M ， ∀X >0， ∃ x X =2
]
1[π+X >X ， 使得
f (x M )=2πM cos 2πM = 0< M ， ∴ f (x )不是x →∞时的无穷大。

直观上看，任意一条直线y =M ，
无论X 多么大，都有x X ，使得对应的函数图像在直线的下方。

再如，函数x
x x g 1sin 1)(=在区间(0,1)上是无界函数，但x →0+ 时不是无穷大（图1-15）。

所以，无穷大是无界函数，但无界函数未必是无穷大。

直观地说，无界仅要求对于再高
的界线，其上方总有函数图像的点，即出去界外还可回来；无穷大则要求对于任意高的界线，
01lim 0=→x x )(1x f M 1)
(1x f ∞=→)(1lim 0x f x x )(1
x f )(1
x f x
图1-14 图1-15
（二）极限运算
1. 极限的运算性质（法则）
由于高等数学的主要研究对象是初等函数，因此我们应该会求初等函数的极限，显然用定义求函数的极限是不现实的，我们应该通过对极限性质的进一步讨论来寻找一些更有效的求极限方法。

极限的性质可分为两大类：基本性质和运算性质。

函数极限一节已对极限的基本性质进行了研究。

再由初等函数的构成知，我们还应对函数的四则运算和复合运算性质进行研究。

下面的定理对七种极限过程均成立，我们仅以过程x →x 0为例给出证明。

定理1(四则运算法则) 如果函数)(x f 、)(x g 在自变量x 的同一变化趋势下有极限，则
⑴ ∆
→x lim )]()([x g x f ±存在，且∆→x lim )]()([x g x f ±=∆→x lim )(x f ±∆→x lim )(x g ； ⑵ Δ
l i m →x )]()([x g x f 存在，且Δlim →x )]()([x g x f =Δlim →x )(x f Δ
lim →x ()x g ；
⑶ )()
(l i m x g x f x ∆→存在，且)(lim )()()(lim x g x f x g x f x x ∆
∆→→=（分母不为0）. 证 三个公式证明的思想方法是一致的，仅给出(1)的证明：
设A x f x =→)(lim ∆,B x g x =→)(lim ∆
.则f (x ) = A +α ，g (x ) = B +β，其中α、β 为x →x 0时的无穷小。

则有 f (x ) + g (x ) = (A +B ) + (α +β ) ⇒ )]()([x g x f +=
)(lim )(lim x g x f B A x x ∆
∆→→+=+. ▌ 注❶ 可将定理5推广到任何有限多个函数的情形，但对无限的情形定理未必成立。

❷ 使用定理是一定注意满足条件：函数的极限存在。

❸ (2)的特别情形：)(lim )(lim x f k x f k x x ∆
∆→→=；n
x n x x f x f )](lim [)]([lim ∆∆→→=； ❹ lim [f (x )
-A ] = B ⇒ lim f (x ) = lim {[f (x )- A ] + A }= B +A ，特别地，lim [f (x )
- A ] = 0 ⇒ lim
f (x )= A .
例1 求极限 .
∆
→x lim
想一想为什么不限定g (x )≠0
3
lim x x x →
解 原式 =
· · =3
0x .
一般地有，n n x
x x x 0
lim =→. 例2 (P 28例1) 求极限)342(lim 32
+-→
x x x . 原式 = 11324223lim lim 4)lim (232
232=+⨯-⨯=+-→→→x x x x x . 一般地，若n 次多项式f (x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2
+ … +a n x n
，则
n x x n x x x x x x x x x a x a x a a x f )lim ()lim (lim lim )(lim 0
00002210→→→→→++++=
.
▌
注 求过程x →x 0时多项式f (x )的极限，只需将x = x 0带入多项式f (x ) 求对应值即可（代
入法）。

例3(P 29例2) 求极限3
253lim 21
++-→x x x x . 解 原式=)32(lim )53(lim 1
21
++-→→x x x x x =
5331251312=+⋅+⋅-. ▌ 注 一般地，若 ，其中P (x )、Q (x ) 均为多项式，则)()(lim 0
x P
x P
x x =→，
)()(lim 00
x Q x Q x x =→，若Q (x 0)≠0，由商的极限法则知
.
即求过程x →x 0时有理分式函数F (x )的极限，只需将x = x 0代入多项式F (x ) 求对应值即可。

例4(P 29例3) 求极限3
lim
→x 3
2322---x x x x .
解 ∵x →3时分母的极限为零，∴不能用代入法求。

注意到x →3时x ≠3. 原式=3
lim
→x )3()1()
3(-+-x x x x =3lim →x 1+x x =4
3133=+. （约分法） ▌
例5 (P30例5) 求极限4
532lim
21
+--→x x x x . 解 ∵x →1时分母的极限为零，∴不能用商的极限法则求。

