【高中数学】排列数(第1课时)课件 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

A172 A162
.
(3) A155 15 A144 15 14 13 12 11 15 14 13 12 11 0 ；
(4)
A172 A162
121110 9 8 7 6 121110 9 8 7
6.
2. 求证：(1) Anm nAnm11 ； (2) A88 8 A77 7 A66 A77 .
：
n(n 1)(n 2) (n m 1)(n m) 21 (n m) 21
Ann Anm
nm
n! . (n m)!
排列数公式的阶乘形式：
Anm
n! . (n m)!
排列数公式的应用： 连乘形式一般用于的计算， 阶乘形式用于化简或证明.
典例分析
A A A A A 例4 证明: (1)
那么排列数 Anm 就可以按依次填m个空位得到：n n 1 n 2 ··· n (mm?11)
Anm n(n 1)(n 2) (n m 1). (m, n N*且m n)
例如 A32 __3__2___6_.__ A53 _5___4__3___6_0_.___
：
排列数公式：Anm n(n 1)(n 2) (n m 1). (m, n N*且m n)
课堂小结：
1. 排列数公式：Anm n(n 1)(n 2) (n m 1). (m, n N*且m n)
2. 全排列数: Ann n(n 1)(n 2) 21 3.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用n！表示, 即
Ann n ! 规定：0 ! 1.
证明：(1)
nAnm11
n (n 1)! (n m)!
(n
n! m)!
Anm .
(2) A88 8 A77 7 A66 8! 8 7! 7 6! 8! 8! 7! A77 .
3. 一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不 同的火车，共有多少种不同的停放方法?
A.(n＋1)Amn ＝Amn＋＋11
B.n（nn！－1）＝(n－2)!
C.Amm＝nA！mn
D.n－1 mAmn ＋1＝Anm
解析 对于 A，(n＋1)Amn ＝(n＋1)·（n－n！m）！＝（（nn－＋m1））！！ ＝[（n＋1（）n－＋（1）m！＋1）]！＝Amn＋＋11，正确.
对于 B，n（nn！－1） ＝n（n－1）（nn（－n2－）1×）…×3×2×1 ＝(n－2)！，正确. 对于 C，Amm≠nA！mn ，错误. 对于 D，n－1 mAmn ＋1＝n－1 m·（n－mn！－1）！＝（n－n！m）！＝Amn ，正确.
A130 A92 10 9 8 9 8 648
方法归纳
带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则
直接法
位置分析法 元素分析法
以位置为主，优 先考虑特殊位置
以元素为主，优 先考虑特殊元素
分步
先分类 后分步
间接法
先不考虑限制条件，计算出来所有排列数， 再从中减去全部不符合条件的排列数，从 而得出符合条件的排列数
排列数公式的特点： •1. 公式中是m个连续正整数的连乘积；
2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1). 全排列数：
1. 全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同 元素的 一个全排列 .
全排列数为: Ann n(n 1)(n 2) 21 n！ 2.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 n！表示, 即
(3)
4 × 3 × 2 × 1 ＝24
无重复数字的四位数？
排列数：
符号Anm 中的A是英 文arrangement(排 列)的第一个字母
我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，
叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 Anm 表示.
Anm
取出元素数 元素总数
m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ；
A92
A39 A92 A92 9 8 7 9 8 9 8 648
典例分析
例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解法3: 从0~9这10个数字中选取3个的排列数为 A130 其中0在百位上的排列数为A92
它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数
即所求三位数的个数为
百位 十位
个位
第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下
的9个数字中取出2个，有A92 种取法.
根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为:
A19
A92
A19 A92 9 9 8 648
典例分析
例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解法2：符合条件的三位数可以分成三类：
第1类, 每一位数字都不是0的三位数, 可以从1~9这9个数字中取出3个, 有 A39 种取法；
排列数公式的阶乘形式：
Anm
n! . (n m)!
课堂练习（课本P20）
1. 计算：(1) A142 ； (2) A88 ； (3) A155 15A144 ；
•解 (1) A142 121110 9 11880 ；
：
(2) A88 8 7 6 5 4 3 21 40320 ；
(4)
人教A版2019必修第三册
6.2.2排列数
复习引入
1.排列的定义： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定
的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 (arrangement).
2.排列问题的判断方法：
(1)元素的无重复性 (2)元素的有序性 判断的关键：变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是 有序，无变化就是无序.
新知探究 问题1 写有1,2,3,4的卡片中选取卡片进行数字游戏，试填写下表：
问题
答案
从 4 个数字中选取 2 个，能构成多少个 (1)
无重复数字的两位数？
4 × 3 ＝12
从 4 个数字中选取 3 个，能构成多少个 (2)
无重复数字的三位数？
4 × 3 × 2 ＝24
从 4 个数字中选取 4 个，能构成多少个
6.不等式 A2n－1－n<7 的解集为________.
答案 {3，4} 解析 由 A2n－1－n<7， 得(n－1)(n－2)－n<7， 整理，得 n2－4n－5<0，解得－1<n<5. 又 n－1≥2 且 n∈N*，即 n≥3 且 n∈N*， 所以 n＝3 或 n＝4.
9.求关于 x 的不等式 Ax8<6A x8－2的解集.
(2)方程A5xA＋3xA4x＝4(x≥5，x∈N*)的解是____5____.
