高中数学复习：基本不等式及其应用

(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(3)
a2
2
b2
≥
a
2
b
2
(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(4) b + a ≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.
ab
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3.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当⑤ x=y 时,x+y有最⑥ 小 值,是 ⑦ 2 p .(简记:积定和最小) (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当⑧ x=y 时,xy有最⑨ 大 值,是
C.81
D.82
答案
C
xy≤
x
2
y
2
=
18 2
2
=81,当且仅当x=y=9时等号成立,故选C.
4.若x>1,则x+ 4 的最小值为
.
x 1
答案 5
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解析 x+ 4 =x-1+ 4 +1≥4+1=5,当且仅当x-1= 4 ,即x=3时等号成
x 1
x 1
x 1
立.
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考点突破
x 1
x 1
即x= 3+1时,等号成立.
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命题方向二 利用常数代换法求最值
典例2
若直线2mx-Biblioteka y-2=0(m>0,n>0)过点(1,-2),则m1
2
+n
的最小值为
( D)
A.2 B.6 C.12 D.3+2 2
答案 D
解析 因为直线2mx-ny-2=0(m>0,n>0)过点(1,-2),
(1)函数y=x+1 的最小值是2. ( ✕ )
x
(2)函数f(x)=cos
x+
4 cos
x
,x∈
0,
2
的最小值等于4.
(
✕
)
(3)“x>0且y>0”是“
x y
+
y x
≥2”的充要条件.
(
✕
)
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(4)若a>0,则a3+ 1 的最小值为2
a2
a.
(
×
)
(5)不等式a2+b2≥2ab与 a b ≥ ab 有相同的成立条件. ( × )
x
x
当x<0时,-x>0,
则-x+ 1 ≥2 (x) 1 =2(当且仅当x=-1时,“=”成立),
x
(x)
所以x+ 1 ≤-2.
x
所以f(x)=x+ 1 的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
x
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3.(教材习题改编)设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为 ( C )
A.80 B.77
ab
≤
a
2
b
成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当① a=b 时等号成立.
ab
(3)其中② 2 称为正数a,b的算术平均数,③ ab 称为正数a,b
的几何平均数.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥④ 2ab (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤
a
2
b
2
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第四节 基本不等式及其应用
教 1.基本不等式
材 2.几个重要的不等式 研 读 3.利用基本不等式求最值
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考 考点一 利用基本不等式求最值
点 突
考点二 基本不等式的实际应用
破 考点三 基本不等式的综合应用
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1.基本不等式
(1)基本不等式
所以2m+2n-2=0,即m+n=1,
所以
1 m
+
2 n
=
1 m
2 n
(m+n)=3+ n
m
+
2m n
≥3+2
2,
当且仅当 n = 2m ,即n= 2 m时取等号,
mn
所以 1 + 2 的最小值为3+2 2 ,故选D.
mn
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命题方向三 利用消元法求最值 典例3 (一题多解)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为
2
(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. ( √ )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
2.函数f(x)=x+ 1 的值域为 ( C )
x
A.[-2,2]
B.[2,+∞)
C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.R
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答案 C 当x>0时,x+1 ≥2 x 1 =2(当且仅当x=1时,“=”成立).
1 x
+
1 y
=(ax+by)
1 x
1 y
=a+b+ bxy
+
ax y
≥a+b+2
ab =(
a+
b )2.
(2)已知a,b,x,y∈R+,若 a + b =1,则有
xy
x+y=(x+y)
a x
b y
=a+b+
ay x
+ bx
y
≥a+b+2
ab =(
a+
b )2.
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1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”)
得t≥6,即x+3y≥6.
解法二:由x+3y+xy=9,得x=9 3y ,
1 y
所以x+3y=9 3y +3y=9 3y 3y(1 y)
1 y
1 y
= 9 3y2 = 3(1 y)2 6(1 y) 12
1 y
1 y
=3(1+y)+ 12 -6≥2 3(1 y) 12 -6
3
3x)≤
1 3
3x
3 2
3x
2
=
3 4
,当且仅当3x=3-3x,即x=
1 2
时,等号成立.故选B.
(2)y= x2 2
x 1
= (x2 2x 1) (2x 2) 3
x 1
= (x 1)2 2(x 1) 3 =(x-1)+ 3 +2≥2 3+2.
x 1
当且仅当x-1= 3 (x>1),
s2
4 .(简记:和定积最大)
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▶提醒 (1)此结论应用的前提是“一正,二定,三相等”.“一正”指正 数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指等号成立.(2)连续 使用基本不等式时,牢记等号要同时成立.
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知识拓展 基本不等式求最值的两个常用结论 (1)已知a,b,x,y∈R+,若ax+by=1,则有
. 答案 6
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解析 解法一:由已知得x+3y=9-xy.
又因为x>0,y>0,
所以x+3y≥2 3xy ,
所以3xy≤
x
3 2
y
2
,
当且仅当x=3y,
即x=3,y=1时取等号,
则(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0.
令x+3y=t,
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则t>0且t2+12t-108≥0,
利用基本不等式求最值
命题方向一 利用配凑法求最值
典例1 (1)已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为( B )
A.1 B. 1 C. 3 D. 2
3
2
4
3
(2)函数y= x2 2 (x>1)的最小值为
.
x 1
答案 (1)B (2)2 3+2
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解析 (1)因为0<x<1,所以x>0,3-3x>0.由基本不等式可得x(3-3x)=1 ·3x(3-