固体物理习题讲解

(1)根据紧束缚近似，只计入近邻相互作用，写出原子s态对应的晶体波函数形式； (2)求出相应的能带E(k)函数。
解： (1)原胞内2个原子各自的原子s态的布洛赫和为： 1 A s N B 1 s N
e
RlA
ik RlA
s r RlA s r RlB
1 N
e
RlB
ik RlB
总的电子波函数为： C1 sA C2 sB C1
eik RlAs r RlA C2
RlA
1 N
e
RlB
ik RlB
s r RlB
(2)将总的电子波函数代入薛定谔方程：H E ，得到： H C1 sA C2 sB =E C1 sA C2 sB 再分别左乘 sA 和 sB ，得到：
a 4 J1 J 2 sin 2 k 2
第四章 4.3、电子周期势场的势函数为：V(x)=mω2[b2-(x-na)2]/2，na-b≤x≤na+b；
V(x)=0，(n-1)a+b≤x≤na-b，式中a=4b，ω为常数，n为整数。(1)、求势能的平均
值；(2)、用近自由电子近似模型求出晶体的第一个和第二个带隙宽度。
5.1 有一维简单晶格，其晶格常数为 ，设该一维晶体的电子能带可
以写成如下形式：E(k)= [7/8-coska+(cos2ka)/8]ћ2/ma2 。试求：
（1）电子在波矢k状态的速度；（2）k=0和k=π/a处的有效质量。
解：1 电子在波矢k 状态的速度： 1 dE 1 v sin ka sin 2 ka dk ma 4
sA | H | sA
1 N
ik RlA ik RlA e r R | H | e s r RlA s l A RlA RlA
1 N eik RlA s r RlA | H | eik RlA s r Rl A N RlA eik RlA s r RlA | H 0 H1 | eik RlA s r RlA = s J 0 其中：J 0 = s r RlA | H1 | s r RlA

O min


6.70 10 s
13 1
mM 其中： m M
A max
2 2 1.5 104 dyn / cm 13 1 = 3.00 10 s 24 M 4 5 1.67 10
O O 6.58 1016 5.99 1013 s 1 1.97 102 eV 2 E max max O O 16 13 1 2 E min 6.58 10 6.70 10 s 4.41 10 eV min A A E max 6.58 1016 3.00 1013 s 1 3.95 102 eV = max
第三章 3.11、一维复式格子m=5×1.67×10-24，M/m=4，β=1.5×10N/m，求：
(1)光学波ωOmax， ωOmin ，声学波ωAmax (2)相应声子能量是多少电子伏特 (3)在300K时的平均声子数 (4)与ωOmax相对应的电磁波波长在什么波段
O 解： 1 max
2 2 1.5 104 dyn / cm 13 1 5.99 10 s 24 m 5 1.67 10 2
ik R a b eik RlA s r RlA | H 0 H1 | e lA s r RlA a b eik RlA b s r RlA b


e e
ik a b ik a b
2 b a /2 b
2 近自由电子近似的带隙宽度为：Eg 2 Vn
2 i nx 1 Vn V x e a dx 2分 a a /2 a /2 2 2 i nx i nx 1 1 1 2 2 2 4b Vn V x e a dx m b x e dx a a /2 4b b 2 a /2 b
s r RlA | H1 | s r RlA a b eik b s r RlA | H1 | s r RlA b
J1 eik b J 2
其中：J1 s r RlA | H1 | s r RlA a b J 2 s r RlA | H1 | s r RlA b
1
O min / k BT
A max
1
A max / k BT
第二章 2.1、证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为a=2ln2。
若以u(rij)表示离子i、j 之间的相互作用能，
q2 b q2 b u ( rij ) n n 4π 0 rij rij 4π 0 rij rij
同理可以求得：