注意到x →1时，分母的极
限不等于0，故 ∵ 3
45lim 2
1+-→x x x =010=-. ∴ 原式 = ∞ （倒置法）
▌
注 求此极限不可写为下式： ，第一步错用了商的极限法则，)
(0002010x f x a x a x a a n n n =++++= )()(x
P x F =
)()()()(lim )(lim )()(lim )(lim 0000
00x F x Q x P x Q x P x Q x P x F x
x x x x x x x ====→→→→x x x 0lim →x
x x 0lim →x x x 0lim →∞
==
+--→0
24
53
2lim
21
x x x x
第二步的代数式无意义。

例6 (P30例5) 求极限 )8
1221(lim 32---→x x x .
解 ∵x →2时，括号中两项极限均不存在，不能直接用极限的减法法则，先通分恒等
变型。

原式 = 2
1424lim 882lim 2232
2=+++=--+→→x x x x x x x x . （通分法） ▌ 例7(P30例6) 求极限4
52243lim 2323-++-∞
→x x x x x . 解 ∵x →∞时，分子、分母的极限都不存在(→∞)，∴不能直接用商的极限法则，利用 →0，先恒等变形： 原式= 2
3002003=-++-= . ▌
例8(P 31例7) 求极限
1
2134lim 23--+-∞→x x x x x . 解 注意到分子多项式的次数大于分母的，不能直接用上题的方法。

∵ 13412lim 32
+---∞→x x x x x =00134121lim 32==+---∞→x
x x x x x ， ∴ 原式 = ∞. （倒置法） ▌
一般地，可直接求x →∞时有理分式函数的极限
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∞<==++++++--∞→.
,0,
lim 0
0110110n m n m n m b a b
x b x b a
x
a x a n
n n m m m x ，，，
注 再次强调：使用极限四则运算法则必须满足其前提条件，而且仅为单向运算规则。

例如1999年全国MBA 入学考试题： “已知]5)(4[lim )(3lim +=∞→∞→x f x f x x x ，求)(3lim x f x x ∞
→” 由于题设意味着极限)(3lim x f x x
∞→与]5)(4[lim +∞→x f x 都存在，又55lim =∞
→x ， ∴5)()43(lim ])(4)(3[lim =-=-∞→∞→x f x x f x f x x x
，又由∞=-∞
→)43(lim x x 可推知0)(lim =∞
→x f x ，
∴ .
数学最基本的运算就是四则运算和复合运算，所以很有必要研究极限的复合运算问题。

定理2（极限的复合运算法则） 设函数y = f (u ) 及u = φ (x ) 构成复合函数y = f [φ (x )]，若
x 1
可作为结论直接应用
33522
43lim x x x x x -++-∞→35]5)(4[lim 31)(lim =+=∞→∞→x f x f x x x
A u f a x a
u x x ==→→)(lim ,
)(lim 0
ϕ，
且当x ≠x 0 时u ≠a ，则复合函数y = f [φ (x )]当x →x 0时的极限存在，且
A x f x x =→)]([lim 0
ϕ.
证 ∵A u f a
u =→)(lim ，∴( ε >0，(η > 0， 当 0<| x -a |
η 时，恒有 | f (u )- A |< ε ，
又∵a x x x =→)(lim 0
ϕ，∴对于上面的η，∃ δ >0，当0<⎢x -x 0 ⎢<δ 时，恒有⎢φ (x )-a ⎢=⎢u -a ⎢<
η.
又当x ≠ x 0 时u ≠ a ⇒ ⎢x -x 0 ⎢>0时，必有 ⎢u -a ⎢>0.
∴ 0<⎢x -x 0 ⎢<δ 时，必有0<⎢u -a ⎢< η. 从而就有⎢ f (u ) - A ⎢< ε. 所以A x f x x =→)]([lim 0ϕ. ▌
注❶ Th2表明 )]([lim 0
x f x x
ϕ→)(lim u f a u →=，即在里、外层函数的极限都存在的条件下，求复合函数的极限)]([lim 0
x f x x ϕ→可转化为求极限)(lim u f a u →. 这是个很重要的等式； ❷ Th2
对于极限过程∞→x 也成立；且可以将Th2推广到“∞=→)(lim 0
x x x ϕ，A u f u =∞→)(lim ”
的情形。

例9 求极限 . 证 令422--=x x u ，则4121lim 42lim lim 2222=+=--=→→→x x x u x x x ；又241lim 4/1==→u u =2
1
. ▌
注 熟练后不必写代换过程，只要里、外层函数的极限都存在，尤其是可用代入法的，
则直接用代入法即可。

例10 求极限 x
x x 11lim 0-+→.
证 ∵x →∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。

