2019-20202第一学年年高等数学上册第四场不定积分的思考与练习

（1） x 5dx , （2） 2 x dx , （3） e x1dx ,
（4） (cos x sin x)dx ,
（5）
1
2 x
2
dx ,（6）
2 1 x2
dx ,（7） (ex
3
x
)dx
,（8）
(
s
1 in 2
x
1 cos2
)dx . x
解：（1） x5dx x15 C x6 C .
dx 1
1 d( x ) 2 arctan 2 x C .
2 x2 2 1 ( x )2
2 1 ( x )2
2
2
2
2
2
（12）
dx
dx
=
=
4 - x2 2 1-(x)2
1 d( x ) = arcsin x C .
1-(x)2 2
2
2
2
（13） d(5cosx 2sin x) (2cosx 5sin x)dx ,
dx
1 (2x)2
= x arctan 2x
d(x2 ) 1 4x2
= x arctan 2x 1 1 d(1 4x2 )
4 1 4x2
= x arctan 2x 1 ln(1 4x2 ) C . 4
（3） xe4xdx 1 xde4x 1 xe4x 1 e4xdx
4
4
4
2
2
（5）
x
dx
1
(1
x
2
)
1 2
d(1
x
2
)
1 x2
C .
1 x2
2
（6） xdx 1 d(x2 ) 1 arcsin x2 C .
1 x4 2 1 (x2)2 2
（7）
ln 2x x
dx
ln 2x 2x
d(2x)
ln
2xd(ln
2x)
1 2
ln
2
2x
C
.
（8） (2x 3)2 dx 1 (2x 3)2 d(2x 3) 1 (2x 3)3 C .
例如：当被积函数中含有 n ax b 时，则令 n ax b = t ，可去掉根式，将原积分化为有理
函数的积分. 当被积函数中含有 a 2 x 2 、 x 2 a 2 、 x 2 a 2 时，则可利用三角函数
的平方关系，分别令 x a sin t 或 x a cost 、 x a tan t 、 x asect 可去掉根式，将原
2
2
= x2 arctan 2x
2
x2 2
1
2 (2
x)
2
dx
= x2 arctan 2x 1
2
4
(1 1 )dx 1 4x2
= x2 arctan 2x x 1 arctan 2x C .
2
48
3. 计算下列不定积分：
（1） 16 x2 dx ,
（2）
dx
(4
x2
3
)2
.
解：（1）令 x 4sin t(π t π ) ，则 16 x2 4 cost ， dx 4costdt ，
(6) x arctan 2xdx .
4
解：（1） ln 2xdx x ln 2x xd(ln 2x)
= x ln 2x x 2 dx 2x
= x ln 2x x C .
（2） arctan 2xdx = x arctan 2x xd(arctan2x)
2
= x arctan 2x x
.
4 x2
（13） 7 cos x 3sin x dx , （14） arctan x dx ，
5cos x 2sin x
x(1 x)
解：（1） sin 5 x d(sin x) sin 6 x C . 6
（2） cos3 x dx (1 sin 2 x) cos x dx
= (1 sin 2 x)d(sin x)
2
2
于是 16 x2 dx 4cost 4costdt 8 (1 cos2t)dt
= 8t 4sin 2t C .
由右图所示的直角三角形，得
sin 2t 2sin t cost 2 x 16 x2 x 16 x2 ,
44
8
4
x
t
故 16 x2 dx 8 arcsin x x 16 x2 C .
= 1 xe4x 1 e4x C .
4
16
（4） e5x sin 4xdx sin 4xd( e5x ) 1 e5x sin 4x
e5x d(sin 4x)
55
5
= 1 e5x sin 4x 4 e5x cos4xdx
5
5
= 1 e5x sin 4x 4 cos4xd e5x
有理函数的不定积分一定是初等函数，即有理函数的不定积分总能用初等函数：有理 函数、对数函数、反正切函数表示出来.
求三角函数有理式的不定积分通常用万能代换： tan x t . 2
习作题二 1. 计算下列积分：
（1） sin 5 xd(sin x) ,
（2） cos 3 xdx ,
（3） (x sin x x )dx ,
Q(x)
Q(x)
Q(x)
2
式，多项式的不定积分容易计算，关键是有理真分式 F (x) 的不定积分，计算有理真分式 Q(x)
F (x) 的不定积分的方法是部分分式法：根据 Q(x) 的因式分解结果，利用部分分式定理， Q(x)
把有理真分式 F (x) 化为简单部分分式的和（待定系数法），再积分即可. Q(x)
xdx
cot
x
tan
x
C
.
思考题二 1. 第一换元法（即凑微分法）与第二换元法的区别是什么？ 答：第一换元法与第二换元法的区别在于置换的变元不同，前者将被积函数
f [(x)](x) 中的中间变量 (x) 作为新的积分变量，而后者将原积分变量 x 替换成函数
(t) ，以 t 作为新的积分变量.
2. 应用分部积分公式 udv uv vdu 的关键是什么？对于积分 f (x)g(x)dx ，一般 应按什么样的规律设 u 和 dv ？
5
5
5
=
1 5
e5x
sin
4x
4 5
e5x
5
cos4x
e5x
5
d(cos4x)
= 1 e5x sin 4x 4 e5x cos4x 16 e5x sin 4xdx ,
5
25
25
移项合并，得 e5x sin 4xdx 1 e5x (5sin 4x 4 cos4x) C . 41
（5）
故
dx
(4
x2
)
3 2
2
x C. 4 x2
4 x2
x
t 2
6
4. 计算下列不定积分：
（1）
6x2 11x 4 x(x 1)2 dx ,
（2）
d x3
x
1
,
（3）
dx ， x4 1
（4） 1
cot x sin x
cos x
dx
.
