流体力学第二章---流体静力学
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这样形成在赤道处大气自下向上，然后在高空自赤道流向北极；在 北极大气自上向下，最后沿洋面自北向南吹的大气环流。通常将沿洋 面自北向南吹的风称为贸易风。
C2 流体静力学 五 流体静力学基本方程
• 单位质量流体机械能守恒式：
p z c gz c
2.2 流体平衡微分p0方程z
x
h2
C2 流体静力学
2.2 流体平衡微分方程
一 欧拉平衡微分方程
可得欧拉平衡方程
f
1
p
0
dU (x, y, z) Xdx Ydy Zdz
dU U dx U dy U dz x y z
分量式为
X U , Y U , Z U
x
y
z
引出有势力的概念：具有势函数的力称为有势力或保守力。
h
gz p 常数
gz1
p1
gz2
p2
静止流体
重力势能 • 常用形式 压强势能
总势能
限制条件: （1）均质，（2）重力，（3）连通的同种流体。
C2 流体静力学
2.2 流体平衡微分方程
五 流体静力学基本方程
• 单位质量流体机械能守恒式：
p z c gz c
• 水头形式
第二章 流体静力学
流体静力学：研究流体静止时的力学规律。 主要研究内容：研究静止流体的压强分布以及静止流体对
物体表面的作用力。 意义：流体静力学在工程中有着广泛的应用，设计挡水建
筑物、水工结构、高压容器时。都要应用流体静力学的基 本原理。 静止流体受力情况比较简单，但其分析也同样使用严格的 阿力学分析方法，掌握好这些分析方法，可为学习流体动 力学打下良好的基础。
• 等压面上的体积力特征： 质量力处处与等压面垂直。
• 静止流体中等压面为水平面。 旋转流体中等压面为旋转抛物面。
C2 流体静力学 三、等压面
(a) 开口容器中，自由面就是等压面。
2.2 流体平衡微分方程
等压面
(b) 两种互不相混的 液体分界面就是等压面。
(c) 由于液体不连通， M——M不是等压面。 等压面
F 0
n
i
cos
j
cos
k
cos
z
z
px
n
pn
s yz
1 2
dydz
s cos
szx
1 2
dzdx
s
cos
py
Z
Y
X
y y
sxy
1 2
dxdy
s
cos
fV
1
dxdydz
pz
x
6
忽略质量力（高 阶小量）。
px syz pyszx pzsxy pns fV 0
f
1
p
0
p X x p Y y p Z
z
分量力的式势为函数
X Y , y x
Y Z , z y
Z X x z
由曲线积分
dU (x, y, z) Xdx Ydy Zdz
dU U dx U dy U dz x y z
质量力有势是流体静止的必要条件。 重力、惯性力都是有势力。
C2 流体静力学 二 平衡微分方程的积分
2.2 流体平衡微分方程
f
1
p
0
p X , p Y , p Z
x
y
z
平衡微分方程的全微分式为：
分量d式p为 p
dx
p
dy
p
dz
(
Xdx
Ydy
C2 流体静力学
相对平衡 流体静力学
任务
平衡的条件 压强分布
总压力 浮体稳定性 固壁受力分析
C2.0 引言 液缸,水坝,闸门等
应用
液压系统原理 水压机,油压系统等 压力仪器设计 比重计,测高仪,分离器等 浮体稳定性分析 舰船,浮吊,气艇等
C2 流体静力学
静止流体的应力特征——流体静压强的特性
C2.0 引言
z p 常数
g
位置水头
压强水头
gz p 常数
总水头 （测压管水头）
• 常用形式
z1
p1
g
z2
p2
g
z1
p1
z2
p2
限制条件: （1）均质，（2）重力，（3）连通的同种流体。
C2 流体静力学
举例
z1
p1
0
z1
p1
z2
p2
const
2.2 流体平衡微分方程
