定积分的几何应用

定积分的几何应用
一、微元法
微元法也称微元分析法, 它是定积分应用的基础, 给出了用定积分方法解决各种求和问题的一般方法. 定积分作为一种数学方法, 研究的是某些量的计算问 题. 记所研究的量为 Q , 量 Q 如果符合下列条件:
(1) Q 是与一个变量 x 的变化区间[a, b]有关的量;
(2) Q 对于区间 [ a , b ] 具有可加性, 也就是说, 如果把区间 [ a , b ] 分成许多部分区间, 则 Q 相应地 分成许多部分量, 而 Q 等于所有部分量之和;
以 x 为积分变量, x [ a , b ] 取 [ x, x+dx ] [ a , b ], 在[ x , x + dx]上立体的体积可以近似看成以 y (x) 为底面
半径, 高为 dx 的小圆柱体的体积, 见图5-17, 则体积
元素为 dV = [ f ( x ) ] 2 dx. 旋转体的体积为
(3) Q = dQ ( x ) + o ( x ).
则整体量 Q
b
Q(x)dx.
a
微元法或微元分析法遵循如下三个步骤:
第一步: 确定整体量 Q 的变化区间, 比如 Q ( x ) 的变化区间为[ a , b ] .
第二步: 对具有可加性的 Q ( x ) , 考察增量 Q ( x ) , 如能写成 Q ( x) = dQ ( x ) + o ( x ) .
a2
x2
dx
2 ab2 a2 x2 dx 0 a2
2
b2 a2
a2x13x30a
4 ab2. 3
特殊地, 当 a = b 时, 得球的体积 V 4 a 3 . 3
例5 求曲线 y = sin x ( 0 x ) 及 x 轴所围成的
图形绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积.
解 选 y 为积分变量, 则平面图形必定是与 y 轴 围成的. 因此, 曲线弧 y = sin x ( 0 x ) 必须分成 左、右两条曲线弧, 其方程分别表示成 x = arcsin y , x = – arcsiny , 见图.
y
C
B x = - arcsiny
x = arcsiny
O
/2
图 5-20
A x
所得旋转体的体积可以看成平面图形 OABC 和 OBC 分别绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积之差.
利用旋转体的体积公式得
V 1 ( a rc s in y )2 d y 1 (a rc s in y )2 d y
,
y (8, 4)
4 y 2= 2x
故所求平面图形的面积为
y + dy y
y=x-4
A 42y412y2dy
O -2
x
12y24y16y342 18.
(-2, 2)
例3
求椭圆
x2 a2
y2 b2
1 所围成区域的面积.
解 椭圆关于坐标轴对称, 见图5 – 12 , 所求面积为
它在第一象限部分面积的4倍, 因此
-1
O x x+dx 1 x
例2 求由抛物线 y 2 = 2 x 及直线 y = x – 4 所围图
形的面积.
解
解方程组
y2

2 x,
得交点为( –2, 2 ), ( 8 , 4 ),
y x 4,
见图5 – 11 . 以 y 为积分变量, 则 y[-2, 4], 面积元素为
dA
y4
1 2
y2
b
第三步: 求出整体量 Q , 即 Q a Q(x)dx.
由于第二步考证比较复杂, 在以后的讨论中, 一般 略去这一步.
二、平面图形的面积
由定积分的几何意义知, 在区间[ a , b ] 上, 当 f ( x )
0时, 由连续曲线 y = f ( x ) , 直线 x = a , x = b 与 x 轴
体的体积差,
y y = f (x)
a x x+dx b x
即 (x +dx)2f (x) - (dx)2 f (x) = 2x f (x)dx - f (x)(dx)2. 上式中后一项是前一项关于 dx 的高阶无穷小, 因此体 积元素为 dV = 2 s f ( x ) dx . 旋转体的体积为
所围成的曲边梯形的面积为
b
y
A a f (x)dx.
y = f (x)
其中被积表达式 f ( x ) dx 是
直角坐标系下的面积元素, 它 表示高为 f ( x ), 底为 dx 的
dA f (x)
小矩形面积, 见图5-7.
O
a x x + dx b x
例1 求由曲线 y = x 2 与 y = 2 – x 2 所围成的平面
图形的面积.
解
解方程组
y y
x2, 2
x
求得两抛物线的交点
2,
为( – 1 , 1 ) , ( 1 , 1 ) , 故所求平面图形 ( 如图5 – 10 )
的面积为 1 A 11(2yx2x2)dx2 2x2 3x3 08 3.
y = 2 - x2
(-1, 1) y = x2
(1, 1)
0
0
1(22arcsiny)2dy 0 1
322 yarcsiny1y2 0
2 2.
由曲线 y = f ( x ) , 直线 x = a , x = b 及 x 轴所围
成的曲边梯形绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积的计算 还可以从另一个角度考虑.
如图, 设 f (x) 0, 以 x 为积分变量, x[a, b], 取 [ x , x + dx ] [ a , b ] , 以[ x , x + dx ]为底, y = f ( x ) 为曲边的小曲边梯形绕 y 轴旋转可以近似看成两个圆柱
y
a
a
A4 ydx4
a2x2dx
0
0
b O x x + dx a x
4b1a2 ab.
a4
三、旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直 线旋转一周而成的立体, 这条直线叫做旋转轴. 由连续曲线 y = y ( x ) , 直线 x = a , x = b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体 的体积可用定积分计算.
O
x
例4
计算由椭圆
x2 a2
y2 b2
1 所围成的图形
绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积.
解 这个旋转体可以看成由半个椭圆
y b a2 x2 及 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转一周
a
而成的立体, 见图5-19,
y
b
x2 a2
y2 b2
1
O x x+dx a x
图5-19
V
a b aa
2
V
b
[f
(x)]2dx.
a
y
y = f (x)
Oa
x x+dx b x
类似地, 如果旋转体是由连续曲线 x = ( y ) , 直
线 y = c , y = d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转 一周而成的立体, 见图5 – 18 , 则体积为
V b[(x)]2dx. a y d
x = (y)
V2
b
xf (x)dx.
a
利用上述公式计算例5, 则有
V 20 x s in x d x 2 [ x c o s x s in x ] 0 22 .
有志者，事竟成，破釜沉舟， 百二秦关终属楚;
苦心人，天不负，卧薪尝胆， 三千越甲可吞吴。