函数的表示法和函数的性质(单调性)

函数的表示法
课前预习： 函数的表示法
（1） 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，
这个数学表达式叫做函数的解析式。

归纳总结：解析法有两个有点：一是简明，全面的概括了变量间的变化规律，二是可以通过解析法求出任意一个自变量所对应的函数值。

缺点是并不是任意的函数都可以用解析法表示，仅当两个变量有变化规律时，才能用解析法表示。

（2） 图像法：以自变量x 的取值为横坐标，对应的函数y 值为纵坐标，在平面内描出个
这些点构成了函数的图像，这种用图像表示两个变量的方法叫图像法。

归纳总结：图像法可以直观的表示函数局部变化规律，进而可以预测他的整体趋势，比如心电图等，图像可以是有限几个点，也可以试一段或几段直线或曲线。

在直角坐标系中，如果图像满足：垂直于ｘ轴的直线与其至多有一个交点，那么这个图形一定是某函数的图像。

函数定义域的几何意义是函数图像上所有点纵坐标的取值范围。

（3） 列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，
这种用表格表示两个变量的对应关系叫列表法。

归纳总结：列表法不必通过计算就知道两个变量之间的对应关系，比较直观但他只能表示有限个元素之间的函数关系。

自我测评
例一：垂直于x 轴的直线与函数x
x y 1+
=
的图像的交点至多有（ ）
Ａ １ Ｂ ２ Ｃ ３ Ｄ ４ 提示：根据函数的性质：一对一 或者一对多。

例二：已知一次函数ｆ（ｘ）满足ｆ（２）＝１，ｆ（３）＝－５，求解析式。

典题精讲
题型一： 求函数的解析式
例一 已知ｆ（ｘ）是一次函数，且()[]{}78+=x x f f f ，求ｆ（ｘ）的解析式 分析：解答本题可利用待定系数法，设()()0≠+=a b ax x f ，再根据题设条件列方程求解待定系数ｋ、ｂ。

反思：本题以()x f 为一次函数作为切入点，运用待定系数法，构建所设参数的方程组从而解决问题，这是一种常用的解题方法，已知函数类型求函数解析式常用此方法。

题型二：函数法球值域
例二：已知函数()()2122≤≤--=x x x x f
（１） 画出函数的图形
（２） 根据图形写出函数的值域。

分析：这是一道典型的求函数在指定区间的取值范围，类似的还有求函数在指定区间的最值问题，做此类题的方法是先求出函数的对称轴，然后判断对称轴的位置是否在所给区间内。

题型三：应用问题
例三：某商场新进了１０台彩电，每台售价３０００元，试求售出台数与收款总额ｙ之间的函数关系，分别用列发表，图像法，解析法表示出来。

分析：用图像法要注意实际意义。

随堂训练：
１、设,b a 函数()()b x a x y --=2
的图像可能是（ ）
２、函数)[5,1,642
∈+-=x x x y 的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
３、已知正方形ＡＢＣＤ的周长为ｘ，其外接圆的半径为ｙ，求ｙ关于ｘ的函数解析式。

４．、已知二次函数ｆ（ｘ）满足()00=f ，且对任意R x ∈总有()()11++=+x x f x f ，求函数解析式？（见自我测评例二）
５、（能力提高题）已知(),11x
x f +=
求
()()()[]⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭
⎫
⎝⎛+++201013121201032f f f f f f 的值
提示：利用()11=⎪⎭
⎫
⎝⎛+x f x f
家庭作业：
１、当ｍ为何值时，方程m x x =+-542
有四个互不相等的实数根？ 分析：利用函数m x x =+-542
的图像来求解。

２、见优化设计上的２３页题型一
３、判断下列对应是都构成映射。

（１）{}3,2,1=A ，{}9,8,7=B ，()()()83,721===f f f （２）Z A =，{}1,1-=B ，ｎ为奇数()()1,1=-=n f n n f 为偶数， （３）{}3,2,1==B A ，()12-=x x f （４）{}()12,1+=-≥==x x f x x B A
分析：判断一个对应ｆ是否为Ａ到Ｂ的映射，主要从映射的定义入手，看集合Ａ中的任意 一个元素，在对应关系ｆ之下载集合Ｂ中是有唯一的对应元素。