解析 因为 A5x＋A4x＝4A3x， 所以（x－x！5）！＋（x－x！4）！＝4·（x－x！3）！， 所以 1＋x－1 4＝（x－3）4（x－4）， 则x2－6x＋5＝0，解得x＝5或x＝1(舍).
创新设计习题讲解 ——分层精练
探究 从n个不同元素中取出m个元素的排列数Anm (m≤n)是多少?
我们先从特殊情况开始探究，思考从n个不同元素中任取2个元素的排 列数An2 是多少？An3 又是多少？进而归纳Anm (m n) 是多少？
排列数 An2 可以按依次填2个空位得到： n n 1 An2 n(n 1).
同理，排列数 An3 可以按依次填3个空位得到： n n 1 n 2 An3 n(n 1)(n 2).
解 由 Ax8<6Ax8－2，得（88－！x）！<6×（108－！x）！，
化简得 x2－19x＋84<0，解得 7<x<12，①
又
x≤8，
所以
0<x－2≤8，
2<x≤8，②
由①②及 x∈N*，得 x＝8. 因此原不等式的解集为{8}.
12.若 M＝A11＋A22＋A33＋…＋A22 002233，则 M 的个位数字是( )
•解：不同的停放方法有 A84 8 7 6 5 1680 (种).
“ THANKS ”
创新设计习题讲解
训练1 (1)乘积m(m＋1)(m＋2)(m＋3)…(m＋20)可表示为( D )
A.A2m C.A2m0＋20
B.A2m1 D.A2m1＋20
解析 因为m，m＋1，m＋2，…，m＋20中最大的数为m＋20，且共有m＋
排列的第一个字母
(2) m≤n .
例如，前面问题1是从3个不同元素中任取2个元素的排列为3×2＝6 ，
可记作：A32 3 2 6.
问题2是从4个不同元素中任取3个元素的排列数为4×3×2＝24 ，
可记作：A43 4 3 2 24.
思考 排列与排列数相同吗？ 如：问题1中从4个不同的元素a,b,c,d中任取2个元素的排列有ab、ac、 ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc共12个，每一个都叫做一 个排列；共12个，12叫做从4个不同元素任取2个元素的排列数. 答案 “一个排列”不是数；“排列数”是一个自然数.
Ann n ! 规定：0 ! 1.
典例分析
例3 计算：
(1)A37；
(2)A
4；
7
(3)
A
7 7
A
4 4
；
(4)A
4 6
A
2 2
.
解：根据排列数公式，可得：
(1)A37
(2)A
4 7
7 6 5 210 7 6 5 4 840
A37
A
7 7
A 44
7! 4!
(3)
A
7 7
A
4 4
(4)A64
7！ 4！
A.3
B.8
C.0
D.5
答案 A 解析 ∵当 n≥5 时，Ann＝1×2×3×4×5×…×n ＝120×6×…×n， ∴当 n≥5 时，A nn的个位数字为 0， 又∵A11＋A22＋A33＋A44＝1＋2＋6＋24＝33， ∴M 的个位数字为 3.
创新设计习题讲解 ——每日一刻钟
3.求解方程或不等式：
第2类, 个位上的数字是0的三位数, 可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和
十位, 有A92 种取法；
第3类, 十位上的数字是0的三位数, 可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和
个位, 有 A92 种取法.
百位 十位 个位
百位 十位 个位 0
百位
十位 个位 0
根据分类加A法39 计数原理，所求三A位92 数的个数为
7
6
5
210
A
2 2
6 5 4 3 21
6！ 720
A 64
A
6 6
A
2 2
这思两个考结由果例，3可从以中看你到发，A现73它 们AA7474的共74!!性；了A64吗 ？A22
6!
A66 ,即A64
A66 A22
.
观察
Anm
Ann Anm
nm
.
证明 Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在 任意数位上，因此0是一个特殊的元素. 一般地，我们可以从特殊元素的位 置入手来考虑问题。
解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：
第1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字
中取出1个，有A19 种取法；
(n 1)! (m n m) n(n 1)!
(n m)!
(n m)!
m(n 1)! (n 1)!
(n m)! (n m 1)!
A n!
m
(n m)!
n
变式练习：1.证明：A88
8
A7 7
7
A6 6
A7 7
.
证明：
A8 8
8
A7 7
7
A6 6
8
A7 7
8
A7 7
A7 7
A7 7
典例分析
例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
20－m＋1＝21(个)因式，
所以 m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)＝A2m1＋20.
(2)计算：A67A－45A56＝( D )
A.12
B.24
C.30
D.36
解析 因为 A67＝7×6×A45，A56＝6×A45， 所以原式＝3A6A45 45＝36.
题型二 利用排列数公式化简与证明
例2 (1)(多选)下列等式正确的是( ABD )
(2)求不等式
Am8
＋2<6A
m 8
的解集.
(2)由排列数公式得（6－8！m）！<6·（8－8！m）！，
∴（7－m）6（8－m）>1，
∴m2－15m＋50<0，∴5<m<10.
又由
8≥m＋2，得 8≥m，
m≤6，∴m＝6，
故不等式的解集为{6}.
m n
n
m1 n -1
； (2)
m m m1
Leabharlann Baidu
n
n -1
m n -1
.排列数的性质
证：
(1)
A
m n
n (n 1) (n
2)
(n
m 1)
n (n 1) (n 2) [(n 1） (m 1) 1]
A n m 1 n -1
A (2) m m 1 n -1
Am n -1
m(n 1)!
(n 1)!
[(n 1) (m 1)]! (n 1 m)!