[例C1.2.3] 贸易风：流体平衡条件（不讲）
设大气满足完全气体状态方程：
p
p RT
设在赤道和北极地区离地面相同高度处压强相 同，但由于太阳光照射强度不同，两处温度相
差悬殊，相应的密度不相同，因此大气密度除了沿高度变化外还随地 球纬度改变而改变，等压面与等密度面（虚线）不重合(见右图），造 成大气层的非正压性，不满足流体平衡条件。
C2 流体静力学
2.1静止流体中的应力特征
特征一：应力的作用方向为作用面的内法向方向
特征二：流体中某一点的静压强 p(x,y,z) 的大小 与压强的作用面无关。
C2 流体静力学
2.1静止流体中的应力特征
流体特征 1：静止流体不能承受切应力，也不能承受拉应力， 只能承受压应力，即压强，压强的作用 方向为作用面的内法向方向（垂直指向作用面）。
静止流体：指流体在外力作用下保持静止的状态。 绝对静止：相对地球而言。 相对静止：流体相对于地球有运动，但流体质点间并没有相对
运动。 Notes: 无论是绝对静止还是相对静止。由于质点间没有相对运
动，其粘滞性不起作用，因此都可以作为理想流体来研 究。
第二章 流体静力学
2.0 引言 2.1 静止流体中应力的特性 2.2 流体的欧拉平衡方程 2.3 压强的量测 2.4 流体的相对平衡 2.5 液体作用在平面上的总压力 2.6 液体作用在曲面上的总压力 2.7 浮力与稳定性
难点：液体平衡微分方程、液体的相对平衡、 差压计、作用在平面、曲面上的静水总压力。
第二章 流体静力学
思考题
2-1 流体静压力有哪些特性？如何证明？ 2-2 试述流体平衡微分方程式的推导步骤，其物理意义和适用范围
是什么？ 2-3 什么样的函数称为力势函数？力势函数与压力全微分有什么关系？ 2-4 等压面及其特性如何？ 2-5 静力学基本方程说明哪些问题？它的使用条件是什么？ 2-6 绝对压、表压和真空度的意义及其间的相互关系如何？ 2-7 何谓相对静止流体？分析的方法如何？它们和静止流体有什么
2.2 流体平衡微分方程
f U
f
p
1. 均质流体（如淡水）和正压流体（如等温的空气）可 以保持平衡，等压面、等势面、等密度面三者重合：
p U 0 U 0
2. 斜压流体（ρ=ρ(p,T)，如大范围的大气、海水）不能 保持平衡，等压面、等密度面不重合，要引起对流。
第二章 流体静力学
教学的目的和要求： 理解静水压强的特性，理解液体平衡
微分方程，压强的表示方法、压强的计 量单位、液体的相对平衡；
掌握水静力学的基本方程，掌握液柱 式测压计的基本原理，掌握并能熟练计 算作用在平面、曲面上的静水总压力。
第二章 流体静力学
主要内容：
1. 静止流体中应力的特性。 2. 流体平衡微分方程、等压面。 3. 重力场中液体静压强的分布。绝对压强、相
p p0 h
P0为液面 压强。
C2 流体静力学
四、重力下流体的压强分布规律
2.2 流体平衡微分方程
z p0
p p0 h
P0为液面 压强。
（1）静止液体中，任意点的压强由两部
分液组重成，h 。一液部重分压是强表与面液压面强以P0；下另水一深部成分线是
性关系。
x
h2
h
h1
静止流体
2.2 流体平衡微分方程
p X , p Y ,
x
y
p Z z
成立，均质流体（ρ=常数） 和正压流体（ρ=ρ(p)）必须满足 质量力有势的条件： f ，UU称为势函数。
因为： X Y , Y Z , Zz X x y x z y x z
pz cos γ pn cos γ
x
Notes：质量力是对 面力而言是高阶小 量可以略去。
px py pz pn
压力函数： p=p(x,y,z)
C2 流体静力学
一 欧拉平衡微分方程
质量力在三个坐标轴上的投影：
（X ,Y , Z）
平衡方程的三投影式：
z
2.2 流体平衡微分方程
p p dz
