二次函数的应用公开课

解：(1)设AB＝x(m)，则BC＝(100－2x)m. 由题意，得x(100－2x)＝450，解得x1＝5，x2＝45， 当x＝5时，100－2x＝90＞20，不合题意，舍去； 当x＝45时，100－2x＝10＜20，符合题意． 答：所利用的旧墙AD的长为10 m.
(2)设 AD＝y(m)， 则 S 矩形 ABCD＝12y(100－y)＝－21(y－50)2＋1 250. 当 a≥50 时，则当 y＝50 时，S 矩形 ABCD 取得的最大值为 1 250； 当 0＜a＜50 时，则当 0＜y≤a 时，S 矩形 ABCD 随 y 的增大而增大，当 y＝a 时， S 矩形 ABCD 的最大值为 50a－21a2. 综上所述，当 a≥50 时，矩形菜园的最大面积为 1 250 m2； 当 0＜a＜50 时，矩形菜园的最大面积为50a－21a2m2.
方法技巧 利用二次函数解决的销售问题是我们生活中经常遇到的问题， 解决这类问题一般是先求出两个变量的一次函数关系，再求二次函数关系，然 后转化为求二次函数的最值．
跟踪训练2 [2019·杭州模拟]某旅行社有100张床位，每床每晚收费100元时，可
全部租出，若每床每晚收费提高20元，则有10张床位未租出；若每床每晚收
类型一 利用二次函数解决抛物线形问题 [2021·杭州模拟]如图，某河面上有一座抛物线形
拱桥，桥下水面在正常水位AB时，宽为20 m．若水位上升 3 m，水面就会达到警戒线CD，这时水面宽为10 m. (1)建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． (2)若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的速度上升，从警戒线开始，再持续多 少小时就能到达拱桥的拱顶？
【易错剖析】本题容易出错的地方在于只考虑到二次函数的最值在 x＝－2ba时 取得，没考虑到自变量的取值范围的限制．
对于最大销售利润的问题，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型， 然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值 (或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在 x＝－2ba时取得.
类型二 项目式学习——解决销售问题 [2021·杭州三模]超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销
售过程中发现，每天的销售量y(瓶)与每瓶的售价x(元)之间满足一次函数关系 (其中10≤x≤15，且x为整数)，当每瓶洗手液的售价为12元时，每天的销售量 为90瓶；当每瓶洗手液的售价为14元时，每天的销售量为80瓶． (1)求y与x之间的函数表达式． (2)设超市销售该品牌洗手液每天的销售利润为w元，当每瓶洗手液的售价定 为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天的利润最大？最大利润是多少元？
(2)由(1)可得 CD 距拱顶的距离为 1 m，水位以每小时 0.2 m 的速度上升，从警 戒线开始，到达拱顶的时间为01.2＝5(h)． 答：从警戒线开始，再持续 5 h 就能到达拱桥的拱顶．
方法技巧 利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特 点建立直角坐标系，设出合适的二次函数表达式，把实际问题的已知条件转化 为点的坐标，代入表达式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
费再提高20元，则再有10张床位未租出……以每次提高20元的这种方法变化
下去，为了出租收入最大，每床每晚收费应提高( A )
A．40元或60元ຫໍສະໝຸດ B．40元C．60元
D．80元
类型三 二次函数在几何图形中的应用 如图，在足够大的空地上有一段长为a(m)的旧墙MN，某人利用旧
墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙， 另三边一共用了100 m木栏． (1)若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450 m2，求所利用的旧墙AD的长． (2)求矩形菜园ABCD面积的最大值．
思维升华 二次函数在解决几何问题时的应用是数形结合的范例，融代数 与几何为一体，把代数问题与几何问题相互转化．运用几何知识求表达式是解 题的关键．二次函数与三角形、圆等几何图形结合时，涉及最大面积、最小距 离时，往往需要建立函数表达式及运用函数的性质解决．
跟踪训练3 [2022·中考预测]某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为 a(m)的墙，现准备用20 m的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设 计了如图1和图2的两种方案：
3．[浙教九上P31作业题T4]某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠 现有墙(墙长＞50 m)，中间用一道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建 围墙的总长为50 m，设两间饲养室合计长x(m)，总占地面积为y(m2)． (1)求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围． (2)画出函数的图象． (3)利用图象判断：若要使两间饲养室占地总面积达到200 m2，则各道墙的长 度为多少？占地总面积有可能达到210 m2吗？
2．[浙教九上P35目标与评定T16改编]某宾馆有120间标准房，当标准房价格 为100元时，每天都客满．市场调查表明单间房价在100～150元之间(含100 元，150元)浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因 素，宾馆将标准房价格提高到 ___1_5_0___元时，客房的日营业收入最大． 【解析】 设标准房价格为每天x元，客房的日营业收入为y元，则y＝x[120－ 0.6(x－100)]＝－0.6x2＋180x＝－0.6(x－150)2＋13 500， ∴当x＝150时，y有最大值，即宾馆将标准房价格提高到150元时，客房的日 营业收入最大．
【解析】 ∵每件文具的利润不超过 80%， ∴x－5 5≤0.8，解得 x≤9， ∴文具的销售单价为 6≤x≤9. 由题意，得 y＝(x－5)100－x0－.56×5＝－10x2＋210x－800 ＝－10(x－10.5)2＋302.5， ∴对称轴为直线 x＝10.5. ∵－10＜0，∴y 随 x 的增大而增大． 又∵6≤x≤9 在对称轴的左侧， ∴当 x＝9 时，y 取得最大值，此时 y＝－10(9－10.5)2＋302.5＝280， 即要想当天获得的利润最大，每件文具的售价应定为 9 元，最大利润为 280 元．
解：(1)以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系， 如答图所示． 设抛物线的函数表达式为 y＝ax2，点 D(5，m)，则点 B(10，m－3)． 把点 D 和点 B 的坐标分别代入 y＝ax2，得 2105a0＝a＝mm，－3，解得am＝＝－－2115，， ∴抛物线的函数表达式为 y＝－215x2.
