湖南省长沙市实验中学2023届高三二模数学试题

一、单选题
二、多选题
1.
已知函数
，对
，恒有
，则实数a 的取值范围是
（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
2.
已知数列
的前项和为
，且，
，
成等差数列，则
（ ）
A
．
B
．
C
．D
．
3. 已知
，
，则
的值为（ ）
A
．B
．C
．D
．
4.
已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5. 已知复数为纯虚数，且
，则的虚部为（ ）
A ．1
B
．
C ．i
D
．
6. 已知复数z
满足
（为虚数单位），则
（ ）
A
．
B ．5
C
．
D ．2
7. 某市在文明城市建设中，鼓励市民“读书好，好读书，读好书”.在各阅览室设立茶座，让人们在休闲中阅读有用有益图书.某阅览室为了提
高阅读率，对于周末前来阅读的前三名阅读者各赠送一本图书，阅读者从四种不同的书籍随意挑选一本，则他们有且仅有2名阅读者挑选同一种书的概率为（ ）
A
．B
．C
．D
．
8. 命题“
，
”的否定是（ ）
A ．
，B ．
，C ．
，
D ．
，
9. 质点P 和Q 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的
上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P
的角速度大小为
，起点为
与x 轴正半
轴的交点；Q
的角速度大小为
，起点为射线
与
的交点．则当Q 与P 重合时，Q 的坐标可以为（ ）
A
．B
．C
．
D
．
10. 已知函数
在一个周期内的图象如图所示，图象与轴的交点为
，则下列结论正
确的是（
）
A
．的最小正周期为B
．的最大值为2C ．直线
是图象的一个对称轴D ．
在区间
上单调递增
湖南省长沙市实验中学2023届高三二模数学试题
湖南省长沙市实验中学2023届高三二模数学试题
三、填空题
四、解答题
11. 设首项为
的数列
的前项和为，且
，则下列结论正确的是（ ）
A
．数列为等比数列B ．数列为等比数列C
．数列
为等比数列
D ．数列
的前
项和为
12.
已知
是两条不同的直线，
是三个不同的平面，则下列说法不正确的是（ ）
A ．若
，则B ．若
，则
C ．若
，则
D ．若
两两相交，则交线互相平行
13. 十七世纪法国业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶
点的距离之和最小”它的答案是:当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两
两成角
:当三角形有一内角大于或等于
时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知
分别是
三个内角
的对边，且
，若点为
的费马点，则
______.
14. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑
中，
平面
，
，，
已知动点
从点出发，沿外表面经过棱
上一点到点的最短距离为
，则该棱锥的外接球的体积为
______.
15.
若集合
，则
________．
16. 已知F 1，F 2是椭圆E 1：
（a >b >0）的左、右焦点，曲线E 2： y 2=4x 的焦点恰好也是F 2，O 为坐标原点，过椭圆E 1的左焦
点F 1作与x 轴垂直的直线交椭圆于M ，N ，且△
MNF 2的面积为
3.
（1）求椭圆E 1的方程；
（2）过F 2作直线l 交E 1于A ，B ，交E 2于C ，D ，且△ABF 1与△
OCD 的面积相等，求直线l 的斜率.
17. 已知双曲线
的左、右焦点分别为，斜率为
的直线l 与双曲线C
交于
两点，点在
双曲线C 上，且
.
(1)求的面积；
(2)若
（O 为坐标原点），点
，记直线
的斜率分别为
，问：
是否为定值？若是，求出该定值；若不
是，请说明理由.
18. 已知O为坐标原点，双曲线C：的渐近线方程为．
(1)求C的标准方程；
(2)过点的直线l交C于M，N两点，交x轴于Q点．若，问是否存在？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19. 如图，是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过的截面与上底面相交于，设.
(1)证明：；
(2)当时，在图中作出点C在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四棱锥表面积.
20. 如图，正三棱柱的底面边长的3，侧棱，D是延长线上一点，且．
(1)求证：直线平面；
(2)求二面角的大小；
(3)求三棱锥的体积．
21. 已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的值及函数的单调减区间；
(2)在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求c的取值范围.。