sB | H | sB s J 0 ; sB | H | sA sA | H | sB sA | sA sB | sB 1； sA | sB sA | sB 0
*
e
ik a b
J1 e ik b J 2
红色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 ……
—— 第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程
—— 体系N个原胞，有2N个独立的方程 —— 方程的解
代入运动方程：
化简得到：
合并得到：
A，B有解的条件，其系数行列式为0：
得到：
得到：
—— 两种色散关系
根据ω在布里渊区中心和边界的大小，画出色散关系示意图
(2)将总的电子波函数代入薛定谔方程：H E ，得到： H C1 sA C2 sB E C1 sA C2 sB 再分别左乘 sA 和 sB ，得到： C1 sA | H | sA C2 sA | H | sB C1 E sA | sA C2 sA | sB B A B B B A B B C | H | C | H | C E | C | 1 s s 2 s s 1 s s 2 s s 分别计算各积分：




s J 0 E
e
ik 2


e
ik a b
J1 eik b J 2
s J 0 E
0
J1 J 2
2
2 得到：E = s J 0 J12 +J 2 +2J1 J 2 cos ak s J 0
N个离子组成的晶体的总结合能：
N U 2 q2 b ( n) 4π 0 rij rij j 1
N
同号取“-” 异号取“+”
设最近邻离子间的距离为R，则 rij a j R, 关的数。
N U 2
马德隆常数： M
aj
N
是与晶体结构有
q2 4π 0 R
N
解：
1、根据势场函数可知，势场具有周期性，其周期为a。
所以只需要在一个周期内求势场的平均即可，得到： 1 1 1 2 2 2 V V x dx m b x dx a a /2 4b b 2 m 2 1 3 1 2 2 b x x m b 8b 3 b 6
1 1 ( ) aj Rn j 1
N
b n a j 1 j
1 离子间的距离系数的倒数乘以相应的正负号 aj j
马德隆常数： a
1 a j0 j
N
+
-
+
-
+
-
a
j
N
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a j0 1 1 2 2 3
3 声子的平均声子数为：
nq
O n max
1 e
q / kT
O 对应的波长为： 4 max
1

2 c
1 e
O max / k BT

28.1 m
1 1 1
0.221 0.276 0.873
在红外波段
n n
O min
e e
1 1 1 2 1 1 1 2 3 1 1 1 2 1 2 3
sA | H | sB

1 N
e
RlA
ik RlA
s r Rl A | H | eik R s r Rl B
lB
RlB
1 N eik RlA s r RlA | H | eik RlB s r Rl B N RlB
2
2 m * 2d E 有效质量：m 2 1 dk cos ka cos 2ka 2 当k 0时，m* 2m 2 * 当k 时，m m a 3
1
第四章 4.6、由相同原子组成的一维原子链，每个原胞中有两个原子，原胞长度
为a，原胞内原子的相对距离为b：
m 2 Vn 8b
32b3 n 16b3 n n3 3 sin 2 n 2 2 cos 2 第一个带隙，取n 1： m 2 32b3 8m 2b 2 E 2 V1 2 3 8b 3 第二个带隙，取n 2：
m 2 8b
b
b
b
2
x e
2
i

2b
nx
dx
b b nx i nx m 2 2 i 2 2 b 2b dx x e dx b e 8b b b m 2 32b3 n 16b3 n sin 2 2 cos 3 3 8b n 2 n 2
所以方程组： C1 sA | H | sA C2 sA | H | sB C1 E sA | sA C2 sA | sB B A B B B A B B C | H | C | H | C E | C | 1 s s 2 s s 1 s s 2 s s 可以写成： C1 s J 0 E C2 e ik a b J1 eik b J 2 0 ik a b J1 e ik b J 2 C2 s J 0 E 0 C1 e 方程有解的条件为C1和C2的系数行列式为零，即：
1 g 2 m E1 g 2 V2 2 8b
16b3 m 2b 2 22 2 2
3.3质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的 力常数交错等于 和 ，并且最近邻的间距 处格波的频率值
1) 求出色散关系和分析计算 2) 大致画出色散关系图
绿色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……