先恒等变形，将函数“有
理化”： 原式 = 2
1111lim )11()11)(11(lim 00=++=++++-+→→x x x x x x x . （有理化法） ▌
例11 求极限 )(lim 2x x x x -+∞
+
→.
证 原式 = .
▌ 注❸ 反向思维理解等式)]([lim 0
x f x x
ϕ→)(lim u f a u →=，它蕴含了“变量代换”的思想，即42lim 22--→x x x 211111lim lim )()(lim 2222=++=++=+-++-+∞+→∞+→∞+→x
x x x x x x x x x x x x x x x x )(lim 0
x f x x →)(t x ϕ=)]([lim )(lim 0
t f x f t t x
x ϕ→→=
可用变量代换的方法求极限 ：设 ，而x →x 0时t →t 0，则有 .
在，则β
α∆→x lim 存在，且βα∆→x lim = βα∆''→x lim . 证βα∆→x
lim βββααα∆'⋅''⋅'=→x lim βββααα∆∆∆'⋅''⋅'=→→→x x x lim lim lim βα∆''=→x lim ▌
例8 求极限 .
解 ∵ x →0时，tan x ~ x ，sin x ~ x ，所以 原式51
5lim 0==→x x x . ▌
注 等价无穷小的替换在极限运算中有着重要作用，应用的前提是掌握一定量的等价无穷小，因此应注意收集一些在运算中有用的等价无穷小，特别地，0→x 时，与x 等价的无穷小。

除了x sin 与x 是一对等价无穷小之外，P .37例1和例3表明 0→x 时，x 与x tan ， x 2/ 2 与1-cos x 也是等价无穷小，今后还将介绍x →0时， x 与x arcsin ，与x arctan ，与
1-x e ，与)1ln(x +等.
例9 求极限 2
30
3cos 1lim x x x
x +-→.
解 ∵ x →0时，1-cos x ~ x 2/ 2等价， ∴ 原式 . ▌
例10 求极限 x
x
x x 2sin sin tan lim
30
-→.
解 原式16
1821lim )2()cos 1(tan lim 32030=⋅=-=→→x x x x x x x x . ▌ 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。

如上例
原式0
)2(lim 3
=-=→x x x x . ▌
（三）极限存在准则 两个重要极限
主要内容
1 夹逼准则
2 单调有界准则
3 两个重要极限
4 柯西极限存在准则
讲解提纲：
一、准则I （夹逼准则）：如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件:
（1）),3,2,1( =≤≤n z x y n n n ; （2）,lim ,lim a z a y n n n n ==∞
→∞
→
61
31lim 21321lim 0232
0=+=+
=→→x x x x x x 0lim →x x
x
5sin tan
那末数列n x 的极限存在, 且.lim a x n n =∞
→
注：利用夹逼准则求极限，关键是构造出n y 与n z , 并且n y 与n z 的极限相同且容易求. 二、准则II （单调有界准则）：单调有界数列必有极限. 三、两个重要极限：
1. 1sin lim 0=→x x x ； 2．e x x
x =⎪⎭⎫
⎝⎛+∞→11lim
四、 柯西（Cauchy ）极限存在准则
例题选讲：
例1求 .1211
1lim 222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++
++++∞→n n n n n 解：,11112222+<++++<+n n n n n n n n
1111lim lim 2=+=+∞→∞→n n n n n n 又 1111
lim 1lim 2
2
=+=+∞→∞→n
n n n n 由夹逼定理得：.1)12111(lim 222=++++++∞
→n n n n n
例2求 (
)
.3
21lim /1n
n n
n ++∞
→
例3 求 .lim n n n ∞
→
例4 求证).0(1lim >=∞
→a a n n
例5 求极限 .1lim 0⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+→x x x
解：因为x
x x 1111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<- 当0>x 时，有11)11(≤⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡<-x x x x
又1)11(lim 0=-+→x x
x 所以11lim 0=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+→x x x
例7 求 x
x
x arcsin lim
0→
解：令,arcsin x t =则，＝sint x 当0→x 时，有0→t .
于是由复合函数的极限运算法则得1sin lim arcsin lim 00==→→t t
x
x t x
例8 求 .cos 1lim
2
0x x
x -→
2202sin 2lim x x x →=原式220)2(2sin lim 21x x x →=2
1121)2
2sin (lim 21220=⋅==→x x x
例9 计算 ;cos sin 1lim
2
0x x x x x -+→ 例10 求23)41(lim +∞
→-
x x x
解：原式＝12)23(44)
41(lim -⎪⎭
⎫
⎝
⎛+-⋅-∞→=-e x
x x x x
例11 求 .1lim 22x
x x x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-∞→ 例12 求极限 ()
.sin lim tan 2
/x
x x π→
解：()⎪⎭
⎫
⎝⎛+→→⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-t t x
x t t x x 2tan 0tan 2/2sin lim 2sin lim ππππ
＝()
⎪⎭
⎫
⎝⎛--→→=t t t t
t t e
t cos ln sin cos lim cot 0
0cos lim
＝()⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+--→11cos ln sin cos lim 0t t t t e
＝⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛--→22sin 21ln 2cos 2sin 2cos lim 0t t t t t e
2
sin 2t s =()⎪⎭⎫ ⎝⎛--→2021ln 21lim s s
s e ＝()⎪⎭
⎫
⎝⎛--→2021ln 2lim s s s s e ＝10=e
课堂练习
1. 求极限0
sin 2tan 2lim
x x
x x +-+→.
2. 求极限(
)
.lim /10
x
x
x x
e +→。