北京市海淀区2020-2021学年第一学期期末高一数学练习答案

海淀区2020-2021学年第一学期期末练习
高一数学
参考答案及评分建议
一、选择题:
二、填空题：
(11) {xio<x<3} (12) 23： 8 (13) a<c<b
(14) 1 (答案不唯一) (15)①②④
x
注：第(11)题解答正确但未写成集合形式或集合书写不正确的得3分：第(12)题每空2分；第 (13)题写成b>c>“的不扣分；第(14)题答案不唯一，只要解析式符合题意均得满分；第(15) 題分为0分，2分和4分三档，不答或含有③的得0分，答案是①②④中的一个或两个的得2分，答案是①©④的得4分.
三、解答题：本大题共4题，共40.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(16)解：不等式1兀一11<2的解为-l<x<3,
故A = {x\-\<x<3}............................................................ 2 分
(I ) AQB = (x| -1 <x <3}Q(AjO<x<5} = {A|0< A <3}. ......................... 5 分
< II)£A = {xlx5-l或23}, .................................................. 7分(Q.A)UB = {xlx<-lnJa >3}U{x|0<x<5} = {xlx<-lnJu>0} ........................... 9 分
(17)( I )证明：任取x r x2 e(0,+oo)t且x, <x2, .................................. 1 分
则)- / W) = 3 - 丄)一 W - 丄) ............................................. 2 分
=U, 一xj(l + —!—) .......................................... 4 分
■ *2
T x p x2 e (0,+oc),且 %, < x2,
:.X, -X] <0J + —!—>0. .................................................. 5分
.•・函数/(x)在区间(0,皿)上单调递增 ............................................... 6分 (II ) V 2l+,
>0,4x
>0,
........................................................... 7 分
又I 函数f(x)在区间(Oz)上单调递增,且f(2x+l
) > /(4V
),
/. x < 1.
•••不等式的解集为(-OOJ) ........................................................ 10分 (18) 解：(I )在图表中甲品牌的50个样本中，首次岀现故障发生在保修期内的频率为丄，即丄.
50
10
................................................................... 1分
设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，其首次出现故障发生在保修期内为事件A.
................................................................... 2分
利用频率估计概率，得P(A) = 1.
所以从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，估计其首次出现故障发生在保修期内的 概率为丄.
....................................................... 4分
10
7 1
(II)在图表中甲品牌的50个样本中，首次出现故障发生在保修期第3年的频率为二，即丄.
50 25 3
在图表中乙品牌的50个样本中，首次出现故障发生在保修期第3年的频率为-.
50 .......... 5分
设从该商城销售的甲品牌固态硬盘中随机抽取一个，英首次岀现故障发生在保修期内的第三年为事 件3，从该商城销售的乙品牌固态硬盘中随机抽取一个，英首次出现故障发生在保修期内的第三年 为事件C.
6分
1
3
利用频率估计概率，得P"云P(C) = _.
P(BC + BC) = P(B)P(C) + P(B)P(C)
=P(B)[1 - P(C)J + [1 - P(B)]P(C) =丄x(l 一丄) + (1 一丄)x 丄 25 50 25 50 119 "1250
所以某人在该商城同时购买了甲、乙两个品牌的固态硬盘各一个，估计保修期内恰有一个首次出现 故障的概率为酱
........................................................... 10分
............................................................... 8分
............................................................... 9分 .............................. 7分
•••
(19) 解：(I )对于①，对于任意实数x,可得I /(JV )-/(-X )H 2021 -20211=0< 1 ,所以/'(x)具有性 质
P(l);
2分 对于②，对于任意实X,可得I g(x) - ....... H x -
(-A ) M 2x I.
易知，只需取x = l,则可得lg(l)-g(-l)l=2>l,所以g(x)不具有性质P(l). ................ 4分 (II) 设二次函数 f(x) = ax 2
+bx + c(a^O)满足性质 P(k).
则对于任意实数 x,满足 I f(x) - f(-x) 1=1 ax 2
+ bx + c- {ax 1
+ bx + c) 1=12bx l< k.
............................................................................ 5分 若
be 则可取x o =A>0,有1/(兀)一/(一兀)1=12如1=2"&,矛盾.
IZ?I ....................................................................... 6分
所以〃 =0,此时/(x) = aF+c(dH0)即/(X)为偶函数.
............................................................................ 7分
(III) 由于函数/(X)= 10g 2(4l
+67)-X 的定义域为 R
易知 /(x) = log 2(4x
+a)-x = log 2(2r
+d-2~x
). 若函数/(x)具有性质P(幻，则对于任意实数x,有
I /(X)-/(-X)1=1 log 2⑵ + 心 2")-log 2(2^ + “ • 2*)1=1 Iog 2
U* k ・
4r
+ a
即—ze*
由于函数〉匸log? *在(0・MO )上单调递增, 4V
+ a
可得 ----------- <2\
.................................................. 9分
1 + a 4”
1
i a__
即 T k
<- + -----
“ l + “・4‘
当4 = 1时，得2^<1<2\对任意实数x 恒成立.
1
I 1 1
当 4>1 时，易知"一_>0,由 l + a-4r
>1,得 0< ---------- <1,得 0< ------ <“一一,
a \ + a 4X \+a 4K a
1
i
依题意，r k
<- + -一 s2丄对任意实数x 恒成立, a 1 + ^-4
<k.
................................................... 8分
W-<- + a a
\ + a 4
X<
1—>T k
'即 1<«<2\ a<2k.
i i a- —
当avl时，易知"一一 <0,由1 + /半>1,得0v一!一<1,得0> -------------- 」
u \ + a 4X 1 + " 4”
1
1 1 G _ _
得丄 >丄+——>
a a l + t/-4x
依题意’2飞+卄幻对任意实数血成立,
a>T\
1 1即1 >Q曲.
-<2* •
a
综上所述，a的取值范围为［2巴2口
注：本试卷各题中若有其他合理的解法请酌情给分. 11分
所以所以。