共性？ 2-8 如何确定平面、曲面上液体总压力大小、方向、作用点，它们
之间有什么共性和特性？ 2-9 何谓压力中心？何谓压力体？确定压力体的方法步骤如何？ 2-10 怎样确定潜体和浮体所受浮力的大小和作用点？潜体和浮体
的平衡条件是什么？
第二章 流体静力学
2.0 引言 2.1 静止流体中应力的特性 2.2 流体的欧拉平衡方程 2.3 压强的量测 2.4 流体的相对平衡 2.5 液体作用在平面上的总压力 2.6 液体作用在曲面上的总压力 2.7 浮力与稳定性
z
p
z
p
Z
Y
x X
y
p p dy y
p X
x p Y
y
p Z
z
x
f
1
p
0
y
p p dx p x
欧拉平衡微分方程。
说明作用在单位体积流体上的体 积力与压强梯度平衡。
C2 流体静力学
2.2 流体平衡微分方程
一 欧拉平衡微分方程
可得欧拉平衡方程
du 0
dy
原因：静止流 体速度等于零。
压强：单位面积所受到的压力，称为压强。
ΔP
lim p
A0 ΔA
单位： 1kN/m2=1kPa=1000Pa
C2 流体静力学
2.1静止流体中的应力特征
流体特征 2：流体中某一点的静压强 p(x,y,z) 的大小与压强的作用面无关。
px py pz pn
C2 流体静力学
2.1静止流体中的应力特征
px syz pyszx pzsxy pns 0
z
z
px
pn
px cos py cos pz cos pn 0 py
Fx 0
Z
Y
X
y
pz
同理：
px cos α pn cos α
py cos β pn cos β
p p0 p0 h
（2）表面压强与液重无关。如果液面压强P0增大 p0 ，液体内
部的压强也同时增大p0 .
即液面压强的增量同时等值地传递到液体中每一点，这就是著 名的巴斯卡原理。工程上的水压机、水力蓄能机等都是在此原理 下计算的。
C2 流体静力学
五、 流体平衡的条件
• 为保证欧拉平衡方程： p f
Zdz)
f
dr
x y z
p dU
说明体积力向任何 方向的投影为该方
向的压强增量。
p U C
积分常数
C2 流体静力学 三、等压面
2.2 流体平衡dr微分方程
由 dp 0 ,可得等压面方程：
dp
(
Xdx
Ydy
Zdz)
f
dr
0
Xdx Ydy Zdz f dr 0
ρ0=1.225 kg/m3 Μ0 =1.789×10-5 Pa·s
0～11km为对流层 11～20km为同温层
等压面
不是等压面
C2 流体静力学
2.2 流体平衡微分方程
四、重力下流体的压强分布规律
液体在重力作用下，压强分布规律。 坐标系如右图：
dp
(
Hale Waihona Puke XdxYdy
Zdz)
f
dr
0
z p0
X 0,Y 0, Z g
p z c
p z0 p0
x
h2
h
h1
静止流体
p p0 z
所以： dU Xdx Ydy Zdz dU U dx U dy U dz x y z X U ,Y U , Z U x y z
质量力有势是流体静止的必要条件。
f U
质量力有 势
C2 流体静力学 五、 流体平衡的条件
重力是有势力。在重力场中
对压强、真空度、测压管水头。 4. 液体作用在平面上的总压力。压力中心。
压强分布图法。 5. 液体作用在曲面上的总压力。压力体。 6. 浮力。浮体的平衡。
第二章 流体静力学
重点：静水压强的特性、液体平衡微分方程、 液体的相对平衡、水静力学的基本方程、液柱 式测压计、作用在平面、曲面上的静水总压力。
p0
h2
p1
h1
z1
p2
z2
z2
p2
0
C2 流体静力学
2.2 流体平衡微分方程
六 大气中的压强分布
欧拉平衡方程适用于可压缩流体（正压流体），但需补充ρ与p的关系式。 设大气满足状态方程：
p RT