４、根据如图所示的函数图形，写出函数的解析式（见优化设计２５页第１１题）
函数的基本性质
第一课时：函数的单调性。

课前预习
（１）、增函数 定义：一般地，设函数()x f 的定义域为Ｉ，如果对于定义域Ｉ内的某个
区间Ｄ上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x 时，都有()()21x f x f ，那么就说函数()x f 在区间Ｄ上是增函数，区间Ｄ称为
函数()x f 的单调增区间。

提示：定义中的“任意”二字不能去掉或者改为“存在”否则会出现错误。

例如()12+=x x f ，
区间[]3,2-上存在两个值()()52,212121===-=x f x f x x 有，但是函数()x f 在区间[]3,2-不是增函数。

（２）、图像特征：函数()x f 在区间Ｄ上是增函数，则函数()x f 在区间Ｄ上的图像时上升 的，如图所示：
思考感悟：函数()x f 在区间Ｄ上函数，D x x ∈21,，且21x x ≠有()()02
121 x x x f x f --
试着自己总结减函数的性质。

（３）、单调性
（ａ）定义：如果函数()x f 在区间Ｄ上是增函数或减函数，那么就说函数()x f 在区
间Ｄ上具有单调性，区间Ｄ就叫做()x f 的单调区间。

提示：函数的单调性是函数在其定义域内的某个区间上的性质，是函数的“局部”性质，因此讨论函数的单调性时，必须指明是在定义域内的那个区间上，如果函数()x f 存在两个 或两个以上具有相同单调性的单调区间，那么这些区间不能用“Ｕ”连接，而应该用“和” 连接，如函数x
y 1=
的单调递减区间是)(0,∞-和)(∞+,0，由于函数x
y 1=
在区间
)(0,∞-Ｕ)(∞+,0上的图像不是下降的，所以函数x
y 1=的单调递减区间不是)(0,∞-Ｕ
)(∞+,0。

（ｂ）几何特征：函数()x f 在区间Ｄ上具有单调性，则函数()x f 在区间上的图像 是上升地或下降的。

自我测评：
例一：函数23+-=x y 在Ｒ上是＿＿＿＿＿函数
例二：][3,0是函数()x f 定义域内的一个区间，若()()21f f ，则函数()x f 在区间][3,0上：
Ａ：是增函数 Ｂ：减函数
Ｃ:先增加后减少 Ｄ：单调性不确定。

例三：利用定义证明函数()12+-=x x f 阻碍Ｒ上是减函数。

核心理解：对函数单调性的理解
剖析：（１）定义中的21,x x 有三个特征 １、同属一个区间 ２任意性：即21,x x 在区间
中是任意选取的 ３、有大小，通常21x x
（２）有些函数在定义域内有单调性，如一次函数，有的函数在定义域内的一部分区间
上是增函数，而在另一区间上减函数，如二次函数。

有些函数没有单调性，如常 值函数。

典题精讲
题型一：证明单调性 例一：求证：函数()()1,01在x
x x f +
=上为减函数。

分析：在区间（０，１）上任取21,x x ，且有21x x ，只需证明()()21x f x f
反思：求函数的单调性一般用定义法。

步骤有四：第一 先取值确定21,x x 的大小 第二 作差变形()()21x f x f - 第三 定号()()21x f x f -的符号 第四 确定单调性 题型二：求函数的单调区间 例二：指出函数()96962
2
+++
+-=x x x x x f 的单调区间
反思：利用函数图像确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数的解析式，然后在画出 他的图像，最后根据函数的定义域与草图的位置、状态结合函数的单调性的几何特征 确定函数的单调区间。

