新教材适用2024版高考数学二轮总复习第2篇核心素养谋局思想方法导航第3讲分类与整合思想课件

【分析】 利用体积相等求出点A到平面A1BD的距离即可判断选项 A和B；求A点到C1的最短距离，由两点之间直线段最短，想到需要把长 方体剪开再展开，把A到C1的最短距离转化为求三角形的边长问题，根 据实际图形，应该有三种展法，展开后利用勾股定理求出每一种情况中 AC1的长度，比较三个值的大小后即可得到结论，进而判断C和D.
典例1 (1) (2023·河南校联考模拟预测)已知 a＝ln 1.1，b＝ln 1112，
c＝111，则下列判断正确的是( D )
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<b<a
D．b<c<a
【分析】 结合对数函数、导数的知识确定正确答案．
【解析】 ①比较 a，b 的大小：因为 1.1>1112，所以 ln 1.1>ln 1112， 所以 a>b.②比较 b，c 的大小：令 f(x)＝ln x－(x－1)，则 f′(x)＝1x－1＝1－x x. 当 0<x<1 时，f′(x)>0；当 x>1 时，f′(x)<0，所以当 x>0 时，f(x)≤f(1) ＝0，即 ln x≤x－1，所以 ln 1112<111，即 b<c.③比较 a，c 大小：因为 ln x≤x －1，所以 ln 1x≤1x－1，即 ln x≥1－1x，所以 ln 1.1＝ln 1110>1－1110＝111， 即 a>cБайду номын сангаас综上，a>c>b.故选 D.
【分析】 对于①，根据点P到平面C1D1M的距离即为点P到平面 A1B1C1D1的距离为2即可判断；对于②，异面直线AP与A1D所成角即为直 线AP与B1C所成角，转化为在△AB1C中，AP与B1C所成角即可判断；对于 ③ ， 根 据 N 为 底 面 ABCD 的 中 心 和 正 方 体 的 性 质 ， 证 明 得 AN ⊥ 平 面
＋1)2，记[x]表示不超过 x 的最大整数，bn＝220a2n2＋1.若数列{bn}的前 n
项和为 Tn，则使得 Tn≥2 022 成立的 n 的最小值为( A )
A．1 180
B．1 179
C．2 020
D．2 021
【分析】 利用通项公式 an 和前 n 项和 Sn 之间的关系求出{an}数列
应用3 由变量或参数引起的分类讨论
核 心 知 识·精 归 纳
含有参数的分类讨论问题主要包括：(1)含有参数的不等式的求解； (2)含有参数的方程的求解；(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问 题；(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解这类问题的一般思路 是：结合参数的意义及参数对结果的影响进行分类讨论．讨论时，应全 面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当 地运用数形结合思想．
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分 类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．
3.分类方法与原则 (1)简化分类讨论的策略：分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问 题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问 题的策略． ①消去参数；②整体换元；③变更主元；④考虑反面；⑤整体变 形；⑥数形结合；⑦缩小范围等． (2)分类讨论遵循的原则是： ①不重不漏，科学地划分 ②标准要统一，层次要分明，分清主次，不越级讨论． ③能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论．
＝ 1－cos2∠BA1D＝ 1－510＝7102，则 S△BA1D＝12A1B·A1Dsin∠BA1D
＝12× 10× 5×7102＝72，又 S△ABD＝12AB·AD＝12×2×3＝3，设点 A 到平 面 A1BD 的距离为 h，由体积相等可得：VA1－ABD＝VA－A1BD，即13S△ ABD×AA1＝13S△A1BD×h，所以13×3×1＝13×72×h，解得：h＝67，故选项 A 正确；选项 B 错误；长方体 ABCD－A1B1C1D1 的表面可能有三种不同 的方法展开，如图所示：
思想方法应用
应用1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论
核 心 知 识·精 归 纳 1.有许多核心的数学概念是分类的，由数学概念引起的分类讨论， 如绝对值的定义、二次函数的定义、分段函数的定义、异面直线所成角 的定义、直线的斜率、指数函数、对数函数等． 2.在中学数学中，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单 调性，基本不等式，等比数列的求和公式在不同的条件下有不同的结 论，或者在一定的限制条件下才成立，应根据题目条件确定是否进行分 类讨论．
点 P 在线段 B1C 上运动时，因为 A1D∥B1C， 所以异面直线 AP 与 A1D 所成角即为直线 AP 与 B1C 所成角．因为 AC＝AB1＝B1C＝2 2，所以△AB1C 为 等边三角形，当点 P 在线段 B1C 的中点时，AP⊥B1C， 即直线 AP 与 B1C 所成角为π2，当点 P 向两个端点运 动时，直线 AP 与 B1C 所成角越来越小，当点 P 与点 B1 或点 C 重合时，直线 AP 与 B1C 所成角为π3，所以直线 AP 与 B1C 所成 角的取值范围是π3，π2，即异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值范围是π3，π2， 故②错误；对于③，如图：
第二篇
核心素养谋局、思想方法导航
第3讲 分类与整合思想
思想方法速览 思想方法解读 思想方法应用
思想方法速览
思想方法解读
1.分类整合思想的含义 分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个 基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策 略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了 有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化 解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合．
(2) (2023·贵州贵阳高三统考期末)设点P是棱长为2的正方体ABCD－
A1B1C1D1表面上的动点，点M是棱A1D1的中点，N为底面ABCD的中心， 则下列结论中所有正确结论的编号有__①__③__④___.