按国际标准大气模型规定(海平面上z＝0)：
T0 = 228.15 K p0 =101.3 kPa (ab)
C2 流体静力学 五 流体静力学基本方程
• 单位质量流体机械能守恒式：
p z c gz c
2.2 流体平衡微分p0方程z
x
h2
C2 流体静力学
2.2 流体平衡微分方程
一 欧拉平衡微分方程
可得欧拉平衡方程
f
1
p
0
dU (x, y, z) Xdx Ydy Zdz
dU U dx U dy U dz x y z
分量式为
X U , Y U , Z U
x
y
z
引出有势力的概念：具有势函数的力称为有势力或保守力。
h
gz p 常数
gz1
p1
gz2
p2
静止流体
重力势能 • 常用形式 压强势能
总势能
限制条件: （1）均质，（2）重力，（3）连通的同种流体。
C2 流体静力学
2.2 流体平衡微分方程
五 流体静力学基本方程
• 单位质量流体机械能守恒式：
p z c gz c
• 水头形式
第二章 流体静力学
流体静力学：研究流体静止时的力学规律。 主要研究内容：研究静止流体的压强分布以及静止流体对
物体表面的作用力。 意义：流体静力学在工程中有着广泛的应用，设计挡水建
筑物、水工结构、高压容器时。都要应用流体静力学的基 本原理。 静止流体受力情况比较简单，但其分析也同样使用严格的 阿力学分析方法，掌握好这些分析方法，可为学习流体动 力学打下良好的基础。
• 等压面上的体积力特征： 质量力处处与等压面垂直。
• 静止流体中等压面为水平面。 旋转流体中等压面为旋转抛物面。
C2 流体静力学 三、等压面
(a) 开口容器中，自由面就是等压面。
2.2 流体平衡微分方程
等压面
(b) 两种互不相混的 液体分界面就是等压面。
(c) 由于液体不连通， M——M不是等压面。 等压面
F 0
n
i
cos
j
cos
k
cos
z
z
px
n
pn
s yz
1 2
dydz
s cos
szx
1 2
dzdx
s
cos
py
Z
Y
X
y y
sxy
1 2
dxdy
s
cos
fV
1
dxdydz
pz
x
6
忽略质量力（高 阶小量）。
px syz pyszx pzsxy pns fV 0
f
1
p
0
p X x p Y y p Z
z
分量力的式势为函数
X Y , y x
Y Z , z y
Z X x z
由曲线积分
dU (x, y, z) Xdx Ydy Zdz
dU U dx U dy U dz x y z
质量力有势是流体静止的必要条件。 重力、惯性力都是有势力。
C2 流体静力学 二 平衡微分方程的积分
2.2 流体平衡微分方程
f
1
p
0
p X , p Y , p Z
x
y
z
平衡微分方程的全微分式为：
分量d式p为 p
dx
p
dy
p
dz
(
Xdx
Ydy
C2 流体静力学
相对平衡 流体静力学
任务
平衡的条件 压强分布
总压力 浮体稳定性 固壁受力分析
C2.0 引言 液缸,水坝,闸门等
应用
液压系统原理 水压机,油压系统等 压力仪器设计 比重计,测高仪,分离器等 浮体稳定性分析 舰船,浮吊,气艇等
C2 流体静力学
静止流体的应力特征——流体静压强的特性
C2.0 引言
z p 常数
g
位置水头
压强水头
gz p 常数
总水头 （测压管水头）
• 常用形式
z1
p1
g
z2
p2
g
z1
p1
z2
p2
限制条件: （1）均质，（2）重力，（3）连通的同种流体。
C2 流体静力学
举例
z1
p1
0
z1
p1
z2
p2
const
2.2 流体平衡微分方程
[例C1.2.3] 贸易风：流体平衡条件（不讲）
设大气满足完全气体状态方程：
p
p RT
设在赤道和北极地区离地面相同高度处压强相 同，但由于太阳光照射强度不同，两处温度相