题型三：函数单调性的运用
例三：已知函数的定义域是[]2,2-，且函数在区间[]2,2-上是增函数，()()m f m f -1， 求实数ｍ的取值范围。

分析：利用单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即去掉ｆ的符号，转化为ｍ的一元一次不等式，求出ｍ的值。

反思：本题由单调函数的函数值的不等式关系转化为自变量式子的不等关系，注意函数符号ｆ括号内的式子应根据函数()x f 的定义域内取值。

随堂训练：
１、已知函数()x f 在定义域内是减函数，那么()12
+-a a f 与⎪⎭
⎫
⎝⎛43f 的大小关系。

２、已知函数()()0≠=k
x
k x f 在区间()+∞,0上是增函数，则实数ｋ的取值范围是
/３、画出函数322
++-=x x y 的图形，并指出他的单调区间。

５、证明()22x x f =在[)+∞,0上是增函数。

第二课时：函数的最值
最值：函数的最大值和最小值简称函数的最值。

几何意义：函数()x f 图形的最高点或者最低点的纵坐标。

说明：函数的最值时函数整个定义域内的性质。

自我测评
１、在函数()x f 的定义域内存在无数个实数满足()M x f ≥，则 Ａ、函数()x f 的最小值为Ｍ Ｂ、函数()x f 的最大值是Ｍ Ｃ、函数()x f 无最大值。

Ｄ、不能确定Ｍ是函数()x f 的最小值 ２、求函数x
y 2=
在区间[]4,2上的最大值，最小值。

核心解读：函数的最值与单调性的关系
剖析：函数的单调性是其定义域内的子集上的性质，是“局部”性质，而函数的最值时整个定义域上的性质，是“整体”的性质。

若函数()x f 在区间[]b a ,上是增（减）函数，则()x f 在[]b a ,的最小（大）值是ｆ（ａ） 最大（小）值是ｆ（ｂ）
典题精讲
题型一：图像法求最值
例一：已知函数()11-++=x x x f 的最小值。

（类似于第六页例二）
题型二：单调法求最值 例二： 已知函数[]3,1,1∈+
=x x
x y
（１） 判断()x f 在[][]3,2,2,1上的单调性 （２） 根据()x f 的单调性写出()x f 的最值
分析：证明单调性的流程是： 取值⇒作差⇒变形⇒判断符号⇒结论 求最值时刻借助最值和单调性的关系写出最值。

题型三：应用问题
例三：将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价
一元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，则售价应为多少元？最大利润是多 少？
分析：设出售价及利润，建立利润与售价的函数关系式即可。

随堂训练 １、 函数()11--+=x x x f 的最大值是_______________
２、 把长为12cm 的细铁丝截成两端，各自围成一个正方形，求这两个正方形之和的最 小值
３、
已知函数()1
2--=
x x f
（１） 求证函数在区间[]3,2上是增函数 （２） 求函数在区间[]3,2的最大值和最小值。

家庭作业： １、
已知()x f 在区间[]3,2上的最小值是()2f ，最大值是()3f ，则()x f 在[]3,2上的 单调性（ ）
A 、增函数
B 、减函数
C 、先减后增
D 、不能确定
2、函数()x
x f 1=
在区间[]b ,1上的最小值是
4
1，则b=____________.
3、定义在R 上的函数对任意的两个不等的是实数21,x x ，总有
()()02
121 x x x f x f --
成立，则()x f 在区间[]1,3--上的最大值是_______________. ４、
某公司生产一种电子仪器的固定成本是20000元，每生产一台仪器需要投入100 元，最大月产量是400台，已知总收益满足函数()2
2
1400x x x R -
=，其中x 是
仪器的月产量。

（１） 将利润y 表示为月产量x 的函数
（２） 当月产量为何值时？公司所获的利润最大？最大是多少？
11
5、已知函数()x f 对任意的x,y 都有()()()()0,0, x f x y x f y f x f 有且当+=+ ()31
1-=f
（１） 求证()x f 在R 上是减函数
（２） 求()x f 在[]3,3-上的最大值和最小值。