2008年数二真题及标准答案及解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设2
()(1)(2)f x x x x =--，则'
()f x 的零点个数为（ ）
()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3
（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分
()a
t af x dx ⎰
（ ）
()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.
()D 三角形ACD 面积.
（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x
y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）
()A ''''''440y y y y +--= ()B '''
''
'
440y y y y +++=
()C ''''''440y y y y --+=
()D ''''''440y y y y -+-=
（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）
()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.
()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.
（6）设函数f 连续，若22(,)uv
D F u v =
，其中区域uv D 为图中阴影部分，则
F
∂= ()A 2()vf u ()
B 2()v
f u u ()C ()vf u ()D ()v
f u u
（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若3
0A =，则（ ）
()A E A -不可逆，E A +不可逆.
()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.
()D E A -可逆，E A +不可逆.
（8）设1221A ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ）
()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
.
()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
. ()C 2112⎛⎫
⎪⎝⎭
.
()D 1221-⎛⎫
⎪-⎝⎭
.
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数()f x 连续，且2
1cos[()]lim
1(1)()
x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.
（10）微分方程2()0x
y x e dx xdy -+-=的通解是____y =.
（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23
(5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设x
y
y z x ⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
，则(1,2)
____z x ∂=∂.
（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)（本题满分9分）
求极限()4
sin sin sin sin lim
x x x x x →-⎡⎤⎣⎦.
(16)（本题满分10分）
设函数()y y x =由参数方程2
0()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --⎧-=⎪
⎨⎪=⎩
的解.求22y x ∂∂. (17)（本题满分9分）求积分
1
⎰
.
(18)（本题满分11分）
求二重积分
max(,1),D
xy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤
(19)（本题满分11分）
设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线
0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积
在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式. (20)（本题满分11分）
(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得
()()()b
a
f x dx f b a η=-⎰
(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足3
2
(2)(1)
,(2)()x d x ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点
(1,3),()0
ξϕξ''∈<使得 （21）（本题满分11分）
求函数2
2
2
u x y z =++在约束条件2
2
z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）
设矩阵2
221
212n n
a a a A a a ⨯⎛⎫
⎪
⎪= ⎪
⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程A X B =，其中()1
,
,T
n X x x =，
()1,0,,0B =，
（1）求证()1n
A n a =+；
（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ； （3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分）
设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+， （1）证明123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1
P AP -.
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、选择题 (1)【答案】D
【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点， D 正确. 本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】
00
()()()()()()a
a a a
a
xf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰
⎰⎰⎰
其中()af a 是矩形ABOC 面积，0
()a
f x dx ⎰
为曲边梯形ABOD 的面积，所以0
()a
xf x dx '⎰为曲边三角形的面
积．
本题的难度值为0.829.
(3)【答案】D
【详解】由微分方程的通解中含有x
e 、cos2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根
1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的
微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A
【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点
因为 0
00ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x x
f x x x x x
++
++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x x
x x x
++→→=-=-=
同理 0
lim ()0x f x -
→= 又 1
1
11ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++
++→→→→⎛
⎫=⋅== ⎪-⎝
⎭ 所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.
本题的难度值为0.486.
(5)【答案】B
【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在
极限.
本题的难度值为0.537. (6)【答案】A
【详解】用极坐标得 ()
222()
20
1
1
,()v
u u
f r r D
f u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰
⎰
所以
()2F
vf u u
∂=∂ 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C
【详解】2
3
()()E A E A A E A E -++=-=，2
3
()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． 本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D
【详解】记1221D -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭，
则()2
1
2
142
1
E D λλλλ--=
=---，又()2
1
2
142
1
E A λλλλ---=
=----
所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.
又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2
【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()
lim lim lim ()[()2]4(1)()
x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011
lim ()(0)122
x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()x
x e
C --+
【详解】微分方程()20x
y x e
dx xdy -+-=可变形为
x dy y
xe dx x
--= 所以 111()dx dx x x x x x
y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
⎰⎰
本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+
【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1
cos()1
1cos()x y
y xy F dy y x dx F x xy y x
-
-'-=-=-'+
-，
将(0)1y =代入得
1x dy dx
==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+
本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)-- 【详解】53
235y x
x =-⇒231313
51010(2)
333x y x x x -+'=
-= ⇒134343
101010(1)
999x y x x x --+''=+=
1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在
在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)
【答案】
(ln 21)2
- 【详解】设,y x
u v x y
=
=，则v z u = 所以
121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y
-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x y
v
vy u y y u ux
y x y x ⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 所以
(1,2)(ln 21)2
z x ∂=-∂
本题的难度值为0.575.
(14)【答案】-1
【详解】||236A λλ =⨯⨯= 3
|2|2||A A =
3
2648λ∴ ⨯=- 1λ⇒=-
本题的难度值为0.839.