差悬殊，相应的密度不相同，因此大气密度除了沿高度变化外还随地 球纬度改变而改变，等压面与等密度面（虚线）不重合(见右图），造 成大气层的非正压性，不满足流体平衡条件。
C2 流体静力学
2.1静止流体中的应力特征
特征一：应力的作用方向为作用面的内法向方向
特征二：流体中某一点的静压强 p(x,y,z) 的大小 与压强的作用面无关。
C2 流体静力学
2.1静止流体中的应力特征
流体特征 1：静止流体不能承受切应力，也不能承受拉应力， 只能承受压应力，即压强，压强的作用 方向为作用面的内法向方向（垂直指向作用面）。
静止流体：指流体在外力作用下保持静止的状态。 绝对静止：相对地球而言。 相对静止：流体相对于地球有运动，但流体质点间并没有相对
运动。 Notes: 无论是绝对静止还是相对静止。由于质点间没有相对运
动，其粘滞性不起作用，因此都可以作为理想流体来研 究。
第二章 流体静力学
2.0 引言 2.1 静止流体中应力的特性 2.2 流体的欧拉平衡方程 2.3 压强的量测 2.4 流体的相对平衡 2.5 液体作用在平面上的总压力 2.6 液体作用在曲面上的总压力 2.7 浮力与稳定性
难点：液体平衡微分方程、液体的相对平衡、 差压计、作用在平面、曲面上的静水总压力。
第二章 流体静力学
思考题
2-1 流体静压力有哪些特性？如何证明？ 2-2 试述流体平衡微分方程式的推导步骤，其物理意义和适用范围
是什么？ 2-3 什么样的函数称为力势函数？力势函数与压力全微分有什么关系？ 2-4 等压面及其特性如何？ 2-5 静力学基本方程说明哪些问题？它的使用条件是什么？ 2-6 绝对压、表压和真空度的意义及其间的相互关系如何？ 2-7 何谓相对静止流体？分析的方法如何？它们和静止流体有什么
2.2 流体平衡微分方程
f U
f
p
1. 均质流体（如淡水）和正压流体（如等温的空气）可 以保持平衡，等压面、等势面、等密度面三者重合：
p U 0 U 0
2. 斜压流体（ρ=ρ(p,T)，如大范围的大气、海水）不能 保持平衡，等压面、等密度面不重合，要引起对流。
第二章 流体静力学
教学的目的和要求： 理解静水压强的特性，理解液体平衡
微分方程，压强的表示方法、压强的计 量单位、液体的相对平衡；
掌握水静力学的基本方程，掌握液柱 式测压计的基本原理，掌握并能熟练计 算作用在平面、曲面上的静水总压力。
第二章 流体静力学
主要内容：
1. 静止流体中应力的特性。 2. 流体平衡微分方程、等压面。 3. 重力场中液体静压强的分布。绝对压强、相
p p0 h
P0为液面 压强。
C2 流体静力学
四、重力下流体的压强分布规律
2.2 流体平衡微分方程
z p0
p p0 h
P0为液面 压强。
（1）静止液体中，任意点的压强由两部
分液组重成，h 。一液部重分压是强表与面液压面强以P0；下另水一深部成分线是
性关系。
x
h2
h
h1
静止流体
2.2 流体平衡微分方程
p X , p Y ,
x
y
p Z z
成立，均质流体（ρ=常数） 和正压流体（ρ=ρ(p)）必须满足 质量力有势的条件： f ，UU称为势函数。
因为： X Y , Y Z , Zz X x y x z y x z
pz cos γ pn cos γ
x
Notes：质量力是对 面力而言是高阶小 量可以略去。
px py pz pn
压力函数： p=p(x,y,z)
C2 流体静力学
一 欧拉平衡微分方程
质量力在三个坐标轴上的投影：
（X ,Y , Z）
平衡方程的三投影式：
z
2.2 流体平衡微分方程
p p dz
共性？ 2-8 如何确定平面、曲面上液体总压力大小、方向、作用点，它们
之间有什么共性和特性？ 2-9 何谓压力中心？何谓压力体？确定压力体的方法步骤如何？ 2-10 怎样确定潜体和浮体所受浮力的大小和作用点？潜体和浮体