易错点——利用二次函数的性质解决实际问题 某超市销售一种文具，进价为5元/件．当售价为6元/件时，当天的销 售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5 件．设当天销售单价统一为x元/件(x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨)，当天的 销售利润为y元．若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得的利润最大， 则每件文具的售价应定为 ____9____元，最大利润为___2_8_0___元．
(2)设 BC 的长是 x(m)，矩形花圃的面积是 y(m2)，则 AB＝13[20－x－(x－6)]＝236－32xm. 由题意，得 y＝x236－23x＝－23x2＋236x ＝－23x－1232＋1669(x＞6)， ∴当 x＝123时，y 有最大值，为1669. 答：按图 2 的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是1669 m2.
图1中AD的长不超过墙长；图2中AD的长大于墙长．若a＝6. (1)按图1的方案，要围成面积为25 m2的花圃，则AD的长是多少米？ (2)按图2的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？
解：(1)设 AB 的长是 x(m)，则 AD＝(20－3x)m. 由题意，得 x(20－3x)＝25，解得 x1＝5，x2＝53. 当 x＝5 时，AD＝5＜6，符合题意； 当 x＝53时，AD＝15＞6，不合题意，舍去． 答：AD 的长是 5 m.
1．根据数量关系列函数表达式并求最大(小)值或设计方案 在生产和生活中，经常会涉及求最大利润，最省费用等问题，这类问题经常 利用函数来解答，其步骤一般是：先列出函数表达式，再求出自变量的取值 范围，最后根据函数表达式和自变量的取值范围求出函数的最大(小)值． 2．根据点的坐标，求距离、长度等 在实际问题中，有些物体的运动路线是抛物线，有些图形是抛物线，经常会 涉及求距离、长度等问题，一般可以把它转化成求点的坐标问题．
跟踪训练1 [2021·杭州一模]一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球
门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高
点，此时球离地面3 m．已知球门高是2.44 m，若足球能射入球门，则小明与
球门的距离可能是( A )
A．10 m
B．8 m
C．6 m
D．5 m
【解析】 如答图所示建立平面直角坐标系． 设抛物线的函数表达式为 y＝a(x－6)2＋3， 把点(0，0)的坐标代入，得 0＝36a＋3，解得 a＝－112， ∴y＝－112(x－6)2＋3. 当 y＝2.44 时，2.44＝－112(x－6)2＋3， 解得 x＝6± 6.72. 当 y＝0 时，0＝－112(x－6)2＋3，解得 x1＝0，x2＝12. 由图象易得，若足球能射入球门， 则小明与球门的距离应大于 6＋ 6.72≈8.6(m)，小于 12 m，故选 A.
解：(1)∵围墙的总长为 50 m，两间饲养室合计长 x(m)， ∴饲养室的宽为50－3 x(m)， ∴总占地面积为 y＝x·50－ 3 x＝－13x2＋530x(0＜x＜50)． (2)图象略．
(3)当两间饲养室占地总面积达到 200 m2 时， －13x2＋530x＝200，解得 x1＝20，x2＝30， 即各道墙长分别为 20 m，10 m 或 30 m，230 m； 当占地面积达到 210 m2 时， －13x2＋530x＝210，即－13x2＋530x－210＝0， ∴b2－4ac＝5302－4×－13×(－210)＝2 5900－280＝－290＜0， ∴此方程无解， ∴占地面积不可能达到 210 m2.
第15讲 二次函数的应用
全效学习 中考学练测
1．[浙教九上P23作业题T6改编]篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线 的一部分，如图，抛物线的对称轴为直线x＝2.5.则球在运动中离地面的最大 高度为___3_._5___m.
【解析】 设抛物线的函数表达式为 y＝a(x－2.5)2＋h， 把(0，2.25)和(4，3.05)分别代入，得 62..2255aa＋ ＋hh＝ ＝23..2055， ，解得ah＝＝－3.50，.2， ∴抛物线的函数表达式为 y＝－0.2(x－2.5)2＋3.5(0≤x≤4)， ∴抛物线的顶点坐标为(2.5，3.5)， ∴球在运动中离地面的最大高度为 3.5 m.
解：(1)设 y 与 x 之间的函数表达式为 y＝kx＋b(k≠0)， 由题意，得1124kk＋＋bb＝＝9800，，解得bk＝＝1－505，， ∴y 与 x 之间的函数表达式为 y＝－5x＋150.
(2)由题意，得w＝(x－10)(－5x＋150)＝－5(x－20)2＋500. ∵a＝－5＜0，∴当x＜20时，w随x的增大而增大． ∵10≤x≤15，且x为整数， ∴当x＝15时，w有最大值， 此时w＝－5×(15－20)2＋500＝375. 答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天的利润最 大，最大利润为375元．