解：（1）设 6x2 11x 4 A B C ，则
x(x 1)2
x x 1 (x 1)2
6x2 11x 4 A(x 1)2 Bx(x 1) Cx (A B)x2 (C 2A B)x A ,
A B 6, 比较同次幂的系数，得 C 2A B 11, 解之得， A 4 , B 2 ,C 1.
A 4 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6x2 11x 4 x(x 1)2
2. 思考下列问题：
(1) 若 f (x)dx 2x sin x C ，则 f (x) 为何？ 答： f (x) ( f (x)dx) 2x ln 2 cos x . (2) 若 f (x) 的一个原函数为 x3 ，问 f (x) 为何？ 答： f (x) (x3 ) 3x2 (3)若 f (x) 的一个原函数为 cos x ，则 f (x)dx 为何？ 答： f (x) (cos x) sin x, f (x)dx f (x) C sin x C .
4 x
2 x 1
1 (x 1)2
第四章 不定积分
思考与练习
思考题一
1. 在不定积分的性质 kf (x)dx k f (x)dx 中，为何要求 k 0 ？ 答：因为当 k 0 时， kf (x)dx 0dx C （任意常数），而 k f (x)dx 0 ， 此时， kf (x)dx k f (x)dx .
4
2
16 x 2
（2）令 x 2 tan t(π
t
π
)
，则
(4
x
2
)
3 2
8sec3 t, dx 2sec2 tdt ,
2
2
于是
dx 3
(4 x2 ) 2
1 2sec2 tdt 4sec3 t
costdt sin t C .
2
2
由右图所示的直角三角形，得
sin t x 4 x2
dx
2
arctan 1 x
x
d(
x) 2 arctan 1 x
x
2
d(
x)
2
2 arctan x d arctan x arctan x C .
2. 计算下列积分：
(1) ln 2xdx ,
(2) arctan 2xdx ,
(3) xe4xdx ,
(4) e5x sin 4xdx , (5) x sin100xdx ,
7 cos x 5 cos x
3sin 2 sin
x x
dx
(2
cos
x
5sin x) 5 cos x
(5cos x 2sin x
2
sin
x)
dx
d (5cos x 2sin x) 5cos x 2sin x
dx
x
ln
5 cos x
2 sin
x
C.
（14）
arctan x x(1 x)
答：应用分部积分公式的关键是恰当的选择 u 和 dv ，对于积分 f (x)g(x)dx ，一般应 按如下的规律去设 u 和 dv ：
（1）由 dv 易求得 v ；（2） vdu 应比 udv 容易积出.
3. 第二换元法有何规律可寻？
答: 一般地，若被积函数中含有根式时，设法选择适当的变量代换 x (t) 去掉根式！
dx
2 arctan
x
C
.
（6） 2 dx (2) 1 dx 2 arcsin x C .
1 x2
1 x2
（7） (e x 3
1
x )dx e xdx x 3dx e x
1 1
x3
C
ex
3
4
x3
C.
1 1
4
3
（8）
(1 sin 2
x
1 cos2
)dx x
csc2
xdx
sec2
2
6
（9）
1 arcsin
x
1 dx 1 d(arcsin x) ln | arcsin x | C .
1 x2
arcsin x
（10）
1
dx 1 d(arctan x) ln | arctan x | C .
(1 x2 ) arctan x
arctan x
（11） dx 1
= d(sin x) sin 2 xd(sin x)
= sin x sin 3 x C . 3
（3） (x sin x )dx xdx 2 sin xd x x
3
= x2 2cos x C . 2
（4） xe x2 dx 1 e x2 d(x 2 ) 1 e x2 C .
习作题一
1. 已知曲线 y f (x) 过点（0，0）且在点（ x, y ）处的切线斜率为 k 3x2 1 ，求该
曲线方程.
解：依题意，y k 3x2 1，故 y (3x2 1)dx x3 x C ，又 y(0) 0 ，故 C 0 ，
从而曲线方程为 y x3 x .
2. 计算下列不定积分：
x
sin
100
xdx
xd(
cos100 100
x
)
x
cos100 100
x
(
cos100 100
x
)dx
= sin100x x cos100x C .
10000
100
（6）
x arctan 2xdx =
x2 arctan 2xd( )
2
5
= x2 arctan 2x x2 d(arctan 2x)
（4） xe x2 dx ,
（5）
x dx
,
1 x2
（6）
x dx
,
1 x4
（7）
ln 2x x
dx
,
（8） (2x 3)2 dx ,
（9） 1 1 dx ,
arcsin x 1 x2
（10）
1 (1 x2 ) arctan x dx ,
（11）
dx 2 x2 ,
（12）
dx
积分化为三角函数有理式的积分. 4. 求有理函数的不定积分的方法是什么？有理函数的不定积分一定是初等函数吗？求
三角函数有理式的不定积分通常用什么代换？
答: 如果有理函数 P(x) 是假分式，则利用多项式的除法将其化为： Q(x)
P(x) T (x) F (x) ，其中 P(x), Q(x) , T (x) , F(x) 均为 x 的多项式，F (x) 为有理真分
1 5
6
（2） 2 x dx 2 x C . ln 2
（3） e x1dx e e xdx ee x C e x1 C .
（4） (cos x sin x)dx cosxdx (sin x)dx sin x cosx C .
1
（5）
2 dx 2 1 x2
1 1 x2