概率作业纸第六章答案

概率作业纸第六章答案
第六章参数估计
第⼀节参数的点估计
⼀、选择
1. 以样本的矩作为相应（同类、同阶）总体矩的估计⽅法称为（A ）. (A) 矩估计法 (B) ⼀阶原点矩法 (C) 贝叶斯法 (D) 最⼤似然法
2. 总体均值)(X E 的矩估计值是（A ）.
（A ）x （B ）X （C ）1x （D ）1X
⼆、填空
1.设总体X 服从泊松分布)(λP ，其中0>λ为未知参数.如果取得样本观测值为
n x x x ,,,21 ，则参数λ的最⼤似然估计值为x .
2.设总体X 在区间[]θ,0上服从均匀分布，其中0>θ为未知参数.如果取得样本观测值为
n x x x ,,,21 ，则参数θ的矩估计值为x 2. 三、简答题
1. 设设总体X 的概率密度为
,0()0, 0x e x f x x θθ-?>=?≤?
，求参数θ的矩估计值.
解：,0
dx xe EX x ?
+∞
-=θθ设du dx u x x u θ
θθ1
,1,===
则0
011
1()0()
u u
u EX ue du ue e du e θθθθ+∞
+∞--+∞--+∞
==-+=+-?
=θ
1
故1EX
θ=，所以x 1?=θ
2. 设总体X 服从⼏何分布
.,3,2,1,)1();(1 =-=-x p p p x p x 如果取得样本观测值为n x x x ,,,21 ，求参数p 的矩估计值与最⼤似然估计值. 解：由已知可得
p X E X v 1)()(1==，所以x x n p n
i i ==∑=111
由此可得参数的矩估计值为x
p
1
=. 似然函数为n
x n n
i x n
i i i p p p p p L -=-∑-=-=
=∏1
)1())
1(()(1
1
取对数，得).1ln()(
ln )(ln 1
p n x
p n p L n
i i
--+=∑=于是，得
0)(11
)(ln 1
=---=∑=n
i i n x p p n dp p L d .由此可得参数的最⼤似然估计值为x p
1?=. 3. 设总体X 服从“0-1”分布： .1,0,)
1();(1
=-=-x p p p x p x x
如果取得样本观测值为)10(,,,21或=i n x x x x ，求
参数p 的矩估计值与最⼤似然估计值. 解：由已知可得
p X E X v ==)()(1，所以x x n p n
i i ==∑=1
1
由此可得参数的矩估计值为x p
=?. 似然函数为∑-∑
=-=
==-
=-∏n
i i
n
i i
i
i
x n x n
i x x p p
p p
p L 1
1
)
1())
1(()(1
1
取对数，得).1ln()(ln )(
)(ln 1
1
p x n p x p L n
i i
n
i i
--+=∑∑==于是，得
0)(11
1)(ln 1
1=---=∑∑==n
i i n i i x n p x p dp p L d .由此可得参数的最⼤似然估计值为x p
=?.
第⼆节衡量点估计好坏的标准
⼆、选择
1. 估计量的⽆偏性是指（ B ）.
（A ）统计量的值恰好等于待估总体参数
(B) 所有可能样本估计值的数学期望等于待估总体参数 (C) 样本估计值围绕待估总体参数使其误差最⼩ (D) 样本量扩⼤到和总体单元相等时与总体参数⼀致 2. 估计量的有效性是指（ C ）.
（A ）估计量的数学期望等于被估计的总体参数 (B) 估计量的具体数值等于被估计的总体参数 (C) 估计量的⽅差⽐其它估计量的⽅差⼩ (D) 估计量的⽅差⽐其它估计量的⽅差⼤ 3. 估计量的⼀致性是指（ D ）.
(A) 估计量的具体数值等于被估计的总体参数 (B) 估计量的⽅差⽐其它估计量的⽅差⼩ (C) 估计量的⽅差⽐其它估计量的⽅差⼤
(D) 随样本容量的增⼤，估计量的值越来越接近被估计的总体参数
⼆、填空
1.设),,(??2111n X X X θθ=与),,(??2122n X X X θθ=都是参数θ的⽆偏估计量，如果 )?()?(21θθD D <，则称1?θ⽐2
θ有效. 2. 设总体X 的均值µ=)(X E ，⽅差2
)(σ=X D ，则x 是总体均值的⽆偏的、有效的、⼀致的估计量，2
S 是总体⽅差的⽆偏的、有效的、⼀致的估计量.
三、简答题
1.从总体X
中抽取样本321,,X X X ，证明下列三个统计量
,6
32?3
211X X X ++=µ
,442?3212X X X ++=µ
,3
33?3213X X
X ++=µ
都是总体均值的⽆偏估计量；并确定哪个估计更有效.
证：设总体X 的均值与⽅差分别为µ=)(X E ，2
)(σ=X D .则因为样本与总体服从相同的
分
布
，
所
以
有
µ
=)(i X E ，
.
3,2,1,)(2==i X D i σ所以有
;61
3121)632()?(3211µµµµµ
=++=++=X X X E E ;412121)422()?(3212µµµµµ
=++=++=X X X E E .3
13131)333()?(3213µµµµµ
=++=++=X X X E E 所以1µ，2µ，3µ都是总体均值的⽆偏估计量.
;1873619141)632()?(22223211σσσσµ
=++=++=X X X D D ;8316116141)442()?(22223212σσσσµ
=++=++=X X X D D ;3
1919191)333()?(22223213σσσσµ
=++=++=X X X D D 因为),?()?()?(123µµµ
D D D <<所以认为估计量3?µ更有效. 2.设1?θ和2?θ为参数θ的两个独⽴的⽆偏估计量，且假定21?2?θθD D =，求常数c 和d ，使2
1θθθd c +=为θ的⽆偏估计，并使⽅差θ?D 最⼩. 解：由于θθθθθθ)(??)??(?2
121d c dE cE d c E E +=+=+=,且知θθ=?E ，故得c+d=1。