①当点 P 在底面 ABCD 内运动时，三棱锥 P－C1D1M 的体积为定值23； ②当点 P 在线段 B1C 上运动时，异面直线 AP 与 A1D 所成角的取值 范围是π4，π2； ③当点 P 在线段 A1D1 上运动时，平面 PAN⊥平面 BDD1B1； ④当点 P 在侧面 BCC1B1 内运动时，若 P 到棱 A1B1 的距离等于它到 棱 BC 的距离，则点 P 的轨迹为抛物线的一部分．
3.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的．比如除法运算中分 母能否为零的讨论；解方程及不等式时，两边同乘一个数是否为零、正 数、负数的讨论；二次方程运算中对两根大小的讨论；求函数单调性 时，导数正负的讨论；排序问题；差值比较中的差的正负的讨论；有关 去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等．
典 例 研 析·悟 方 法
∵N为底面ABCD的中心，∴AN⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，AN⊂平 面ABCD，∴AN⊥BB1，又BD∩BB1＝B，BD⊂平面BDD1B1，BB1⊂平面 BDD1B1 ， ∴ AN ⊥ 平 面 BDD1B1 ， ∵ AN ⊂ 平 面 PAN ， ∴ 平 面 PAN ⊥ 平 面 BDD1B1，故③正确；对于④，点P在侧面BCC1B1内运动时，∵A1B1⊥平 面BCC1B1，∴P到棱A1B1的距离等于PB1的长度，∴P到棱A1B1的距离等 于它到棱BC的距离即为点P到B1的距离等于点P到棱BC的距离，根据抛 物线的定义，又点P在侧面BCC1B1内运动，∴点P的轨迹为抛物线的一部 分．
AB＝3，BC＝2，BB1＝1，表面展开后，依第一个图形展开，则 AC1 ＝ 1＋22＋32＝3 2；依第二个图形展开，则 AC1＝ 3＋22＋12＝ 26； 依第三个图形展开，则 AC1＝ 3＋12＋22＝2 5；三者比较得：A 点沿 长方体表面到 C1 的最短距离为 3 2，故选项 C 正确，选项 D 错误，故选 AC.
BDD1B1 即 可 得 到 结 论 ； 对 于 ④ ， 点 P 在 侧 面 BCC1B1 内 运 动 时 ，根 据 A1B1⊥平面BCC1B1，则P到棱A1B1的长度等于PB1的长度，结合抛物线定 义即可判断．
【解析】 对于①，当点 P 在底面 ABCD 内运动时，点 P 到平面 C1D1M 的距离即为点 P 到平面 A1B1C1D1 的距离为 2，则 VP－C1D1M＝13S△ C1D1Mh＝13×2×12×2×1＝23，故①正确；对于②，如图：
【解析】 如图，连接 A1D，DB，A1B，因为 AB＝3，BC＝2，BB1＝1，
所以 A1B＝ 1＋32＝ 10，A1D＝ 1＋22＝ 5， BD＝ 22＋32＝ 13，在△A1BD 中，由余弦定理可 得：cos∠BA1D＝A1D22＋A1AD1·BA21－BBD2＝21×0＋150－×135＝102，所以 sin∠BA1D
4.解题时把好“四关” (1)要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”； (2)要找准划分标准，把好“分类关”； (3)要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”； (4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验 关”． 5.高考以解答题的方式考查分类与整合思想，主要是函数导数解答 题、数列题和解析几何解答题等．
方 法 技 巧·精 提 炼
比较对数式的大小，结合的是对数函数的单调性，此时要注意对数 函数y＝logax的底数a的取值范围对单调性的影响．比较对数式和实数的 大小，可考虑分段法或构造函数法来进行求解．
(2) (2022·全国模拟预测)设正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn＝14(an
应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论
核 心 知 识·精 归 纳
1.一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴 位置的变动；函数问题中区间的变动；函数图象形状的变动；直线由斜 率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的 形状变动；立体几何中点、线、面的位置变动等．
的通项公式，再根据 n 的取值讨论 bn＝220a2n2＋1 并判断 Tn≥2 022 即可．
【解析】 Sn＝14(an＋1)2①，令 n＝1，得 4a1＝(a1＋1)2，解得 a1＝1.Sn
－1＝14(an－1＋1)2，n≥2②，由①－②可得 an＝Sn－Sn－1＝14(an＋1)2－14(an－1 ＋1)2，整理得(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0，根据 an>0 可知 an－an－1＝2(n≥2)， 则数列{an}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1， n∈N*.∴bn＝220a2n2＋1＝42n0－222＋1，n∈N*，当 n∈[1,505]时，4n－2<2 022， bn＝1；当 n∈[506,1 011]时，2 022≤4n－2≤4 042，bn＝2，当 n∈[1 012,1 517)时，4 044<4n－2<6 066，bn＝3.∵T1 011＝505＋506×2＝1 517，(2 022 －1 517)÷3≈168.3，∴使 Tn≥2 022 成立的 n 的最小值为 1 011＋169＝1 180.故选 A.
2.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥 曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论．
3.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差 异等来分类讨论．
典 例 研 析·悟 方 法 典例2 (1) (多选)(2023·梅河口市第五中学校考一模)长方体ABCD －A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，则( AC ) A．A 到平面 A1BD 的距离为67 B．A 到平面 A1BD 的距离为47 C．沿长方体的表面从 A 到 C1 的最短距离为 3 2 D．沿长方体的表面从 A 到 C1 的最短距离为 2 5
2.分类与整合思想在解题中的应用 (1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直 线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、 性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项 和公式、函数的单调性等．
(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为 零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要 求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．