【金版新学案】高考数学总复习 课时作业52 椭圆 理 北师大版

课时作业(五十二) 椭 圆
A 级
1．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率e ＝1
2，则椭圆的标准方程为( )
A.x 2
2＋y 2
＝1 B ．x 2
＋y 2
2＝1
C.x 24＋y 23
＝1 D.y 24＋x 2
3
＝1 2．设直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 和一个顶点B (如图)，则这个椭圆的离心率e ＝( )
A.25
5 B.55
C.
32
D.12
3．(2012·海淀模拟) 2＜m ＜6是方程x 2
m －2＋
y 2
6－m
＝1表示椭圆的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2
3＋y 2
＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另
外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )
A ．2 3
B ．6
C ．4 3
D ．12
5．已知椭圆x 2
4＋y 2
＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，
则点M 到y 轴的距离为( )
A.23
3 B.26
3
C.33
D. 3
6．已知椭圆C 的中心在坐标原点，椭圆的两个焦点分别为(－4,0)和(4,0)，且经过点(5,0)，则该椭圆的方程为________．
7．已知椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆的一个顶点为A (0,2)，离心率e ＝6
3
，
则椭圆方程为________．
8．(2012·郑州模拟)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2
＋y 2
b
2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1
的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |的长为________．
9．(2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，
F 2在x 轴上，离心率为
2
2
.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．
10．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为
3
2
，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于不同的两点A ，B .
(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．
11．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|. (1)求此椭圆的方程；
(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积．
B 级
1．(2012·长春二模)在以O 为中心，F 1、F 2为焦点的椭圆上存在一点M ，满足|MF 1→
|＝2|MO →|＝2|MF 2→
|，则该椭圆的离心率为( )
A.22
B.33
C.63
D.24
2．底面直径为12 cm 的圆柱被与底面成30°的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为________，短轴长为________，离心率为________．
3．(2011·北京卷)已知椭圆G ：x 2a ＋y 2b ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为6
3
，右焦点为(22，
0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．
(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积． 详解答案
课时作业(五十二)
A 级
1．C 由题意，c ＝1，e ＝c a ＝12
，∴a ＝2，∴b ＝a 2－c 2
＝3，
又椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝1.
2．A B (0,1)，F (－2,0)，
故c ＝2，b ＝1，a ＝b 2＋c 2
＝5，e ＝c a ＝255.
3．B 若x 2
m －2＋y
2
6－m
＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧
m －2＞06－m ＞0
m －2≠6－m
，
∴2＜m ＜6且m ≠4， 故2＜m ＜6是
x 2
m －2＋
y 2
6－m
＝1表示椭圆的必要不充分条件．
4．C 设椭圆的另一焦点为F ，
则由椭圆的定义知|BA |＋|BF |＝23， 且|CF |＋|AC |＝23，
所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3. 5．B 方法一：由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．
设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2
＝3① 又因为点M 在椭圆上，故x 2
4＋y 2＝1，即y 2
＝1－x 2
4②
将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±26
3.
故点M 到y 轴的距离为26
3
.
方法二：由题可知b 2＝1，θ＝π2，c ＝3，代入焦点三角形的面积公式S ＝b 2
tan θ2
＝
c |y P |可得，|y P |＝
1
3
，代入椭圆方程得|x P |＝26
3.
6．解析： 由题意，c ＝4，且椭圆焦点在x 轴上， ∵椭圆过点(5,0)．∴a ＝5，∴b ＝a 2
－c 2
＝3. ∴椭圆方程为x 225＋y 2
9＝1.
答案：
x 2
25
＋y 2
9
＝1 7．解析： 依题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
b ＝2，e ＝
c a
＝a 2－b 2a ＝6
3.
∴a ＝23，故椭圆方程为x 212＋y 2
4＝1. 答案：
x 2
12
＋y 2
4
＝1 8．解析： 由题意|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB |①， 由椭圆的定义，|AF 1|＋|AF 2|＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2，
∴|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4＝|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝3|AB |，∴|AB |＝4
3.
答案： 4
3
9．解析： 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1，
由e ＝22知c a ＝22，故b 2
a 2＝1
2
.
由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16.故a ＝4.
∴b 2
＝8.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 2
8＝1.
答案：
x 2
16
＋y 2
8
＝1 10．解析： (1)设椭圆的方程为x 2a ＋y 2b ＝1(a ＞b ＞0)，因为e ＝32
，所以a 2＝4b 2
，又
因为椭圆过点M (4,1)，所以
16
a 2
＋1
b 2＝1，解得b 2＝5，a 2
＝20，故椭圆方程为x 220＋y 2
5
＝1. (2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 2
5＝1并整理得5x 2
＋8mx ＋4m 2
－20＝0，
Δ＝(8m )2
－20(4m 2
－20)＞0，解得－5＜m ＜5.
11．解析： (1)依题意得，|F 1F 2|＝2，又2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a ，∴a ＝2，c ＝1，b 2
＝3. ∴焦点在x 轴上，∴所求椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)设P 点坐标为(x ，y )，∵∠F 2F 1P ＝120°， ∴PF 1所在直线的方程为y ＝(x ＋1)·tan 120°，
即y ＝－3(x ＋1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－3x ＋
，
x 24＋y 2
3
＝1.
并注意到x ＜0，y ＞0，可得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－85
，y ＝335.
∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·335＝33
5
.
B 级
1．C 不妨设F 1为椭圆的左焦点，F 2为椭圆的右焦点，过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫c 2，0.设|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|＝2t (t ＞0)，根据勾股定理可知， |MF 1
→|2
－|NF 1→|2＝|MF 2→|2－|NF 2→|2，得到c ＝62t ，而a ＝3t 2，则e ＝c a ＝63
，故选C.
2．解析：
作出经过椭圆长轴的圆柱的轴截面， 易得2a ＝
12
cos 30°
＝8 3 cm ，
短轴长即为底面圆直径12 cm ，
∴c ＝a 2－b 2
＝2 3.∴e ＝c a ＝12
.
答案： 8 3 cm 12 cm 1
2
3．解析： (1)由已知得，c ＝22，c a ＝
6
3
.解得a ＝2 3. 又b 2
＝a 2
－c 2
＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 2
4＝1.
(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋m ，x 212＋y
24
＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2
－12＝0.
设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 2
2
＝
－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m
4
. 因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－
m
4
－3＋
3m 4＝－1，解得m ＝2.
此时方程①为4x 2
＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.
此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离
d ＝
|－3－2＋2|2
＝32
2，
所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝9
2.。