的平衡条件是什么？
第二章 流体静力学
2.0 引言 2.1 静止流体中应力的特性 2.2 流体的欧拉平衡方程 2.3 压强的量测 2.4 流体的相对平衡 2.5 液体作用在平面上的总压力 2.6 液体作用在曲面上的总压力 2.7 浮力与稳定性
z
p
z
p
Z
Y
x X
y
p p dy y
p X
x p Y
y
p Z
z
x
f
1
p
0
y
p p dx p x
欧拉平衡微分方程。
说明作用在单位体积流体上的体 积力与压强梯度平衡。
C2 流体静力学
2.2 流体平衡微分方程
一 欧拉平衡微分方程
可得欧拉平衡方程
du 0
dy
原因：静止流 体速度等于零。
压强：单位面积所受到的压力，称为压强。
ΔP
lim p
A0 ΔA
单位： 1kN/m2=1kPa=1000Pa
C2 流体静力学
2.1静止流体中的应力特征
流体特征 2：流体中某一点的静压强 p(x,y,z) 的大小与压强的作用面无关。
px py pz pn
C2 流体静力学
2.1静止流体中的应力特征
px syz pyszx pzsxy pns 0
z
z
px
pn
px cos py cos pz cos pn 0 py
Fx 0
Z
Y
X
y
pz
同理：
px cos α pn cos α
py cos β pn cos β
p p0 p0 h
（2）表面压强与液重无关。如果液面压强P0增大 p0 ，液体内
部的压强也同时增大p0 .
即液面压强的增量同时等值地传递到液体中每一点，这就是著 名的巴斯卡原理。工程上的水压机、水力蓄能机等都是在此原理 下计算的。
C2 流体静力学
五、 流体平衡的条件
• 为保证欧拉平衡方程： p f
Zdz)
f
dr
x y z
p dU
说明体积力向任何 方向的投影为该方
向的压强增量。
p U C
积分常数
C2 流体静力学 三、等压面
2.2 流体平衡dr微分方程
由 dp 0 ,可得等压面方程：
dp
(
Xdx
Ydy
Zdz)
f
dr
0
Xdx Ydy Zdz f dr 0
ρ0=1.225 kg/m3 Μ0 =1.789×10-5 Pa·s
0～11km为对流层 11～20km为同温层
等压面
不是等压面
C2 流体静力学
2.2 流体平衡微分方程
四、重力下流体的压强分布规律
液体在重力作用下，压强分布规律。 坐标系如右图：
dp
(
Hale Waihona Puke XdxYdy
Zdz)
f
dr
0
z p0
X 0,Y 0, Z g
p z c
p z0 p0
x
h2
h
h1
静止流体
p p0 z
所以： dU Xdx Ydy Zdz dU U dx U dy U dz x y z X U ,Y U , Z U x y z
质量力有势是流体静止的必要条件。
f U
质量力有 势
C2 流体静力学 五、 流体平衡的条件
重力是有势力。在重力场中
对压强、真空度、测压管水头。 4. 液体作用在平面上的总压力。压力中心。
压强分布图法。 5. 液体作用在曲面上的总压力。压力体。 6. 浮力。浮体的平衡。
第二章 流体静力学
重点：静水压强的特性、液体平衡微分方程、 液体的相对平衡、水静力学的基本方程、液柱 式测压计、作用在平面、曲面上的静水总压力。
p0
h2
p1
h1
z1
p2
z2
z2
p2
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C2 流体静力学
2.2 流体平衡微分方程
六 大气中的压强分布
欧拉平衡方程适用于可压缩流体（正压流体），但需补充ρ与p的关系式。 设大气满足状态方程：
p RT
按国际标准大气模型规定(海平面上z＝0)：
T0 = 228.15 K p0 =101.3 kPa (ab)