二次函数求最值参数分类讨论的方法

二次函数求最值参数分类讨论的方法
题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值
例１、求函数2
()23f x x ax =−+在[0,4]x ∈上的最值。

分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。

解：222
()23()3f x x ax x a a =−+=−+− ∴此函数图像开口向上，对称轴x=a
①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远，
∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a
②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远，
∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a
③、当2≤a＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远，
∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3
④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远，
∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =3
例2、已知函数2()(21)3f x ax a x =+−−在区间3[,2]2
−上最大值为1,数a 的值 分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.
解:1)若a=0,则f(x)=-x-3,而f(x)在3[,2]2
−上取不到最大值为1,∴a ≠0 2)若a ≠0,则2()(21)3f x ax a x =+−−的对称轴为0122a x a
−= (Ⅰ)若3()12f −=，解得103
a =−，此时0233[,2]202x =−∈− a<0, 0()f x 为最大值，但23()120
f −≠ (Ⅱ) 若(2)1f =解得34a =此时013[,2]32
x =−∈− 0310,43
a x =>=−距右端点2较远，(2)f 最大值符合条件
(Ⅲ) 若0()1f x =解得a =
当0a
<时034[,2]2
x =−∉−
当0a <时034[,2]2
x =∈−
综收所述34a =或a = 评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。

题型二：“动区间定轴”型的二次函数最值
例3．求函数2
()23f x x x =−+在x ∈［a,a+2］上的最值。

解：2()23f x x x =−+2
(1)2x =−+ ∴此函数图像开口向上，对称轴x=1
①当a ＞1时，a 距对称轴x=1最近，a+2距x=1最远，
∴当x=a 时，min y =- a ２+3 ,x=a+2时，max y = a ２ +2a+3
②当0＜a≤1时，1距对称轴x=1最近，a+2距离x=1最远，
∴当x=1时，min y =2 ,x=a+2时，max y = a ２ +2a+3
③当-1＜a≤0时，1距对称轴x=1最近，a 距x=1最远，
∴当x=1时，min y =2 ,x=a 时，max y =a ２-2a+3
④当a≤-1时，a+2距对称轴x=1最近，a 距x=1最远，
∴当x=a+2时，min y = a ２ +2a+3 ,x=a 时，max y = a ２ -2a+3
题型三：“动轴动区间”型的二次函数最值
例５、已知函数22()96106f x x ax a a −+−−在1
[,]3
b −上恒大于或等于０，其中实数[3,)a ∈+∞,数b 的围． 分析：找出函数的对称轴：3a x =结合区间1[,]3
b −讨论3a b ≥或133a b −<<的情况 解：∵21()9()106,[,]33
a f x x a x
b =−−−∈− 若3a b ≥时，f(x)在1[,]3
b −上是减函数 ∴min y =2()9()1063a f b b a =−−−即29()1063a b a −−−≥0则条件成立 令22
()(610)96,[3,)u g a a b a b a ==−++−∈+∞
(Ⅰ)当3b+5≤3时.即23
b ≤−则函数g(x)在[)3,+∞上是增函数 ∴2min (3)9183096u g b b ==−−+−
即2
918270b b −−≥解得b ≥3或b ≤-1 ∵23
b ≤−,∴b ≤-1 (Ⅱ)当3b+5>3即23
b >−
,min (35)3031u g b b =+=−− 若-30b-31≥0解得3130b ≤−与23
b >−矛盾; (2)若133a b −<<时, min ()1063
a y f a ==−−即-10a-6≥0 解得35a ≤−与[3,)a ∈+∞矛盾; 综上述：
b ≤-1
评注：此题属于“动轴动区间”型的二次函数最值，解决的关键是讨论对称轴与定义域区间的位置更便于我们分类类讨论，然后依据口诀，很快就可解决问题。

最后,我们在得用分类讨论方法解题中要注意两个原则：一、分类不重不漏；二、一次分类只能按已确定的同一标准进行．
二次函数分类讨论补充习题
1．已知函数()2
22f x x x =++，若[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最小值，并作出最小值的函数图象。

2．已知函数2
()3f x x =−+，若()26f x kx ≤−+在区间[]2,1−上恒成立，数k 的取值围。

3．已知k 为非零实数，求二次函数,122
++=kx kx y (,2]x ∈−∞的最小值。

4．已知3a ≤，若函数()2
21f x x ax =−+在[]3,1上的最大值为()a M ，最小值为()a m ，又已知函数()()()a m a M a g −=，求()a g 的表达式。

含参数的二次函数问题练习题
1、 当41≤≤x 时，求函数242−+−=x x y 的最小值。

2、 已知函数()12−+=ax ax x f ，若()0<x f 恒成立，数a 的取值围。

3、 当20≤≤x 时，函数()()3142−++=x a ax x f 在2=x 时，取得最大值，数a 的取值围。

4、 已知函数322+−=x x y ，在m x ≤≤0时有最大值3，最小值2，数m 的取值围。

5、 已知函数()122+−=px x x f ，当0≥x 时，有()0≥x f 恒成立，数p 的取值围。

6、 方程0122=++x ax 至少的一个负数根，数a 的取值围。

7、 方程0322=−+−a ax x 的两根都在()2,0，数a 的取值围。

8、 方程k x x =−
2
32在()1,1−上有实根，数k 的取值围。

9、已知()2223t tx x x f −−=，当31≤≤−x 时，有()0≤x f 恒成立，数t 的取值围。

10、已知()t x x x f ++−=232，当11≤≤−x 时，有()0≥x f 恒成立，数t 的取值围。

11、已知()2234a ax x x f −+−=，当21≤≤x 时，有()0≥x f 恒成立，数a 的取值围。

12、已知()b bx x x f +−=23，当12≤≤−x 时，有()0≥x f 恒成立，数b 的取值围。

13、函数2()(0)f x ax bx c a ++≠的图象关于直线2b x a
=−对称。

据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程[]2()()0m f x nf x p ++=的解集不可能
是
A. {}1,2 B {}1,4 C {}1,2,3,4 D {}1,4,16,64 含参数的二次函数问题练习题答案：
1、2min −=y ；
2、04≤<−a ；
3、21−≥a ；
4、21≤≤m ；
5、1≤p
6、1≤a ；
7、23≤<a ；
8、25169<≤−
k ；9、3≥t 或9−≤t ； 10、5≥t ；11、
132≤≤a ；12、0≥b ； 13、D
[13解析]:设()t x f =则方程[]2()()0m f x nf x p ++=，可化为02=++p nt mt ，若此方程有两个等根0t ，则有()0t x f =，可以有选项A ，B ，若02=++p nt mt 有两个不等根21,t t ，则有()1t x f =，()2t x f =；如图若()1t x f =的两根为21,x x ，()2t x f =的两根为43,x x ，应有21,x x 的中点与43,x x 中点应相同，即2
41232+=+，选项C 符合要求，而选
项D 中26412
164+≠+，则不满足。

故选D。