三角函数练习题含答案

三角函数练习题含答案

一、填空题

1．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，2BC a =，点E 为AD 的中点，将△ABE 沿BE 翻折到△A BE '的位置，在翻折过程中，A '不在平面BCDE 内时，记二面角A DC B '--的平面角为

α，则当α最大时，cos α的值为______．

2．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为

(,)x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值

,,r r x

x y y

分别叫做角α的正割､余割､余切，分别记作sec α，csc α，cot α，把sec ,csc ,cot y x y x y x ===分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号) ①3cot

14

π

=； ②sin csc 1αα⋅=；

③sec y x =的定义域为{}|,Z x x k k π≠∈； ④22sec csc 4αα+；

⑤2cot 1

cot22cot ααα-=.

3．若函数()41

sin 2cos 33

f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.

4．已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，()()0a b a c -⋅-=，||9b c -=，则||||||a b c ++的最大值是___________.

5．在ABC 中，sin 2sin B C =，2BC =.则CA CB ⋅的取值范围为___________.（结果用区间表示）

6．已知函数()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =：①函数()f x 的图象关于点(,0)4

π

对

称；②函数|()|g x 的最小正周期是

2π；③把函数f (2x )图象上所有点向右平移8

π

个单位长度得到的函数图象的对称轴与函数y=()g x 图象的对称轴完全相同；④函数

1()()y f x g x =--在R 上的最大值为2.则以上结论正确的序号为_______________

7．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线PA ，BC 所成角为π

3

，

AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．

8．已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=->><<的部分图像如图所示，设函数

()266g x f x f x ππ⎛

⎫⎛

⎫=++

+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭，则()g x 的值域为___________.

9．已知1OB →

=，,A C 是以O 为圆心，220BA BC →

→

⋅=，设平面向量OA →与OB →的夹角为θ(π04

θ≤≤)，则平面向量OA →在BC →

方向上的投影的取值范围是_____.

10．已知函数()2log ,0

,0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任

意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[]0,x π∈时，()sin .g x x =则函数()()y f x g x =-在区间[]4,4ππ-上零点的个数为__________个.

二、单选题

11．

已知函数()()2212sin 2,2212,x a x a

f x x a x a x a π⎧⎡⎤

⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥=⎝

⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩

，若函数()f x 在[)0,∞+内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭

B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．75,2,342⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

12．函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在7,44ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

内恰有两个最小值点，则ω的范围是

（ ） A ．13,47⎛⎤

⎥⎝⎦

B ．13,37⎛⎤ ⎥⎝⎦

C ．4,33⎛⎤ ⎥⎝⎦

D ．4,43⎛⎤ ⎥⎝⎦

13．已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛

⎫=+> ⎪⎝

⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是

（ ）

A ．81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭

B ．111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭

C ．111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭

D ．141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭

14．已知无穷项实数列{}n a 满足： 1a t =， 且 14111

n n n a a a +=--， 则（ ） A ．存在1t >， 使得20111a a = B ．存在0t <， 使得20211a a =

C ．若2211a a =， 则21a a =

D ．至少有2021个不同的t ， 使得20211a a =

15．已知(){}|sin ,A y y n n Z ωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A 中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（ ） A ．

27

π

B ．

25

π C ．

2

π D ．

23

π

16．已知双曲线2

2

413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足

120MF MF →

→

⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→

→

=.现将12MF F △沿MN 折成直二面

角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（ ）

A ．15

B ．25

C ．35

D ．45

17．已知函数()sin sin()f x x x π=+，现给出如下结论：①()f x 是奇函数；②()f x 是周期函数；③()f x 在区间(0,)π上有三个零点；④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①③

B ．②③

C ．②④

D ．①④

18．已知三棱锥A BCD -中，4AB BC BD CD AD =====，二面角A BD C --的余弦值为1

3

，点E 在棱AB 上，且3BE AE =，过E 作三棱锥A BCD -外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（ ） A ．

103

π

B ．3π

C ．

3

π D

19．已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点，P 为两曲线的一个公共点，且126

F PF π

∠=，

记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则12

12

e e e e +⋅的最大值为 A ．4

B ．2

C ．83

D ．

163

20．设锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且1c =，2A C =，则ABC ∆周长的取值范围为（ ） A

．(0,2+

B

．(0,3

C

．(2+

D

．(2

三、解答题

21．已知函数 f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1，a ∈R ．