⼜由于
2
222222221221?)2(??2??)??(?θθθθθθθθD d c D d D c D d D c d c D D +=+=+=+= 并使其最⼩，即使2
22d c f +=，满⾜条件c+d=1的最⼩值。

令d=1-c ，代⼊得2
2
)1(2c c f -+=，'
42(1)0, 620c f c c c =--=-= 解得3
21,31=-==
c d c 。

第三节正态总体参数的区间估计
三、选择
1. 若总体),(~2σµN X ，其中2
σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度α-1变⼩，则µ的置信区间（ B ）.
(A)长度变⼤ (B) 长度变⼩（C ）长度不变 (D)长度不⼀定不变 2.设随机变量X 服从正态分布)1,0(N ，对给定的)10(<<αα，数αu 满⾜
αα=>)(u X P .若α=<)(x X P ，则x 等于（ C ）.
（A ）2
αu (B)2
1α
-
u
(C)2
1α-u (D)α-1u
3. 设⼀批零件的长度服从正态分布),(2σµN ，其中2,σµ均未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值cm x 20=，样本标准差cm s 1=，则µ的置信度为90.0的置信区间是（ C ）. (A)))16(4120),16(4120(05.005.0t t +-
(B) ))16(41
20),16(4120(1.01.0t t +- (C) ))15(4120),15(4120(05.005.0t t +-
(D) ))15(4
1
20),15(4120(1.01.0t t +- ⼆、填空
1. 设总体),(~2
σµN X ，2
,σµ为未知参数，则µ的置信度为α-1的置信区间为
)).1(),1((2
2
-+
--
n t n
S X n t n
S X αα
2. 由来⾃正态总体)21.0,(~2
µN X ，容量为9的简单随机样本，若得到样本均值
1.20=x ，则未知参数µ的置信度为95.0的置信区间为).15.20,87.19(
3. 已知⼀批零件的长度X 服从正态分布)1,(µN ，从中随机地抽取16个零件，得平均长度为cm 40，则µ的置信度为95.0的置信区间为).49.40,51.39(
三、简答题
1. 对⽅差2
σ为已知的正态总体来说，问需取容量n 为多⼤的样本，才能使总体均值µ的置信⽔平为α-1的置信区间的长度不⼤于L ？解:由于µ的置信区间为),(2
2
αασ
σ
u n
x u n
x +
-
，
故µ的置信区间长度为L u n
≤2
2ασ
.
所以，有22ασu L n ≥
，即22
)2(ασ
u L n ≥. 2. 为了解灯泡使⽤时数均值µ及标准差σ，测量了10个灯泡，得1650=x ⼩时，20s =⼩时.如果已知灯泡使⽤时间服从正态分布，求µ和σ的95.0的置信区间. 解: 由262.2)9()1(025.02
==-t n t α，根据求置信区间的公式得
22((1), (1))(165020)
(165014.31)(1635.69, 1664.31)
x n x n αα-+-=±=±= 查表知70.2)9()1(,023.19)9()1(2
975.022
12025.022
==-==--χχχχααn n ，根据求置信区间的
公式得2
σ的置信区间为
2222220.0250.975(1)(1)920920(, )(, )(189.24, 1333.33)(9)(9)19.023 2.70
n s n s χχ--??==
⽽σ的置信区间为
(13.8, 36.5)=.
3. 岩⽯密度的测量误差服从正态分布，随机抽测12个样品，得2.0=s ，求2
σ的置信区
间()1.0=α.
解: 查表得575.4)11(,675.19)11(2
95.02
05.0==χχ，根据求置信区间的公式得2
σ的置信区间为
22222212
2
(1)(1)110.2110.2(, )(, )(1)(1)19.675 4.575
n s n s n n ααχχ---??=--=(0.02, 0.10).。