三、解答题 (15)【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )
lim
lim x x x x x x x x x
→→--= 2
2220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336
x x x x
x x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 33
1sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+
4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66
x x x x x
x o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦ 本题的难度值为0.823. (16)【详解】
方法一：由
20x dx
te dt
--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222
ln(1)2(1)ln(1)21dy
dy t t
dt t t dx
t dx dt t +⋅===+++
222
22
2
[(1)ln(1)]2ln(1)221d
t t d y d dy t t t
dt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭
+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++
方法二：由
20x dx
te dt
--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222
ln(1)2(1)ln(1)21x dy
dy t t
dt t t e x dx
t dx dt t +⋅===++=+
所以 22
(1)x d y e x dx
=+ 本题的难度值为0.742. (17)【详解】 方法一
：由于21
x -
→=+∞
，故21
⎰
是反常积分.
令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈
22
1
2
2220
000sin cos 2cos sin ()cos 22
t t t t t tdt t tdt dt t π
ππ===-⎰
⎰⎰⎰
22
222200
01sin 21sin 2sin 24
4164
4t
t t td t tdt π
π
ππ
π=
-=-+⎰⎰ 2
220
11
cos 2168164t π
π
π=-=+
方法二：
21
⎰
12
20
1(arcsin )2x d x =⎰
1
211222
2000
1(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰
令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈
1
2
22
200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰
2
22200
111
(cos 2)cos 242164t t t tdt π
ππ=-+=-⎰
故，原式2
1
164
π=
+ 本题的难度值为0.631.
(18)【详解】 曲线1xy =将区域分成两
个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为
()max ,1D
xy dxdy ⎰⎰
1
2
3
D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
1122
2
221110
2
2
11x x
dx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
1512ln 2ln 24=++
-19
ln 24
=+ 本题的难度值为0.524.
(19)【详解】旋转体的体积20
()t
V f x dx π
=⎰
，侧面积0
2(t
S f x π=⎰，由题设条件知
2
()(t
t
f x dx f x =⎰
⎰
上式两端对t 求导得
2
()(f t f t = 即
y '=
由分离变量法解得
1l n ()y t C
=+， 即
t y C e
= 将(0)1y =代入知1C =
，故t y e =，1
()2
t t y e e -=+
于是所求函数为 1()()
2
x x
y f x e e -==+ 本题的难度值为0.497.
(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即
()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈
由定积分性质，有 ()()()b
a
m b a f x dx M b a -≤
≤-⎰
，即 ()b
a
f x dx m M b a
≤
≤-⎰
由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b a
f x dx f b a
η=
-⎰
即
()()()b
a
f x dx f b a η=-⎰
(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使
3
2
()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰
又由 3
2
(2)
()()x d x ϕϕϕη>=⎰
，知 23η<≤
对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得
1(2)(1)
()021
ϕϕϕξ-'=
>- 112ξ<<
2()(2)
()02
ϕηϕϕξη-'=
<- 123ξη<<≤
在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有
2121
()()
()0ϕξϕξϕξξξ''-''=
<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂
本题的难度值为0.719. (21)【详解】
方法一：作拉格朗日函数22222
(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-
令 2222022020040
x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪
'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩
解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.
方法二：问题可转化为求2
2
4
2
2
4
2u x y x x y y =++++在2
2
4x y x y +++=条件下的最值 设4
4
2
2
2
2
2
2
(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-
令 3232
22442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λ
λλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩
解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入2
2
z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：
2
2
2
21
2
2
21213210
1221221122a a a a a a a
a a
A r ar a
a
a a =
-=
12130
1240
1
34
(1)
2(1)3
23
1(1)0
n n n a a a n a a n a
r ar a n a n
n
n a n
--+-
=⋅
⋅⋅
=++ 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)n
n D n a =+．
当1n =时，12D a =，结论成立．
当2n =时，2
22
2132a D a a a
=
=，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得
22
12
10
2121
2
12n n a a a a
D aD a a
-=-
21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+
故 ||(1)n
A n a =+
证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2
122n n n D aD a D --=-， 所以 2
11212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-
222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=
即 12
122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++
2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --=
=-+=-+
1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+
(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)n
A n a =+，故0a ≠． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为
22
2
112
2
(1)(1)
112102*********n n n n
n n a a a a
a a
a a
D na a a a a --⨯-⨯-=
==
所以 11(1)n n D n
x D n a
-=
=+
(III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为
12101101
00
1000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为
()()1000010
0,T
T
k k +为任意常数．
本题的难度值为0.270.
(23)【详解】(I)
证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3
α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)
11,A αα=-22A αα=
∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=
则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.
证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)
用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得
1123233()0k k k k ααα-+++= (2)
(1)—(2)得 113220k k αα-= (3)
因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)
得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.
(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，
123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+
123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
所以 1
100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
.
本题的难度值为0.272.。